wiskunde = efficiëntie (2) Morsecode

De meesten kennen wel het idee van Morsecode. Het is een code waarbij elke letter van het alfabet wordt voorgesteld door streepjes en/of puntjes. Het werd ontwikkeld om via een telegraaf te kunnen communiceren. Met dit toestel kon je kleine stroomstootjes doorsturen en zo een lange boodschap doorseinen. Korte stroomstootjes waren gelijk aan puntjes en de iets langere waren streepjes. Ook de tijd die je tussen de stroomstootjes liet was van belang. Zo maakte je duidelijk of je een spatie liet tussen tekens, letters of woorden.

morsetiming In de rest van de tekst zal ik het hebben over “tellen”. Een punt is één tel, net zoals een spatie tussen tekens. Een spatie tussen letters duurt 3 tellen, net zoals een lange stroomstoot die een streep voorstellt ook 3 tellen duurt. Spaties tussen woorden zijn 7 tellen lang.
Hieronder zie je het volledige alfabet in streepjes en puntjes zoals Samuel Morse ze ontwikkeld heeft. Merk op dat ook cijfers en zelfs leestekens zoals :,./ een Morse variant hadden:
morse

Maar waarom wordt een “E” voorgesteld door een “.”? En waarom wordt een B juist voorgesteld als “-…”? Wel dit heeft allemaal te maken met de tijd die het in beslag neemt om de letters door te sturen. Zoals je in de eerste afbeelding kan zien duurt het verzenden van een streepje 3 keer zolang dan het verzenden van een punt. Het doorseinen van letters die worden voorgesteld door meerdere tekens met vooral streepjes zoals bijvoorbeeld O (—), Q (–.-) of J (.—), zullen dus meer tijd in beslag nemen dan letters voorgesteld door weinig tekens met vooral punten: E (.), I (..) of S (…).
Samuel Morse, de bedenker van de code, was zich hiervan bewust en besloot zijn taal zo efficiënt mogelijk te maken. Zo besloot hij de meest gebruikte letters een korte code mee te geven, en de letters die zelden voorkomen de meer omslachtige vertalingen te geven… Maar heeft Samuel dit wel juist gedaan? Hieronder zie je het alfabet geordend volgens frequentie in de Engelse taal. Er staat ook telkens bij hoeveel tellen het duurt om de letters te ‘typen’.

engels nu
Het valt je misschien meteen op dat zijn model niet helemaal optimaal is. Om de letter “O”, die op nummer 4 staat van meest frequent gebruikt in het Engels, te versturen had je 11 tellen nodig (namelijk 3 keer 3 tellen voor de drie streepjes + 2 keer een spatie van 1 tel tussen de streepjes in). Voor letters “U” en “M” heb je er bijvoorbeeld slechts “7” nodig, ook al gebruik je deze duidelijk minder regelmatig dan de klinker “O”.
Letters “B”, “V”, en “K” komen alle drie minder voor dan de letter “Y” en toch duurt het langer om deze laatste te verzenden…  Het kan dus beter.
Je kan het systeem optimaliseren door eerst de tijdsduur van alle morse letters van klein naar groot op te lijsten, en ze dan naast de frequentielijst te leggen:
engels beter

Op deze manier krijg je de beste (lees snelste) Morsecode die er bestaat. Als je het vergelijkt op een tekst van 1.000 letters zal je merken dat in het originele Morsesysteem, een letter gemiddeld 6,107 tellen duurt, terwijl dit in het nieuwe systeem gemiddeld slechts 5,715 tellen is.
Er was dus duidelijk wel wat ruimte voor verbetering!

Gelukkig voor ons Vlamingen/Nederlandstaligen is het (voor Engelsen niet zo optimale) originele systeem niet zo slecht wanneer we in het nederlands teksten willen versturen. Dan gebruiken we slechts 5,674 tellen per letter! Dit omdat we een andere taal gebruiken en dus een andere frequentietabel hebben. Dat wil zeggen dat in het Nederlands de volgorde van meest gebruikte letters er anders zal uitzien dan die van andere talen. Zo is bij ons ook de “E” de meestgebruikte maar op nummer 2 staat de letter “N” en niet de “T” zoals in het Engels. In het Nederlands zal de optimale Morsecode er dus ook anders uitzien, namelijk als volgt:
Nederlands beter

Met als resultaat dat een tekst typen slechts 5,34 tellen per letter zal duren.
Grote verschillen zijn het niet maar als je uitrekent hoeveel berichten er over de jaren heen verzonden zijn zal je aanzienlijk veel tijd gewonnen hebben met het betere systeem… en Time is Money!

 

