Priemfactoren en aliens

Elk getal is te ontbinden in priemfactoren! Wat bedoelen we hiermee, en is het een belangrijke stelling?
Wel, wat we hiermee bedoelen is dat we elk getal kunnen schrijven als het product van priemgetallen… Enkele voorbeelden: 6=2×3, 120=2x2x2x3x5 , 165=3x5x11, 1679=23×73,… Neem gelijk welk getal je wil en je zal zien dat het ofwel zelf een priemgetal is, ofwel een product van andere priemgetallen. De verschillende priemgetallen die we met elkaar vermenigvuldigen noemen we dan de priemfactoren van het getal. Om op het tweede deel van de vraag te antwoorden: deze stelling heet de hoofdstelling van de rekenkunde! ……Vrij belangrijk dus :).
Waar gebruiken we deze stelling/eigenschap nu eigenlijk? Laat ik het even uitleggen en bij het volgende beginnen.

Stel we krijgen een hele reeks kruisjes en bolletjes doorgestuurd, 30 in totaal:
x000xx000xx0x0xx000xx000xx000x
Hoe kunnen we deze nu opschrijven in een tabelvorm (dus in rijen en kolommen)? We mogen zelf kiezen in hoeveel kolommen en rijen… hier zijn enkele mogelijkheden.  (we schrijven de reeks xen en 0en van links naar rechts en als we in de laatste kolom zitten beginnen we terug bij kolom 1 maar dan een rijtje lager)
Afbeelding
Dit zijn slechts enkele voorbeelden… We kunnen ook een tabel nemen van 2 kolommen en 15 rijen, of 15 kolommen en 2 rijen. Zo zijn er voor 30 tekens dus al meteen 6 verschillende manieren om ze in kolommen of rijen te ordenen. Er bestaat een formule om het aantal verschillende manieren te vinden, maar dit zou ons alweer te ver leiden… Wel kan ik zeggen dat het aantal manieren afhangt van de hoeveelheid en verscheidenheid van zijn priemfactoren…

Stel nu dat een getal 2 verschillende priemfactoren A en B heeft, (zoals 1679=23 x 73). Dan zijn er altijd slechts 2 manieren om ze in tabelvorm te gooien: A kolommen en B rijen, óf B kolommen en A rijen. En het is deze laatste eigenschap die we gebruiken voor een weer heel verrassende maar enorm coole toepassing:

Afbeelding

Wetenschappers zoeken al lang contact met buitenaardse wezens, en ze zochten een manier om een eenvoudige afbeelding met zoveel mogelijk informatie over de mensheid, door te seinen naar de ruimte. Na lang nadenken hadden wiskundige de perfecte oplossing gevonden die gebruik maakt van vorige eigenschap, en het feit dat je met behulp van slechts enkele witte en zwarte vakjes, eenvoudige dingen duidelijk kan maken…
Nu zijn witte en zwarte blokjes wel moeilijk in de ruimte te sturen,… Wat makkelijker is zijn ééntjes en nulletjes. Met dit idee is de volgende boodschap is in 1974 de ruimte ingeseind (de zogenaamde arecibo-boodschap):

00000010101010000000000001010000010100000001001000100010001001011001010101010101010100100100000000000000000000000000000000000001100000000000000000001101000000000000000000011010000000000000000001010100000000000000000011111000000000000000000000000000000001100001110001100001100010000000000000110010000110100011000110000110101111101111101111101111100000000000000000000000000100000000000000000100000000000000000000000000001000000000000000001111110000000000000111110000000000000000000000011000011000011100011000100000001000000000100001101000011000111001101011111011111011111011111000000000000000000000000001000000110000000001000000000001100000000000000010000011000000000011111100000110000001111100000000001100000000000001000000001000000001000001000000110000000100000001100001100000010000000000110001000011000000000000000110011000000000000011000100001100000000011000011000000100000001000000100000000100000100000001100000000100010000000011000000001000100000000010000000100000100000001000000010000000100000000000011000000000110000000011000000000100011101011000000000001000000010000000000000010000011111000000000000100001011101001011011000000100111001001111111011100001110000011011100000000010100000111011001000000101000001111110010000001010000011000000100000110110000000000000000000000000000000000011100000100000000000000111010100010101010101001110000000001010101000000000000000010100000000000000111110000000000000000111111111000000000000111000000011100000000011000000000001100000001101000000000101100000110011000000011001100001000101000001010001000010001001000100100010000000010001010001000000000000100001000010000000000001000000000100000000000000100101000000000001111001111101001111000

Op het eerste zicht lijkt dit een zinloze reeks van 1679 = 23 x 73 cijfers. Maar het volgende gebeurt als we ze in tabelvorm gieten. We hebben 2 keuzes: 23 kolommen en 73 rijen, of 73 kolommen en 23 rijen. Als we de eerste mogelijkheid testen krijgen we, als we voor “1” een zwart blokje en voor “0” een wit blokje nemen, de volgende tekening.

Afbeelding Afbeelding

Deze tekening (linkse foto) is de boodschap die wetenschappers door middel van ééntjes en nulletjes doorsturen…  De rechtse foto staat in kleur om duidelijk de verschillende delen van de boodschap te onderscheiden (Let wel dat de boodschap natuurlijk niet in kleur is verstuurd).
De boodschap bezit verschillende belangrijke aardse concepten zoals de vorm van de mens (rood), de bouw van DNA (lauw), binaire getallen (bovenaan wit),….
Om de exacte informatie van de boodschap te bekijken kan je op deze website terecht http://nl.wikipedia.org/wiki/Areciboboodschap.

De Aliens kunnen zich maar op 1 manier vergissen door 73 kolommen en 23 rijen te nemen maar dan krijgen ze dit resultaat (voor de duidelijkheid ook weer even met dezelfde kleuren).
Afbeelding

We hopen dat de buitenaardse ontvangers van ons bericht toch slim genoeg zijn om beide mogelijkheden te proberen en te merken dat de eerste de juiste is. Dankzij priemgetallen te bestuderen is de hoeveelheid manieren waarop de aliens zich kunnen vergissen toch geminimaliseerd tot 1 manier!!!

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

En nu maar wachten op antwoord… 

Advertisements

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s