ingebeelde getallen in een echte wereld

We gebruiken elke dag getallen. Als we telefoonnummers gebruiken, prijzen bekijken, het uur lezen, … De verzameling van getallen die wij dagelijks gebruiken noemen we de reële (werkelijke) getallen.

Afbeelding

We kunnen die grote verzameling van de reële getallen nader bestuderen en we herkennen daarin verschillende belangrijke deelverzamelingen. Zo zijn er de natuurlijke getallen \N : {0,1,2,3,4,…}. Als we bij de natuurlijke getallen ook de negatieve getallen toevoegen krijgen we al de gehele getallen \Z: {…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}. Tussen al die gehele getallen zitten natuurlijk nog eens oneindig veel kommagetallen; zij die te schrijven zijn als breuk noemen we de rationele getallen \Q. De kommagetallen die niet als breuk te schrijven zijn, heten irrationale getallen (het bekendste irrationale is wellicht het getal π = 3.1415926… )
Deze getallen zijn ons allemaal bekend, en we gebruiken ze zoals gezegd constant.

Maar als je denkt dat dit al de mogelijke getallen zijn die we gebruiken tijdens de wiskunde, dan zit je mis. Er is namelijk nog een andere ‘vrij nieuwe’ soort, de “imaginaire” getallen. (imaginair betekent eigenlijk letterlijk ingebeeld). We werken met andere woorden met getallen die eigenlijk niet bestaan… Het klinkt gek maar ik leg even uit en hoe ze ontstaan zijn. 

Afbeelding

Zoals we leren op school kunnen we de vierkantswortel nemen van positieve getallen: √4 = 2 want 2×2 = 4,   √36 = 6 want 6×6 = 36, √324 = 18 want 18×18 = 324,… wat sommigen misschien al weten, is dat niet alleen 2, maar ook -2 een oplossing is van √4. Want ook -2 x -2 =  4! Ook bij de andere voorbeelden geldt dit, √36 is naast 6 ook gelijk aan -6. En -18 is ook een wortel van 324… Als we de vierkantswortel nemen van een positief getal hebben we dus steeds 2 oplossingen, een positief en negatief getal. 
Wat is nu de oplossing van √(-4) ??? Het is niet -2, want -2 x -2 = (+)4. Het is ook niet +2 want 2 x 2 is eveneens (+)4… Heel lang hebben we daarom als wiskundigen gezegd “We kunnen enkel de wortel trekken van positieve getallen. Wortels trekken van negatieve waarden is onmogelijk!”.

Afbeelding

En het is hier waar het verhaal van de imaginaire getallen begint. Wiskundigen kwamen steeds vaker problemen tegen waarbij ze in contact kwamen met wortels van negatieve getallen. Daarom werd er op gegeven moment een nieuw getal uitgevonden. Het imaginaire getal i.

Het klinkt heel gek te lezen dat een getal is uitgevonden, maar dat is het eigenlijk niet. Zo gebruiken we al ongeveer 5400 jaar getallen, maar de het getal 0 bestaat nog ‘maar’ 2400 jaar! Het getal nul werd dus pas 3000 jaar na het gebruikt van de andere getallen uitgevonden. En nog eens 300 jaar nadat 0 gebruikt werd kwamen pas de negatieve getallen, die zijn dus ongeveer 2100 jaar oud.
Het imaginare getal word pas echt door wiskundigen gebruikt vanaf de 16de eeuw en we noteren het gewoonweg met de letter i (van imaginair). We kunnen vanaf dan dus wél wortels trekken van negatieve getallen want √(-1) = i .
Het getal is niet meer weg te denken uit de wiskunde van vandaag, ze wordt voor ontelbaar veel toepassingen gebruikt… 
Maar dat is voer voor een volgend topic.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s