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere

wiskunde = efficiëntie (1) geld

Laten we even van het volgende uitgaan. De Euro wordt her-ontworpen en alle munten en biljetten moeten opnieuw gedrukt worden. We kunnen verdergaan met het systeem dat we nu hebben en opnieuw dezelfde waarden van 0,01€; 0,02€; 0,05€; 0,1€; 0,2€; 0,5€; 1€; 2€; 5€; 10€; 20€; 50€; 100€; 200€ en 500€ gebruiken….
Of van de gelegenheid gebruik maken om het hele systeem te vernieuwen en nieuwe waarden drukken. Misschien zijn er meer efficiënte of interessante mogelijkheden.
euro Stel dat we van elke munt en biljet (van het huidige systeem) 1 exemplaar in onze geldbeugel zitten. Met deze 8 munten en 7 biljetten hebben we 888,88 euro op zak. We wandelen een winkel binnen om bijvoorbeeld een geschenkbon te kopen, maar de uitbater waarschuwt ons dat hij geen wisselgeld heeft en dat we dus gepast moeten betalen. Dit brengt ons in een lastige situatie want nu kunnen we niet meer gelijk welk bedrag kiezen om op de geschenkbon te zetten.
Een bon van 16 € is bijvoorbeeld wel mogelijk want we kunnen gepast betalen met onze munt van 1€, biljet van 5€ en biljet van 10€. Als we gierig zijn kunnen we ook een bon van 55 cent geven door te betalen met munten 0,5€ en 0,05€.
Maar wat nu als we een bon van 40€ of 99€ willen kopen. Dit is onmogelijk als we slecht 1 exemplaar van elke waarde hebben.
gifts
Kunnen we berekenen hoe ‘slecht’ het systeem is? Tuurlijk.
Hoeveel mogelijke combinaties zijn er te maken met onze originele euro’s? Laten we dit even nagaan. Met 1 munt van 0,01€ kan je twee bedragen maken, namelijk 0 € en 0,01 €. Met de 2 kleinste munten maken we 4 mogelijke bedragen: 0€; 0,01€; 0,02€ of als we ze samen leggen 0,03. Met de laagste 3 munten kunnen we 8 mogelijke bedragen combineren, met 4 munten maken we er  16… Misschien zie je het verband al. Met x munten maken we 2x mogelijke waarden.
In ons geval hebben we 15 munten/biljetten en dus zijn er 215 of 32.768 mogelijkheden. Het kleinste bedrag is natuurlijk 0,00€ en het grootste is 888,88€. Van het kleinste tot grootste zijn er dus 88.889 bedragen waarvan we er met onze 15 munten/biljetten dus slechts 32.768 kunnen maken. Met andere woorden slechts 36,86% van de cadeaubonnen gaande van 0€ tot 888,88€ kunnen we kopen door exact te betalen.
paidEen eerste manier om dit systeem te verbeteren is als door sommige munten meer dan 1 keer in onze portefeuille te steken. Wanneer we 0,01€, 0,1€, 1€, 10€ en 100€ dubbel op zak hebben kunnen we wel 100% van de bedragen tussen van 0€ tot en met 888,88€ maken. Goed, toch?
Ja, maar we hebben nu wel 20 muntstukken/biljetten nodig. Dat is inderdaad niet veel als je kijkt wat ermee te maken is, maar het kan beter.

Wat als we nu een volledig andere verzameling van munten/biljetten gebruiken. Bijvoorbeeld: 0,01€; 0,02€; 0,04€; 0,08€; 0,16€; 0,32€; 0,64€; 1,28€; 2,56€; 5,12€; 10,24€; 20,48€; 40,96€; 81,92€; 163,84€; 327,68€ en 655,36€ of met andere woorden, alle mogelijke waarden zijn machten van 2. Als je het nagaat zal je merken dat we met deze (slechts 17 munten/biljetten ten opzichte van de 20 hierboven) ook alle bedragen tot 888,88€ kunnen combineren.
Meer zelfs! Met deze kunnen we zelfs alle bedragen tot 1310,71€ exact vormen. We hebben dus 3 munten minder nodig en hebben een groter bereik dan het bovenstaande (reeds verbeterde) systeem.
press
Met andere woorden, … Als het internationaal monetair fonds dit leest… ,indien er een nieuw systeem komt laat het dan het 17-delige 0,01€; 0,02€; 0,04€; 0,08€; … systeem zijn.
DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere

Racisme even wiskundig op zijn plaats zetten

Even een relevante en toch dringende post.
Iedereen laat tegenwoordig zijn stem horen over wat er allemaal gebeurt in de wereld. De ene al wat doordachter dan de andere. De andere al wat racistischer dan de ene. Waar ik een beetje goed in ben, is wat rekenen en ik dacht: laat ik even wiskundig bewijzen dat diegene die zeggen dat alle moslims ook IS-strijders zijn, mentaal gehandicapt zijn:

De laatste tijd hoor ik het (jammer genoeg) meer en meer. Mensen die vol afkeer, vanwege wat onder andere laatst in Frankrijk gebeurde, alle moslims over dezelfde kam scheren. Deze mensen hebben in het beste geval geen enkel idee van wat er echt gebeurt of zijn gewoon niet capabel om in beeld te brengen wat er echt gaande is.

keep-calm-and-no-racism-13

“Alles moslims zitten bij den IS!”
Soms horen we het niet zo letterlijk maar zo worden de aanhangers van de Islam soms wel in hetzelfde, niet zo sympathieke hokje geduwd.
Wel er zijn zo een 1,6 miljard moslims op de aarde en volgens schattingen is het leger van IS tussen de 53.000 en 258.000 mensen groot. Zelfs als we van het slechtste uitgaan (258.000) dan is dit slechts een percentage van 0,016 procent van alle moslims! Even ter vergelijking in ons land van 11 miljoen inwoners zitten er 30.000 personen in het leger of zo een 0,273 procent!

Stel dat iemand de vrouwen dan nog vergeeft en het milder meent met “Alle mannelijke moslims zitten bij den IS!”. Wel onder moslims zijn er net iets meer mannen dan vrouwen. Voor elke 1000 mannen zijn er 951 vrouwen (cijfers van 2011 maar de verhouding man/vrouw verlaagt er steeds). Omgerekend wil dit zeggen dat er ongeveer 820.100.000 mannelijke zijn (steeds afgerond in het voordeel van diegene die de belachelijke bewering maakt). weer uitgaande van het negatieve cijfer van 258.000 IS-strijders, berekenen we dus dat slechts 0,032% van de moslims zich bij aansloot.
Indien u dus beweert dat ze allemaal hetzelfde zijn, beweert u dus ook dat we die 0,032% mogen afronden naar 100%.

Laat mij dan even het volgende doen met het volgende:
tabel
Dit is een tabel met de de standaard gelijkverdeling van gemiddelde IQ-waarden. Zoals sommigen misschien kunnen aflezen uit deze tabel, vinden we wanneer we zoeken naar de 0,032% domste mensen van de planeet, dat hun IQ ten hoogste 46 is. Wederom zo afgerond dat het de dommerik het beste uitkomt. Om u een idee te geven: mensen met een IQ tussen de 30 en 50 zijn mensen met een verstandelijke leeftijd tussen de 3 en 6 jaar.
Indien u 0,032% dus afrondt naar 100% dan hoort u ook bij deze groep mensen met mentale handicap en verstandelijke leeftijd tussen de 3 en 6 jaar!

