Pythagoras vs. Fermat

Afbeelding
Ik denk dat ik de eerste persoon niet meer hoef voor te stellen… Deze wiskundige (572 – 500 v.Chr.) ontdekte de bekende verhouding tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Naast deze ontdekking kan er nog ontzettend veel over de man verteld worden. Zo leidde hij zelfs een sekte waar geloofd werd in zielsverhuizing, ze gaven verschillende getallen een speciale symboliek (4 was recht, 5 is huwelijk, 10 is perfectie,…)… Oh ja, misschien een van de vreemdste regels, ze mochten ook geen bonen eten van Pythagoras…
De geleerde stelde getallen boven alles en dacht dat heel het universum met gehele getallen te beschrijven was. Hij zou gek geworden zijn van het feit dat √2, zoals andere irrationale getallen, niet te schrijven is als een breuk van gehele getallen.

Maar zoals gezegd kennen we hem allemaal van zijn alom bekende stelling:
Afbeelding

Nadat Pythagoras ze zelf bewees, is ze nog door honderden andere bewezen op verschillende manieren… Deze stelling is de basis van ALLE meetkunde! Duizenden wiskundige bewijzen maken gebruik van de eigenschap, en de ervan toepassingen zijn ontelbaar. Denk maar aan alles wat met meetkunde te maken heeft… Atlassen, GPS, oppervlakte berekenen, driehoeksmeetkunde, … Een belangrijk, niet zo verrassend, gevolg van de stelling is dat de rechte die 2 punten verbindt, steeds te kortste weg is tussen die 2 punten… In ons voorbeeld is dus de kortste weg tussen de groene en rode ster, de rechte c. We maken altijd een omweg als we eerst via de blauwe ster zouden wandelen (tenzij de blauwe ster op de rechte c ligt natuurlijk). Als onze snelheid overal dezelfde is dan is de kortste weg trouwens ook de snelste…
Afbeelding
Maar daar komt Fermat (1601-1665) op de proppen! Hij was een Franse rechter die zich in zijn vrije tijd bezighield met het oplossen van wiskundige puzzels. Fermat is misschien iets minder bekend dan Pythagoras, maar toch is er een enorm belangrijk probleem naar hem vernoemd. Dit probleem had de naam “de laatste stelling van Fermat”. Het draagt deze naam omdat het de laatste stelling was die Fermat bestudeerde, waar moderne wiskundige geen antwoord op vonden. Maar zo’n 15 jaar geleden is het aloude probleem dan eindelijk opgelost… (Het probleem was 300 jaar onopgelost!!!). De fransman beweerde in één van zijn notitie’s het probleem te hebben opgelost, maar hij heeft wellicht een fout gemaakt. Experts beweren dat de wiskunde van die tijd niet ver genoeg zou gestaan hebben om zulk resultaat te bekomen.
De stelling gaat ongeveer als volgt (let vooral op de overeenkomst met de stelling van Pythagoras): “kan je voor gelijk welke waarde van n, drie getallen x, y en z invullen, zodat de volgende formule klopt?” Afbeelding
Wel we merkten al snel dat dit klopt als n = 1. dit komt dan gewoon overeen met optelling zoals we in de lessen zien. Ook als n = 2 kunnen we getallen vinden die de formule doen kloppen, want dan is ze eigenlijk dezelfde als de stelling van Pythagoras… maar wat nu als n groter is dan 2?
Wel het is dus bewezen dat als n > 2, de formule nooit kan kloppen. Gelijk welke waarden je invult op de plaatsen van x, y en z… de formule zal nooit uitkomen…

Zo zie je hoe Fermat alles een beetje moeilijker maakt dan Pythagoras. Hij past zijn stelling een beetje aan en plots wordt het bewijs aartsmoeilijk… (300 jaar zoekwerk, en een bewijs van meer dan 100 pagina’s !!!). Maar ook wil hij de eigenschap van de kortste weg een beetje moeilijker maken… Stel bijvoorbeeld dat je zo snel mogelijk op een punt moet geraken, maar dat je eerst door zand en daarna door water moet om je bestemming te bereiken. Onze snelheid is op zand niet dezelfde als die van in het water, en de berekening van de kortste weg word dus ingewikkelder…
Afbeelding Wat is nu de snelste weg om van de groene ster in het zand, naar de rode ster in het water te komen? Is de kortste weg (A) dan ook nog gelijk aan de snelste? Moeten we zo snel mogelijk te water en dan zwemmen (B), of eerst zo ver mogelijk lopen en dan pas zwemmen (C). Of is het misschien iets tussenbeide (D).
Ook hierover brak Fermat zijn hoofd, ook dit keer beweerde hij het probleem te hebben opgelost… Maar dit keer beweerde hij dit terecht. Zijn oplossing noemt daarom ook nog steeds “het principe van Fermat”. De snelste manier zal manier (D) zijn. Je moet enkel berekenen waar het punt ligt waar je van land naar water overgaat, (deze berekeningen zijn niet zo moeilijk en leer je zeker nog in het middelbaar) en klaar is kees.
Interessant is dat honden dit principe blijkbaar ook kennen. Als je een bal gooit in een vijver of meer, dan zal de hond deze ook zo snel als hij kan terughalen. Ook hij gebruikt daarom het principe van de snelste weg volgens optie (D)… Honden voelen daarbij blijkbaar vanzelf aan waar hij van land in het water moet springen om zo snel mogelijk aan de bal te geraken!
Afbeelding

