graankorrels, vrienden en voorouders

In de eerste graad zien we naast de 4 basisbewerkingen (+, -, x, /), ook 2 nieuwe bewerkingen. Namelijk machten nemen en wortels trekken. In dit stukje laat ik je zien hoe je ze op een leuke manier kan gebruiken om straffe verhalen te vertellen. Het draait allemaal om de snelheid waarmee getallen kunnen oplopen in waarde als we ze tot een bepaalde macht verheffen.

Afbeelding

Een eerste voorbeeld is een bekend verhaal over een Indiase koning, Shirham genaamd, en Sissa, de uitvinder van het schaakbord. Koning Shirham vond de uitvinding zo geweldig dat hij de uitvinder een gepast beloning wou schenken. Hij was zelfs zó tevreden dat hij Sissa deze beloning zelf liet kiezen. Sissa was slim, hij dacht even na en vroeg voor het volgende: “Wel koning, ja mag me belonen in graankorrels”. De koning schrok even maar was opgelucht, hij had namelijk verwacht dat de uitvinder goud en zilver zou vragen… “Hoeveel graan heb je nodig? Duizend,… tienduizend,…1 miljoen korrels? Zeg het maar..”
“Wel…” zei Sissa, “…leg op het eerste vakje van mijn schaakbord, 1 korrel, op het tweede vakje leg je 2 korrels, op het derde leg je er 4, op het vierde 8,… zo verdubbel je het aantal korrels, tot je alle vakjes gepasseerd bent.” . Voor de tweede maal kan koning Shirham  niet geloven wat hij hoort. Hij dacht dat Sissa een prijs van miljoenen korrels zou vragen, maar hoort enkel lage getallen. Zonder enig nadenken gaat hij in op het aanbod. Was dit nu een slimme zet van Sissa?…

Laten we even, met behulp van machten natellen hoeveel graankorrels Sissa nu eigenlijk krijgt: na vak 1 heeft hij er 1 = 2 – 1 = (2– 1). Op het tweede vakje komen er 2 bij dus heeft hij er in totaal al 3 = 4 – 1 = (2– 1). Van het derde vakje krijgt hij er nog eens 4 bij dus heeft hij al 7 = 8 – 1 = (2– 1) korrels bij elkaar gespaard. na het vierde vakje zullen het er al (2– 1) zijn,… Je merkt het patroon en kan op deze manier blijven doortellen. Uiteindelijk, na alle 32 witte en 32 zwarte vakjes van het schaakbord, heeft Sissa de mooie som van (264 – 1) graankorrels verdiend…is dit nu veel??? Wel, vraag dat maar aan de koning die zonet  (264 – 1) of dus 18.446.744.073.709.551.615 graankorrels kwijt is!!!

Afbeelding

Modernere voorbeelden over de kracht van machten zijn misschien de sociale media. Na een (wereldwijd) onderzoek dat in mei 2011 werd uitgevoerd zou een Facebook gebruiker gemiddeld 190 vrienden hebben. Dus als ik 190 vrienden heb, en zij hebben er elk op hun beurt ook weer 190, dan ben ik (met 1 gemeenschappelijke vriend als tussenpersoon) gelinkt met 190*190=  1902  = 36.100 Facebook gebruikers.  Als ik dezelfde oefening maak maar dan met (slechts) 3 tussenpersonen, zou ik al gelinkt zijn met 190= 1.303.210.000 Facebook gebruikers, terwijl er maar 250 miljoen mensen ingelogd zijn op dit netwerk! In theorie wil dit dus zeggen dat je via een ketting van de juiste gemeenschappelijke vrienden slechts 3 keer moet klikken, om gelijk welke Facebook gebruiker te bereiken!!!

connect

Nog gekker,… stel dat de gehele wereldbevolking nog eens 35 keer zo groot wordt, (en iedereen zou een Facebook account hebben), hoeveel linken zouden we dan nodig hebben? ….. Wel slechts 1 link meer, en we staan in contact met heel de bevolking!!!

Afbeelding

Een laatste toepassing die je toch even aan het nadenken zet. Ik heb, (net zoals jullie allemaal trouwens) 2 = 21 biologische ouders. Zij op hun beurt ook, dus ik heb 4 = 2grootouders. volgens dezelfde redenering heb ik 8 = 2overgrootouders,… Zo blijft het aantal personen in mijn stamboom verdubbelen. Stel dat ik zo blijf doortellen (en ik neem u even aan dat al mijn voorouders voor hun dertigste kinderen kregen) dan leefden er ongeveer duizend jaar (zo een 37 generaties) geleden meer van mijn voorouders, dan er ooit mensen op de aardbol hebben rondgewandeld… !!! En dat zijn dan nog maar alleen mijn voorouders!!!

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s