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

peace.png

Leave a comment

Filed under andere

Aandelen, Belastingen en Kortingen erop (rekenen met procenten)

De voorbeelden die ik aangeef in de titel zijn misschien wel de eerste waar ook jij aan denkt bij het woord “procenten”. Of misschien ben je eerder een sportieveling die geïnteresseerd is in de hellingsgraad van de Mont Ventoux, ook deze data word in een hellingspercentage weergegeven. Anderen denken dan weer liever niet aan procenten omdat deze hen herinneren aan hun rapportcijfers na zware examenperiodes. Jammer genoeg komen deze procenten wel dikwijls voor en worden er toch al wel eens fouten in gemaakt. Dikwijls gaat het rekenen met procenten een beetje tegen onze intuïtie in. In dit blogartikel haal ik enkele voorbeelden aan.

perc

De meest gemaakte fouten in verband met procenten gebeuren bij het optellen ervan. Belangrijk om op te merken is dat procenten steeds een referentiegrootheid hebben. Zo kan bijvoorbeeld de prijs van een aandeel van het bedrijf SeppeCorp, vandaag met 1% stijgen… maar hoe groot is deze stijging nu in euro: 1€, 2€, 10€, 3,14€ …? Indien het aandeel vandaag startte aan de prijs van 10€ per aandeel, dan wil een stijging van 1% dus zeggen een stijging van 0,1€ of 10 cent. Wanneer het aandeel echter op 500€ de beurs opende wil een stijging van 1%, een verhoging van 5€ zeggen. Enkel zeggen dat het met 1% stijgt, geeft ons dus niet veel informatie. Wat we in dit geval willen weten is 1% ‘van hoeveel’. De startprijs is in dit geval dus de referentiegrootheid. Om een voorbeeld te geven van mogelijke fouten bij optelling blijven we even op de aandeelmarkt. Stel we hebben een aandeel in een ander beursgenoteerd bedrijf genaamd MilanCorp en we volgen hiervan de koers gedurende een week. Voor de eenvoud (en aangezien we met procenten werken) nemen we aan dat we één aandeel kopen dat net 100€ waard is aan het begin van deze week. Jammer genoeg doen de beurzen het slecht ‘s maandags en ons aandeel daalt met 40%. Gelukkig maakt de rest van de week dit goed door zowel op dinsdag, woensdag, donderdag én vrijdag met 10% te stijgen!
risefall
We hebben dus voor de 5 dagen volgende bewegingen: – 40%, + 10%, + 10%, + 10%, + 10% (-40% + 4 x 10%)Wil dit nu zeggen dat we terug op 100 euro staan?” NEEN! De reden dat we deze procenten niet zomaar mogen optellen en aftrekken, is omdat er voor elk percentage een andere referentiegrootheid is.
De daling van 40% op maandag is ten opzichte van de 100€ startwaarde van maandagmorgen.
100€ – (40% van 100€)
100€ – 40€ = 60€.

Dinsdag is de stijging ten opzichte van de nieuwe aandeelprijs… die is die ochtend dus maar 60€.
60€ + (10% van 60€)
60€ + 6€ =66€.

De stijging van 10% op woensdag is ten opzichte van deze nieuwe prijs… enzovoort. Indien je nakijkt hoeveel ons aandeel van 100€ nog waard is op het einde van de week zal je zien dat deze nu nog maar 87,85€ waard zal zijn. We kunnen percentages enkel en alleen optellen (of aftrekken) wanneer ze verwijzen naar dezelfde referentiegrootheid!

mediam

Deze misvattingen rond rekenen met percentages kan soms ook een beetje tot misleidende reclame leiden. Neem bijvoorbeeld elektronicagigant Mediamarkt. Zij pakken soms uit met acties als “21% BTW, weg ermee!” waarbij de klant de belasting toegevoegde waarde van 21% dus niet hoeft te betalen. “Leuk! 21% Korting dus!”… NEEN! Jammer genoeg niet. Laten we uitrekenen met een voorbeeldje. Stel we kopen een flat screen ter waarde van 1.000€ (exclusief BTW). Indien we deze buiten de actie aankopen zal de normale prijs dus 1.210€ (1.000€ + 210€ BTW) zijn. Tijdens de actie betalen we de BTW niet en hebben we dus 210€ korting. Als we nu berekenen hoeveel korting dit is komen we niet op 21% maar op:

procent

De 21% BTW laten vallen is dus gelijk aan een korting van 17,36%! Blijft natuurlijk een mooie korting, én Mediamarkt zegt ook nergens dat ze 21 procent korting geeft… meer zelfs, op de site laten ze eenzelfde berekening zien, om aan te tonen dat het slechts om 17,36% korting gaat. Maar mensen die dus niet weten hoe te rekenen met percentages, vergissen zich al wel eens.

lampiris

Gelukkig gebeuren de fouten niet altijd in ons nadeel! Kijk nu bijvoorbeeld de actie van energieleverancier Lampiris. Deze hebben nu een actie van -15% (gedurende één jaar). Deze actie is het gevolg van de stijgende factuur ter aanleiding van de Tax shift die in plaats van 6% nu 21% zal heffen op onze energiefacturen. “Hey maar, van 6% naar 21% is een stijging van 15% en bij Lampiris krijgen we 15% korting dus mijn factuur blijft even duur!”… NEEN! Je factuur zal zelfs goedkoper worden! We zullen wederom uitgaan van het eenvoudige voorbeeld dat onze factuur exclusief BTW het ronde bedrag van 100€ bedraagt. Vorig jaar zouden we hier dus met de 6% BTW, 106€ voor betalen. Dit jaar, vanwege de Tax shift, betalen we er 21% BTW op en dus 121€ (factuur stijgt met 15€ wat overeenkomt met een stijging van 14,15%).

procent2

Lampiris zegt nu 15% korting te geven op deze factuur van 121€. Of dus 15% van 121€ = 18,15€ vermindering. Resultaat: Onze factuur was 106€, steeg naar 121€ en is na de korting nog ‘maar’ 102.85€. Ten opzichte van vorig jaar zijn we in dit geval dus zelfs zo een 3,15€ goedkoper! (als we dit in het algemene geval berekenen is dit ten opzichte van vorig jaar dus een korting van 2,97%). Bedankt Lampiris!

