kaatsen en nierstenen

Een gebied waarvan je misschien niet meteen verwacht waar wiskunde gebruikt kan worden is de medische wereld. Hoe kunnen we in godsnaam wiskunde gebruiken om mensen te genezen of gezond te maken? De toepassing waar ik het nu over zal hebben begint allemaal met eenvoudige meetkunde.

We weten allemaal dat licht of geluid afkaatst op een muur of spiegel. Waar een afgekaatste lichtstraal naartoe gaat kunnen we makkelijk vinden dankzij meetkunde en het bestuderen van hoeken. In volgende afbeelding staat eenvoudig weergegeven hoe het reflecteren, op een platte spiegel, werkt.
Afbeelding
Links zie je het licht op de spiegel inslaan. Dit gebeurt onder hoek A. Als het licht weer wegkaatst merken we dat dit onder exact dezelfde hoek gebeurt! In de tekening zijn hoek A en hoek B dus gelijk.
Natuurlijk is het niet altijd even eenvoudig te weten waarnaartoe het licht, geluid, of misschien zelfs laserstraal zal kaatsen. In ons voorbeeld gebruikten we namelijk een platte spiegel. Als de spiegel meer bol of hol staat zal het iets moeilijker zijn de richting te achterhalen…
Om één speciaal geval te bekijken nemen we bijvoorbeeld deze cirkelvormige spiegel. De blauwe pijl is een laserstraal, en we vragen ons af in welke richting deze straal zal spiegelen. Afbeelding
Wel om dit op te lossen proberen we als wiskundigen het probleem te herleiden naar iets wat we al weten (want als wiskundige maken we het ons graag zo makkelijk mogelijk). We proberen het probleem dus te herleiden naar het geval van een platte spiegel, want daarvan weten we dat de hoek van inkomend en wegbotsend licht gelijk is. Dit doen we als volgt:
1. we trekken een lijn van het middelpunt naar het punt waar de laserstraal de ronde spiegel raakt.
2. we tekenen de rechte die haaks (met een rechte hoek) op de vorige lijn staat.
Afbeelding

De rechte die we in de tweede stap construeerde is nu eigenlijk onze platte spiegel! Vanaf nu is het probleem dus eigenlijk opgelost want we weten dat de hoek waaronder de straal weg botst gelijk is aan de hoek waarin de straal aankomt. Afbeelding

Voila, we hebben een speciaal geval van afkaatsen gezien. Maar waar gebruiken we dit nu in medische omstandigheden???………

De cirkel was één speciaal geval, maar de figuur die we zullen nodig hebben in de medische toepassing is de ellips. Een ellips is eigenlijk een beetje een plat geduwde cirkel. Een ander verschil is dat de cirkel 1 middelpunt heeft, en de ellips 2 brandpunten (deze bepalen een beetje de vorm van de ellips. Merk trouwens op dat de cirkel eigenlijk een speciaal geval is van de ellips, waar de 2 brandpunten samenvallen en het middelpunt vormen!).

ellips
Nu komt het opmerkelijke! Stel dat de ellips een grote spiegel is, en we schieten een laser af vanuit het brandpunt A, dan kaatst deze ALTIJD af naar het brandpunt B! Met andere woorden, we hoeven niet eens te mikken. Gelijk welke richting we de laser schieten, hij zal altijd afketsen en het punt B raken. Dit zorgt ervoor dat we 100% doelgericht kunnen schieten.
ellips2
Deze toepassing wordt gebruik voor het verbrijzelen van nierstenen. Dit is een aandoening die mensen kunnen krijgen en moet soms op speciale manieren worden verwijdert. Deze nierstenen worden namelijk met een soort ‘laser’ verbrijzeld. Om geen andere vitale delen te raken met de laser is het dus belangrijk om perfect te kunnen richten! Net iets wat we juist geleerd hebben dankzij ellipsen 🙂

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

1 Comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière

One response to “kaatsen en nierstenen

  1. Pingback: Wiskunde vs. Nazi-Duitsland | waaromwiskunde

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s