Ook mieren gebruiken dit concept en weten blijkbaar (zonder dat ze berekeningen hoeven te doen) waar ze van de ene ondergrond naar de andere (vb. van gras naar modder) moeten om zo snel mogelijk bij hun voedsel te komen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

4 Comments

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundigen

4 responses to “Pythagoras vs. Fermat

  1. Pingback: golven en cocktailfeestjes | waaromwiskunde

  2. Bert Brouwer

    Via “3 driehoeksvragen” ben ik eens even naar hier doorgeklikt. Wat ik eigenlijk nog nooit ben tegengekomen, is dat je Fermats stelling ook kunt benaderen als een vraagstuk over driehoeken en hun eigenschappen, te beginnen bij n=1. De driehoek is dan ‘opengeklapt’. De hoek tussen zijde a en zijde b is dan 180 graden, waaruit volgt dat de lengte van zijde c simpelweg een optelsom is van a en b. Voor n=2 komen we dan op de bekende rechte driehoek. Een bijzonder geval is nog als n=oneindig en a=b=1. De lengte van zijde c nadert dan oneindig dicht tot 1, waarbij de hoek tussen a en b nadert tot 60 graden. Was die 60 graden dan zouden er weer oneindig veel oplossingen zijn voor alle waarde waarvoor geldt a=b=c.
    Kennelijk is er bij die hoeken van 180, 90 en 60 graden dus iets bijzonders aan de hand in relatie tot gehele getallen.

    • Waarom zal bij het geval van n = oneindig de derde zijde c ook oneindig dicht bij 1 komen?
      Bij n=1 bedoel je toch een ‘plat geduwde driehoek’ zodar zijde a en b samen zijde c vormen? juist?

      Alvast bedankt voor de reactie!

      • Bert Brouwer

        c nader oneindig dicht tot 1 als n=oneindig én als a=b=1, want c is dan de oneindige wortel uit 2; de optelsom van a=1^oneindig plus b=1^oneindig. Bij die gekozen waarden waarbij n=oneindig en a=b=1 ontstaat aldus en unieke situatie, omdat c dan toch nog bijna een geheel getal is (en de stelling van Fermat dan niet meer zou kloppen).

        Inderdaad kun je bij n=1 ook spreken van een ‘platgeduwde driehoek’, zodat zijde a plus zijde b samen even lang zijn als zijde c.

        Overigens kun je met deze benadering vanuit driehoeken een tendens vermoeden die erop duidt dat de stelling inderdaad klopt. Kijk bijvoorbeeld eerst maar eens naar de hoeken:
        als n=1 dan is de hoek tussen zijde a en zijde b 180 graden
        als n=2 dan is de hoek tussen zijde a en zijde b 90 graden

        Op grond hiervan kun je dan een tendens vermoeden dat bij grotere waarden van n de hoek tussen zijde a en zijde b nog kleiner wordt, wat inderdaad eenvoudig is vast te stellen. Zoals echter al bleek is die hoek wel altijd groter dan 60 graden.

        Deze redenatie kun je ook toepassen wanneer je kijkt naar oplossingen in gehele getallen voor c bij oplopende waarden van n:
        als n=1 dan heeft c voor alle waarden van a en b ook een oplossing in gehele getallen
        als n=2 dan heeft c voor sommige waarden van a en b ook een oplossing in gehele getallen

        Op grond hiervan kun je dan weer een tendens vermoeden dat bij grotere waarden van n, er voor c geen enkele oplossing meer is in gehele getallen, al nadert hij dus wel tot nog één oplossing waarbij c een geheel getal is met de waarde 1, namelijk zoals gezegd als n=oneindig en a=b=1.

        Het bijzondere aan driehoeken, waarbij de hoek tussen zijde a en zijde b 180, 90 of 60 graden is, ligt kennelijk in het feit dat je in die drie gevallen de cosinusregel niet nodig hebt om allerlei variabelen te berekenen.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s