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere

online samenvattingen: vergelijkingen

Bij dit begin van dit schooljaar heb ik al enkele mensen een beetje bijgestaan bij het vak.
Voor de betreffende leerstof heb ik enkele powerpoints gemaakt.

ppt

De eerste herhaalt enkele basiseigenschappen van vergelijkingen van de eerste graad, en stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden (eerste graadvergelijkingen)

stelsels van vergelijkingen

ppt2

het tweede bestand geeft basiseigenschappen van 2de graadvergelijkingen.
Gaandeweg zal ik deze updaten en aanvullen met nieuwe slideshows.

vergelijkingen van de 2de graad 

Indien er vragen of opmekingen zijn mogen deze steeds doorgegeven worden. Suggesties voor andere onderwerpen waar u of u kinderen of leerlingen moeite mee hebben zijn ook steeds welkom.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

stelsels van vergelijkingen

vergelijkingen van de 2de graad 

Leave a comment

Filed under andere

Functies, Machines en de 2de ronde van Blokken

Eén van de meest gebruikte begrippen in heel de wiskunde zijn ‘functies’. We zoeken steeds zoveel mogelijk informatie over deze dingen. Hun domein, bereik, grafiek, tekenverloop, maxima, minima, … Van deze functies kunnen we blijven doorvragen en dat maakt het een typische oefening voor op de examens. Maar laten we eens heel basic bekijken wat een functie eigenlijk doet, wat enkele van deze begrippen zijn, en een toepassing ervan in het dagelijkse leven. Een functie geeft het verband weer tussen een verzameling mogelijke input en een andere verzameling met outputs. Je kan het dus eigenlijk voorstellen als een soort machine waarbij je iets langs 1 kant ingeeft: input. De machine verwerkt dit en stuurt iets anders naar buiten: output.

LAA022068

Bijvoorbeeld de input van een magnetron kan zijn: een diepgevroren pizza. Wanneer je het eten in ‘de machine’ steekt, zal deze hem opwarmen, en als output krijg je: een opgewarmde pizza. Je kunt een ijsje in de magnetron leggen als input. De machine zal deze laten smelten, en als output krijg je water. Enzovoort… Natuurlijk mag je niet alles in een magnetron steken! Bijvoorbeeld metaal is uit den boze. Het spreekt voor zich maar ook levende wezens zijn niet geschikt om in een magnetron te steken… De verzameling van alles wat we wél in deze machine mogen steken, of dus de verzameling van mogelijke inputs  heet het ”DOMEIN”. Nadat de machine gewerkt heeft kan er zoals we al zeiden een pizza of water weer uitkomen… De verzameling van mogelijke outputs zullen we de naam “BEREIK” geven.

En zo kan je voor alle machines die je kent, bepalen wat je erin kan steken en er mogelijk ook weer uit zal komen… Ook voor wiskundige machines of dus de functies is dit zo het geval. Neem bijvoorbeeld de functie y = x².

mach1

Wat is het domein, of wat mogen we dus allemaal in deze machine steken? Wel we kunnen van elk getal een kwadraat nemen dus het domein zal de hele verzameling getallen zijn. De output zal echter steeds positief zijn dus het bereik is de verzameling van alle positieve getallen (we denken even de imaginaire getallen weg). Neem nu volgende machine:

mach2

Aangezien we enkel een vierkantswortel mogen nemen van positieve getallen, mogen we dus enkel getallen groter of gelijk aan 0 in de machine steken. Het domein is daarom ook de verzameling van alle getallen groter dan, of gelijk aan 0. In dit geval zal het bereik opnieuw de verzameling van alle getallen zijn. (wederom de imaginaire getallen buiten beschouwing gelaten).
Andere machines vragen om meer input. In een printer moeten we bijvoorbeeld naast papier ook zwarte en gekleurde inkt in de machine steken. Deze worden samen gebruikt om bijvoorbeeld een tekening uit te printen. Zo zijn er ook functies die om meer input vragen:

mach3

Laten we om een voorbeeld van functies uit te leggen, even naar het televisiespel BLOKKEN van de zender “één” kijken. Dit spel is opgebouwd uit 3 ronden én een finalespel, maar we zullen voor dit voorbeeld enkel kijken naar de 2de ronde, waar de spelers 5 dezelfde vragen worden voorgeschoteld. Bij een juist antwoord winnen de spelers 10 punten én 1,2,3,4 of 5 Tetris-blokjes waarmee ze lijnen kunnen vormen (in een tetrisspel) die telkens 50 punten waard zijn. Host Ben Crabbé hield lang vol dat de maximale score tijdens deze ronde 300 punten was, omdat na 18 jaar BLOKKEN-geschiedenis, nog nooit iemand de kaap van de 300 had kunnen overschrijden. Laten we even kijken of we een functie (machine) kunnen opstellen die de échte maximale score berekent.

blok_3500_ben_464

De functie zal een machine zijn waarbij de y-waarde, of dus hetgeen de machine produceert, de score is. Wat geven we in de machine in? Twee ingrediënten zijnde het aantal juiste antwoorden: a, én het aantal gewonnen blokjes: b. Aangezien een juist antwoord 10 punten waard is, ziet de score-formule (zonder rekening te houden met de blokjes en mogelijke lijnen) er zo uit:10a

Het deel van de score die afhangt van het aantal gewonnen blokjes is een klein beetje ingewikkelder.  Zoals je misschien wel weet, is elk Tetris blokje, onafhankelijk van zijn vorm, opgebouwd uit 4 kleine vierkantjes. Een lijn ter waarde van 50 punten, maak je wanneer je 10 van deze kleine vierkantjes naast elkaar kan puzzelen. Het deel dat we nog aan de formule moeten toevoegen is dus: aantal blokjes maal 4 (elke blok bestaat uit 4 vierkanten) gedeeld door 10 (10 vierkantjes per lijn) maal 50 (50 punten per lijn). We verkrijgen dus:

10a41050bOf herschreven:

10a20bEr zijn maximaal 5 vragen juist te beantwoorden, en 15 blokjes te winnen. Daarom vullen we in deze functie of ‘machine’ dus volgende input in: a=5 en b=15. Als we dan de machine zijn werk laten doen (in dit geval het uitwerken van de wiskundige bewerkingen) geeft deze als output y = 350.

