Bewijzen en samen jarig zijn

Het is een beetje het stokpaardje van de wiskundige maar onze kracht ligt in het feit dat we altijd zeker willen zijn van iets dat we beweren. Als wiskundigen gaan we pas verder bouwen op een stelling als we er 100% zeker van zijn dat ze klopt. Dit heeft als voordeel dat we nooit een stap terug moeten zetten, nooit moeten vergeten wat we geleerd hebben, nooit wiskunde boeken moeten herdrukken met totaal andere uitkomsten,…. Dit is soms wel zo bij vakken als chemie en fysica.

Als een chemicus bijvoorbeeld 1000 experimenten uitvoert, en zijn stelling komt 1000 keer uit, dan zal hij er van uitgaan dat dit de 1001ste keer ook zo zal zijn. Hij gebruikt nu die informatie om verder te werken… Maar stel nu dat de 1001ste keer wél een ander resultaat geeft, en zijn stelling dus niet altijd klopt… Al het werk dat hij daarna uitvoert kan wel eens fout zijn. Resultaat: veel verloren tijd, en misschien loopt er wel iets gevaarlijks mis…
Afbeelding
Het nadeel dat wiskundigen dan weer hebben is dat het soms wat trager gaat. Als we vast zitten bij een stelling die we niet meteen kunnen bewijzen kan het soms jaren duren vooraleer we hiermee verder kunnen werken. (Denk maar aan de stelling van Fermat, deze duurde 300 jaar voor ze opgelost werd!). Wat soms ook best lastig is voor wiskundigen is het feit dat er oneindig veel getallen zijn. Er bestaat bijvoorbeeld een stelling die zegt dat er oneindig veel priemgetallen bestaan. Het is nogal een onbegonnen werk om AL de getallen af te gaan om te zien of dit klopt….. Daarom gebruiken we dikwijls trucjes om iets op een andere manier aan te tonen…
Afbeelding
Het ‘zeker zijn en verder kunnen bouwen’, is natuurlijk de belangrijkste reden waarom we stellingen en ideeën trachten te bewijzen. Maar soms is het ook gewoon leuk om iets heel vreemds aan te tonen. Neem nu bijvoorbeeld de volgende zin:

Als er 23 mensen in een kamer zitten, is de kans dat er twee op dezelfde dag jarig zijn iets meer dan 50%.

Of om het nog gekker te maken:

Als er 57 mensen in een kamer zitten, is de kans dat er twee op dezelfde dag jarig zijn 99%!!!

Als je één van deze twee zinnen tegen iemand zegt, zullen ze je al snel vreemd aankijken en zeggen dat je mis bent. Maar het is toch zo! En je kan het bewijzen… met wiskunde!
Afbeelding
Laat ik de eerste zin bewijzen… (de tweede gaat op volledig dezelfde manier en kan je thuis proberen). Stel we beginnen met twee personen en we willen kijken wat de kans is dat ze op een verschillende dag jarig zijn. Kies voor de verjaardag van Persoon1 gelijk welke van de 365 dagen van het jaar. Persoon2 kan dan nog op 364 (van de 365) andere dagen verjaren. De kans dat ze dus op een verschillende dag jarig zijn is 364/365. Stel nu er komt een derde persoon bij. Om niet samen jarig te zijn met persoon1 of persoon2 kan Persoon3 kan nu nog op 363 andere dagen geboren zijn. de kans dat Persoon1, Persoon2 én Persoon3 dus op een andere dag jarig zijn is (364/365) x (363/365). Als we hetzelfde doen voor een vierde persoon wordt de kans voor verschillende verjaardagen (364/365) x (363/365) x (362/365). Als we dit nu blijven doen tot en met Persoon23 dan krijgen we het lange product  (364/365) x (363/365) x (362/365) x (361/365) x ….. x (343/365). als je dit even uitrekent met een zakrekenmachine dan kom je op ongeveer  0.492703. Dit wil dus zeggen dat de kans dat 23 personen op een verschillende dag jarig zijn ongeveer 49,2703% of dus iets minder dan 50%. Maar dat wil dus zegen dat de kans dat ze op dezelfde dag jarig zijn net iets groter is dan 50%!!!

Afbeelding
Dat wil dus zeggen dat als je de 2 voetbalploegen én de scheidsrechter op een voetbalveld bij elkaar neemt, dat je dan al bijna zeker bent dat er twee spelers (of de scheidsrechter en een speler) samen jarig willen zijn! Raar maar waar (want te bewijzen met wiskunde), en handig om eens een weddenschap mee te winnen 😉 Zoals ik al zei kan je dit ook uitvoeren voor het geval met 57 personen, waar je zou moeten uitkomen op een ongelooflijke 99% zekerheid!!!

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s