Perfecte getallen

We weten dat er oneindig veel getallen bestaan. Als we deze als wiskundigen bestuderen merken we dat sommige eigenschappen uniek zijn voor één specifiek getal. Andere eigenschappen gelden dan weer voor een grote groep getallen (deze grote groep kan zelfs oneindig zijn). De priemgetallen zijn zo een voorbeeld van oneindig veel getallen die aan een bepaalde eigenschap voldoen. Als we willen kunnen we de groep van de priemgetallen ook nog eens opdelen. Sommige priemgetallen hebben bijvoorbeeld een bepaalde vorm. Zulke groep ‘speciale’ priemgetallen krijgen dan dikwijls weer een aparte naam…

De eigenschap die ik nu wil uitleggen is die van de perfecte getallen. De definitie is als volgt: “een getal is perfect, als de som van zijn delers gelijk is aan het getal maal 2”. Om te weten of een getal een perfect getal is, moeten we dus het volgende doen:

stap 1: schrijf de delers op van het getal dat we onderzoeken.

stap 2: tel de delers bij elkaar op.

stap 3: als deze som gelijk is aan 2 maal het getal dat we onderzoeken, dan noemen we dit getal “perfect”.

six

Zo is 6 bijvoorbeeld een perfect getal want de delers van zes zijn 1, 2, 3 en 6 zelf, en 1+2+3+6 = 12 = 6×2.
Zo is 9 geen perfect getal want de delers van negen zijn 1,3 en 9 zelf, en 1+3+9=13 wat niet gelijk is aan 9×2.

Het speciale aan deze perfecte getallen is dat we er ontzettend weinig van weten. Op deze wikipedia site vinden we een lijst met al de tot nu toe bekende perfecte getallen. Tot nog toe zijn dit er amper 48. Al die getallen eindigen op een 6 of 8,… Is dit altijd zo? Gaan we oneindig veel perfecte getallen vinden? Bestaat er een snellere manier om na te gaan of een getal perfect is (in plaats van alle delers op te tellen)?… Zo heersen er nog wel wat vragen rond deze getallen…

mersenne

Wat we wel weten is dat ze verbonden zijn met Mersenne priemgetallen (genoemd naar pater Mersenne, zie foto). Dit is zo een aparte groep priemgetallen die een speciale vorm hebben (zoals ik bij het begin al zei). Het zijn de priemgetallen van de volgende vorm 2^n -1. Hiermee bedoel ik 2x2x2x… n keer 2 met zichzelf vermenigvuldigen… x2x2x2 en dan er 1 van aftrekken. (Ook het grootste priemgetal dat we kennen heeft deze vorm!).
Hoe zijn deze priemgetallen nu verbonden met onze perfecte getallen? Wel er bestaat een formule die de twee verbindt. Als we een perfect getal ontdekken, vinden we via de formule automatisch ook een nieuw Mersenne priemgetal. Andersom geldt dit ook, telkens we een nieuw Mersenne priemgetal berekenen, hebben we ook een nieuw perfect getal. Er zijn dus ook exact 48 Mersenne priemgetallen. Aangezien grote priemgetallen zo belangrijk zijn (voor vele belangrijke toepassingen waarover ik zeker nog zal bloggen) is het dus interessant om nieuwe, hele grote perfecte getallen te zoeken om ze dan om te zetten naar een heel groot priemgetal.

((Een oude christelijke geleerde (Augustinus) verklaarde met deze perfecte getallen waarom God uitrustte op de zevende dag. 6 Is namelijk een perfect getal en daarom schiep God de wereld in 6 dagen en besloot hij de 7de uit te rusten.))

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

1 Comment

Filed under experiment in 3 stappen, Toepassingen voor elke dag

One response to “Perfecte getallen

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s