350Let wel, deze formule berekent de maximaal te halen scoren. We gaan er dus van uit dat de speler ook wel degelijk goed kan puzzelen met de 15 gekregen blokken en zo 6 volledige lijnen bij elkaar speelt. Enkele jaren geleden (op 13 oktober 2011) slaagde kandidaat Patrick Vanhoof erin om deze maximale score te behalen. Ben is ondertussen dus al lang overtuigd maar bij deze is het dan ook wiskundig vastgelegd.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

1 Comment

Filed under andere

Mazelen, Ebola en Zombies

Ziektes zijn er in alle vormen en kleuren, de ene (jammer genoeg) al wat erger dan de andere. Sommige zijn niet levensbedreigend, andere dan weer wel. Sommige zijn te behandelen andere niet. Sommige zijn niet overdraagbaar, andere zijn dan weer zeer besmettelijk…Wat ons vandaag interesseert, is deze laatste categorie van besmettelijke ziekten.

Wiskundigen zoeken steeds naar patronen in data en/of naar wiskundige modellen om deze data te begrijpen en in het beste geval enkele conclusies te trekken en zelfs kleine voorspellingen te doen. Ook voor het geval van besmettelijke ziekten zijn er zulke modellen ontwikkeld. Het eerste, SIR-model zoals het heet, werd bedacht door Kermack en McKendrick en dateert al van 1927. In dit model staat de S voor Suspectable (vatbare groep mensen), de I voor Infected (besmette groep mensen) en de R voor Removed (verwijderde groep mensen). Met verwijdert bedoelen we dat deze groep mensen uit het systeem verwjderd worden, wat wil zeggen dat ze niet meer opnieuw ziek kunnen worden. Ofwel stierven de mensen aan de ziekte ofwel (nemen we voor dit basismodel aan) werden ze na genezing immuun zijn aan de ziekte. Het totale aantal mensen dat we in het hele systeem bekijken is N, met andere woorden: S + I + R = N.
Logischerwijze volgen de mensen de volgende stroom in het schema: ze zijn vatbaar -> worden ziek, -> genezen (en dus immuun) of sterven aan de ziekte:SIR

Merk op dat mensen dus enkel kunnen bewegen van groep S naar I of van I naar R, (niet in de andere richting). Wat nu heel belangrijk is van het model, en waar het grote verschil zit tussen verschillende ziektes is de snelheid waarmee mensen van groepen veranderen. De snelheid waarmee je van S naar I verplaatst geeft eigenlijk weer hoe snel je ziek wordt of besmet raakt. dit tempo waarbij vatbare mensen besmet worden met de ziekte noemen we de infectiekracht en zullen we verder voorstellen als: β (Griekse letter Beta). Bij zeer besmettelijke ziektes zal deze dus groot zijn.
We hebben een soortgelijke factor die de snelheid aangeeft waarbij we van groep I naar groep R bewegen, namelijk γ (Griekse letter Gamma). Dit is 1 gedeeld door de gemiddelde infectieperiode. Dat wil dus zeggen dat voor ziektes waar we snel van genezen (of overlijden) dat γ zeer groot is. Ziekten waar we langer mee worstelen alvorens we ervan genezen (of eraan overleden) zijn, zullen een kleinere waarde hebben voor γ.
Als we dit allemaal in een soep mengen vinden we onderstaande systeem van 3 forumules die aantonen hoe de aantallen van de verschillende groepen S, I en R zullen veranderen in de tijd:

SIR1

In deze formules zien we iets van de vorm dS/dt. Eenvoudig gesproken wil dit zeggen: “Hoe gedraagt S zich na enige verloop van tijd” (vandaar de kleine t van tijd in de formule). In de eerste formule zal de groep steeds kleiner worden (vandaar het negatieve teken). groep I zal langs de ene kant vergroten (mensen die vanuit groep S komen omdat ze ziek worden) en langs de andere kant verkleinen (mensen die genezen/sterven en dus van groep I naar R verhuizen). Groep R zal enkel toenemen met mensen die genezen (en dus immuun) of overleden zijn.

Nogmaals, dit is een zeer eenvoudig model! Het houdt enkel rekening met de snelheid waarmee we ziek worden, en hoelang we gemiddeld ziek zijn, en het gaat ervan uit dat eens genezen, je ook immuun bent. Je kan het model uitbreiden en bijvoorbeeld rekening houden met het geboorte en sterftecijfer (sterfte onafhankelijk van de ziekte). Rekening houden met het feit dat sommige mensen met immuniteit geboren worden, of preventief vaccinaties krijgen, zieken in quarantaine geplaatst worden… enzovoort.
Wat wel moet opvallen is dat β en γ,2 héél belangrijke indicatoren zijn bij het inschatten van een mogelijke epidemie van een ziekte! Daarom bundelen we ze in volgende formule waarbij we het Reproductiegetal berekenen: SIR2Dit Reproductiegetal geeft je een beetje een idee van hoe groot de kans op epidemieën zijn. Indien kleiner dan 1 zal de infectie uitsterven. Wanneer het reproductiegetal >1, dan kan de infectie zich verspreiden over de bevolking.

Ebola en de Mazelen

Nog niet zo lang geleden hoorde je veel over de ziekte Ebola die vooral in Guinea, Sierra Leone en Liberia slachtoffers eiste. Deze besmettelijke ziekte zaaide enkele weken paniek, omdat velen vreesde voor een wereldwijde epidemie. Vele studies werden gedaan om na te gaan hoe groot het gevaar van zulk een pandemie wel was. Hier vind je bijvoorbeeld een studie. Merk op dat hier gebruikt werd gemaakt van het SEIR-model. Soortgelijk aan ons SIR-model maar met een extra stap tussen de vatbare groep mensen, en de geïnfecteerde groep. Dit tussenstadion heet E voor Exposed, of de blootgestelde mensen. Maar zoals gezegd zijn vooral parameters β en γ van belang. Uit onderzoek blijkt dat de gemiddelde infectieduur ongeveer 5,61 dagen bedraagt en dus is γ=1/5,61. β blijkt afhankelijk te zijn van streek tot streek: β-Guinea=0,27, β-Sierra Leone=0,45 en β-Liberia=0,28. Zo kunnen we dus met bovenstaande formule het belangrijke reproductiegetal berekenen voor de verschillende streken. Voor Guinea, Sierra Leone en Liberia is dit dan respectievelijk 1,51; 2,53 en 1,59.

Telkens groter dan 1 en dus is er steeds een kans op het uitbreken van een epidemie. maar laten we dit een keer vergelijken met andere ziekten:

reproductiegetalZo zie je meteen dat bijvoorbeeld Mazelen een veel groter gevaar vormt in orde van besmettelijkeheid. Gemiddeld geeft een patiënt met Ebola de ziekte door aan 2 andere personen terwijl iemand met de mazelen zo een 24 mensen aansteekt. Natuurlijk zijn de gevolgen van Ebola wel veel ernstiger.

Zombies

Eens er zulk een wiskundig model opgesteld is, kan men deze trachten toe te passen op verschillende ziekten, maar ook op andere ‘besmettelijke’ begrippen. Zo is er bijvoorbeeld aan de hand van deze modellen onderzoek gedaan naar “populaire woorden”. Hoe het gebruik van zulke woorden doorgegeven word en hoelang het duurt vooraleer zo een hype uitsterft. Bijvoorbeeld het woord “Selfie” kan je met dit model gaan bekijken. Hoe aanstekelijk is het (β) en hoelang wordt het gebruikt door een persoon of groep vooraleer het woord minder in omgang is (γ)?
Een andere leuke studie die iets meer tegen de ziekten aanleunt is die van een uitbraak van Zombies. In deze studie bekijkt men verschillende scenario’s en schema’s waarbij men zoals in volgende voorbeeld rekening houd met een quarantaine zone (Q) en ook een groep mensen die gebeten werden en pas na 24 uur zombie zullen worden (I). Deze laatste groep komt een beetje overeen met de groep blootgestelde mensen van het SEIR-model. Waar we bij het SIR-model de I gebruikte voor geinfecteerde mensen, noemen we ditmaal de ‘zieke’ bevolking of dus de zombies, groep Z. Zoals je ziet kan het model aanzienlijk ingewikkijld worden indien we met meer factoren rekening willen houden.

zombies

Naast β en γ zie je nog verschillende parameters omdat er natuurlijk ook meer groepen zijn waartussen beweging mogelijk is. Het Griekse getal Pi in dit schema stelt het geboorte cijfer voor bijvoorbeeld. Deze parameters kan je indien je wil, halen uit boeken of films… Zo weet je uit de film “World-War Z” dat er bijvoorbeeld 12 seconden infectietijd nodig is om van een mens een zombie te maken. Uit “I am legend” of  “28-days later” haal je misschien weer andere informatie enzovoort…
Je kan iets soortgelijks opstellen om de groei van een vampieren-gemeenschap te voorspellen! Allemaal heel belangrijk moest een van deze dagen een zombie of vampier actief zijn…

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

2 Comments

Filed under andere

wiskunde gaat viraal (+nieuw raadsel)

Enkele weken geleden ging er een probleem de wereld rond: Op welke dag valt Cheryl haar verjaardag?
verjaardagsprobleem
Dit was een vraagstuk uit de wiskunde-olympiade te Singapore. Uit dit gesprek zou je de juiste datum van Cheryl’s verjaardag moeten kunnen vastpinnen. Aangezien dit probleem heel snel heel de wereld rondging zijn er ook enorm veel plekken waar je de oplossing kan terugvinden. (bijvoorbeeld hier of een filmpje op you tube hier)

Hier volgt een ander soortgelijk raadsel waarbij je door logisch denken aan de juiste oplossing moet komen.
De hersenkraker gaat als volgt:

B:- Hey Albert!
A:- Hey Bernard, alles ok?
B:- Ja hoor, en met jou… en de kinderen?
A:- Alles in orde met mij, en m’n drie kinderen.
B:- Hoe oud zijn ze nu ook alweer?

Hier begint het raadsel waarbij Albert de leeftijd van z’n kinderen omschrijft.
A:- Het product van de leeftijden is 72.
B:- Hmmm, ik weet nog steeds niet hoe oud ze zijn.
A:- Wanneer je de leeftijden optelt kom je uit op het getal dat ook je huisnummer is.
B:- Hmmm, ik weet het nog steeds niet hoor.
A:- De lievelingskleur van mijn oudste kind is groen.
B:- Dan weet ik de leeftijden van je drie kinderen!

Kan jij ook achterhalen wat de leeftijden van de kinderen zijn?
Probeer dit raadsel te delen om deze ook viraal te krijgen!

Mail me op waaromwiskunde@hotmail.com voor het antwoord, hints of suggesties van andere raadsels

Leave a comment

Filed under andere

Je kansen verbeteren bij krasspelen

Laten we zoals in de tekst “Eerlijke spelletjes en krasloten” een spelletje spelen waarin je voor een inzet van 2€ een doos mag kiezen waarin een onbekende prijs zit. Elke doos ziet er identiek uit en je kan niet zien wat erin zit. Je weet wel dat er twee lege dozen zijn, één waar 1€ in zit, één met 4€ en in nog één zit 5€.

boxes

Je kan makkelijk nagaan wat je gemiddelde winst is. Je wint gemiddeld  2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€ en betaalt ook 2€ om mee te mogen spelen… 2€ gemiddelde prijs – 2€ deelname = gemiddeld 0€ omzet.  Een andere manier om dit te bekijken is te veronderstellen dat je alle 5 de dozen opkoopt. Je wint nu alles of dus 0€+0€+1€+4€+5€=10€. Je moet dan natuurlijk wel 10€ uitgeven om de 5 dozen te kopen. Wederom is je omzet dus 0€. Zonder tactiek is je gemiddelde winst dus 0€!

Maar stel dat je niet blindweg alles zou kopen maar volgens de volgende tactiek speelt:
Stap 1: Je koopt een doos en bekijkt de prijs.
Stap 2: Indien je de hoofdprijs hebt (in dit geval 5€) stop je met spelen, anders herhaal je dit proces.
Laten we even bekijken hoe we nu berekenen hoeveel we gemiddeld zullen winnen. volgens dit speelplan heb je heel wat verschillende uitkomsten. (in volgende berekeningen zal ik een onderscheid maken tussen de twee dozen zonder waarde, door ze voor te stellen door een zwarte en rode 0. in volgende afbeelding zie je respectievelijk de verschillende mogelijkheden voor moest je in 1 beurt, 2 beurten, 3,4 of 5 beurten de juiste doos kiest.
mogelijkhedenIn de situatie waarbij je in 1 beurt wint, is er maar 1 mogelijkheid namelijk dat je meteen de doos van 5€ kiest. Voor de situatie waarbij je pas in de tweede beurt wint zijn er al 4 mogelijkheden. Je neemt namelijk eerst één van de vier ‘foute’ dozen en dan pas de juiste… Zo zijn er zoals je kan zien 12 mogelijkheden om in de derde beurt het hoogste lot te kiezen en eindigen in 4 of 5 beurten kan beide op 24 verschillende manieren.

Winnen in 1 keer

De kans dat je in je eerste beurt de juiste doos kiest is 1/5, dit is vrij logisch. in dat geval win je 5€ min de 2€ om te mogen gokken. dus je winst is dan 3€

Winnen in 2 beurten

boxes2

De kans dat je pas in de tweede beurt de juiste doos kiest is ook 1/5. Dit omdat je 4/5 kans hebt dat je in de eerste beurt verkeerd koos, bijvoorbeeld een doos met waarde 0. Dan zijn er nog 4 dozen over en is de kans dus 1/4 dat je nu wel de juiste kiest. totale kans is dan 4/5 x 1/4 = 1/5. Als je de afbeelding met mogelijkheden bekeek zijn er 4 manieren om in de tweede beurt te winnen: 2 maal zal je eerst een lege doos gekozen hebben gevolg door de 5€. Het kon ook dat je eerst 1€ ontving en dan de 5€ of eerst 4€ en dan 5€. Je zal indien je pas in de tweede beurt won dus ofwel in totaal 5€, 5€, 6€ of 9€ aan prijzen opstrijken. Gemiddeld is dit (5+5+6+9)/4 = 6,25€. Min de 4 euro die je betaalde om mee te spelen (je hebt nu 2 dozen moeten kopen) is dit 2,25 euro winst.

Winnen in 3 beurten

Wederom is de kans dat je in 3 beurten pas de doos van 5€ kiest 1/5. Dit is (de kans dat je in de eerste beurt verkeerd koos) maal (de kans dat je in de tweede beurt fout koos) maal (de kans dat je in de derde beurt de 5€ kocht) of dus 4/5 x 3/4 x 1/3 = 1/5. Nu kan je wederom de afbeelding met mogelijke resultaten bekijken. Er zijn 12 mogelijke manieren om in de derde beurt te winnen en als je mogelijke winsten nagaat zal je zien dat je gemiddeld 7,5€. Min de 6€ die we betaalde om 3 keer een doos te mogen kiezen maakt dit 1,5€ winst.

Winnen in 4 of 5 beurten

ook deze twee scenario’s hebben een kans van 1/5 om voor te vallen. Gemiddeld zal je na het ‘uitspelen’ in 4 of 5 beurten, respectievelijk 0,75€ of 0€ winst maken. Dit kan je helemaal analoog berekenen als hierboven.

Winst

we weten nu dat we in 1/5 van de gevallen 3€ winst maken. Voor 1/5 van de gevallen zal dit 2,25 euro zijn. In 1/5 van de keren win je 1,5€. In 1/5 verdien je 0,75€. In 1/5 van de keren zal het tot de laatste doos duren tot je de hoofdprijs kiest en win je niets of 0€. Je gemiddelde kans zal nu dus 1/5 x 3€ + 1/5 x 2,25€ + 1/5 x 1,5€ + 1/5 x 0,75€ + 1/5 x 0€ = 1,5€!
Met andere woorden zou zonder tactiek elke je gemiddelde winst 0€ zijn. Maar als je deze tactiek toepast waarbij je doorspeelt tot je de hoofdprijs hebt, en meteen erna stopt, is je winst gemiddeld 1,5€.

Krasloten

Deze tactiek kan je natuurlijk ook toepassen op krasloten van de nationale loterij! Hier weet je namelijk dankzij het lotenplan telkens hoeveel loten er te koop zijn met een specifieke prijsverdeling. Net zoals we boven een aantal dozen hadden met een specifieke prijsverdeling. Kijk bijvoorbeeld naar het lotenplan van “Spicy Cash“. Ook hier is er een scenario waarbij je in 1 keer wint indien je meteen de hoofdprijs van 500.000€ koopt. Je winst is dan 499.995€ want een ticketje kost 5€. Jammer genoeg zal dit slechts in 1/1.000.000 van de keren voorvallen. Er zijn ook 999.999 mogelijke scenario’s waarbij je pas in de tweede beurt de hoofdprijs wint… enzovoort.

spicy

Je kan weer net zoals in het spel met de 5 dozen een schema opstellen met al de mogelijke scenario’s. Tot en met de laatste mogelijkheid waarbij je pas in de allerlaatste beurt het beste lot koopt. Je merkt dat dit enorm omslachtig zal zijn aangezien er in plaats van 5 dozen nu maar liefst 1.000.000 loten zijn…
Daarom heb ik dit voor jou berekent. In de post  “Eerlijke spelletjes en krasloten” zag je al een grafiek waarbij per krasspel kon zien hoeveel je ticket waard is per uitgegeven euro. Wanneer we voor dit spel nagaan hoeveel een ticket waard is zonder tactiek dan vinden we dat deze per uitgegeven euro ongeveer 0,658€ waard is.

lotto2

Op deze grafiek is dat de licht groene curve. Op de donker groene curve zie je hoeveel de besproken tactiek je kansen zal verbeteren. Voor sommige spelletjes merk je een kleine verandering. Voor het spel Spicy Cash zal deze tactiek het grootste verschil maken! De gemiddelde waarde van je ticket zal na het toepassen ervan namelijk van 0,658€ naar 0,758€ stijgen. Je ticket is dan gemiddeld dus een 15% in waarde gestegen of in dit geval zo een 10 cent.
Het spel waarbij het ticket nu de meeste waarde heeft is nu Subito XXL en niet langer Share&Play wat zonder de tactiek de beste bleek te zijn.

Merk op dat je nog steeds geen loet zal hebben waarbij de gemiddelde waarde per uitgegeven euro, maar is dan 100 cent. Je zal over het algemeen dus nog steeds verlies maken bij het spelen van dit soort spelletjes!

(indien je graag de volledige excel-lijst wil van de krasloten kan je altijd een mailtje sturen waaromwiskunde@hotmail.com)

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

limieten

Leave a comment

Filed under andere

Eerlijke spelletjes en krasloten

In deze tekst bespreek ik hoe je kan nagaan of je een ‘eerlijk’ of ‘oneerlijk’ spel aan het spelen bent aan de hand van winstkansen. Ik zal dan nagaan welk krasspel van de nationale loterij het ‘eerlijkst’ is. eerlijke spelletjes We spreken van een eerlijk spel wanneer elke speler een gelijke kans heeft om te winnen, of wanneer de gemiddelde winst van beide spelers even groot is. Bijvoorbeeld 2 spelers Mats en Milan gooien een munt op. Bij kop wint Mats, anders wint Milan. Dit is een eerlijk spel omdat er een 50/50 kans is dat de munt land op “kop”. Gemiddeld wint Mats dus in 50% van de gevallen 1€, of dus 0,5€, Net als Milan. Wanneer een dobbelsteen geworpen wordt, spreken Lore en Lotte af om de winst als volgt te verdelen. Wanneer een 1 of een 2 word geworpen krijgt Lore 12 punten. Wanneer de dobbelsteen op 3,4,5 of 6 land zal Lotte 6 punten verdienen. De eerste die een score van 60 punten heeft wint het spel… Is dit eerlijk? JA: Lore zal in 2 op de 6 worpen winnen en 12 punten sprokkelen. Gemiddeld wint ze dus 2/6 x 12 = 4 punten per beurt. Lotte wint in 4 van de 6 worpen ‘slechts 6 punten. Maar gemiddeld heeft ook zij 4/6 x 6 = 4 punten per worp. Nog 1 voorbeeld: Stel je ziet voor je afgesloten 5 dozen staan waaruit je kan kiezen, en de geheime inhoud mag houden. Om het spel mee te spelen moet je 2€ betalen aan de uitdager. In twee dozen zit niets, als je deze kiest zal je dus 0€ winnen. in de overige dozen zit respectievelijk 1€, 4€ en 5€. boxes Ook dit is een eerlijk spel voor je: jou gemiddelde winst is 2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€. Je moest natuurlijk 2€ betalen om mee te mogen doen. gemiddeld is je omzet dus 0€. Je kan deze berekening ook omdraaien voor de uitdager. deze moet gemiddeld 2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€ uitbetalen, maar verdient natuurlijk jou inzet van 2€ en dus ook zijn gemiddelde winst per spel is 0€. zowel jij als de uitdager winnen 0€ en dus zijn de winsten gelijk wat het een eerlijk spel maakt. Krasloten Ik had het laatste voorbeeld ook anders kunnen uitleggen door de dozen te vervangen door krasloten. Laten we er één van de vele krasspelen van de nationale loterij bijhalen. Voor elk spel kan je online bekijken hoeveel loten er zijn die 0€ opleveren en achter hoeveel loten er wél een prijs verscholen zit. In volgende afbeelding zie je het lotenplan van het spel “Love Nature”. Dit is de verdeling van de winnende biljetten per gedrukte stapel van 625.000 krasloten.  Hier vind je de volledige info omtrent het spel. nature Je betaalt, net zoals het spel met de dozen, 2€ per deelname. Ook nu kunnen we uitrekenen wat je gemiddelde wint. 1/625.000 x 50.000€ + 6/625.000 x 2.500€ + 50/625.000 x 250€ + 7000/625.000 x 25€ + 19.750/625.000 x 10€ + 22.000/625.000 x 5€ + 100.000/625.000 x 2€ + 476.193/625.000 x 0€ = 1,216 €. Je betaalt dus 2€ voor een ticket en deze is gemiddeld 1,216 € waard. Je gemiddelde omzet is dus 1,216€ – 2€ =  – 0,784€ (of dus 0,784€ verlies). De gemiddelde winst van de loterij is dan 0,784€. Dit is dus geen eerlijk spelletje wat natuurlijk ook te verwachten is. Net zoals een casino heeft de loterij meer winstkans aangezien het voor hen belangrijk is om winst te kunnen maken als bedrijf. Merk op dat de kans dat je een winnend krasbiljet in handen hebt gelijk is aan 148.807/625.000 = 23,81% Dit wil zeggen dat je ongeveer in 1 op 4,2 spelletjes een prijs zal krabben. Maar de nationale loterij heeft wel meer krasloten… niet enkel tastbare maar ook virtuele krasspelen waarmee je online kan spelen. Na een vraag van een collega zette ik even op een rijtje welke de interessantste zijn om aan te schaffen. lotto1Op deze afbeelding zie je 2 grafiekjes. de rode (iets minder belangrijke) toont aan hoeveel kans je hebt om een winnend biljet in handen te hebben. Dit lijkt belangrijk maar bedenk je het volgende. Stel je voor dat ik het volgende spel met dozen voorstel: boxes11111Ook nu betaal je 2€ per deelname. Inderdaad, welke doos je ook kiest, je zal 100% zeker zijn dat je een “winnend lot” gekozen hebt. Dit voorbeeld zal op de rode grafiek dus de maximale waarde voorstellen. Maar aangezien je slechts 1€ wint na er 2€ betaalt te hebben is dit toch een zeer oninteressant spel. Wat belangrijker is aan de afbeelding met de grafieken is de groene curve. Deze toont je hoeveel je ticket waard is per uitgegeven euro. Voor het spelletje “Love Nature” hadden we dit al berekend: we betaalden 2€ per lot en gemiddeld was deze er 1,216€ waard. Per uitgegeven euro is je ticket dus 0,608€ waard (de 0,392€ is winst voor de nationale loterij). Nu kan je de groene grafiek dus raadplegen wanneer je jezelf de vraag stelt: voor welk spel is een ticket het meeste waard per geïnvesteerde Euro? Hoe hoger deze groene curve ligt hoe beter. Om die reden is het spel “Share & Play” het interessantste. Elk lot van dit type is gemiddeld 0,729€ waard (hieraan heeft de nationale loterij ‘slechts’ 0,271€ winst). Het minst interessant spel was 21 waarbij elk biljet slechts 0,569€ waard was per uitgegeven euro. Dit krasspel is sinds kort niet meer te koop. In een volgende post vertel ik hoe je met een juiste tactiek, de waarde per ticket (theoretisch) een klein beetje kan verhogen waardoor de groene grafiek dus hoger komt te liggen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

limieten

1 Comment

Filed under andere