Even afgeleid

Integreren en afleiden zijn zowat de belangrijkste bewerkingen die we uitvoeren op functies. Enerzijds gebruiken we afgeleide en geïntegreerde functies om meer informatie te krijgen over de eigenschappen van een functie, en de vorm van zijn grafiek. Maar we gebruiken ze vooral als we de functies gebruiken in toepassingen in de fysica, mechanica, elektriciteit,… funct

Ook deze toepassingen in verschillende wetenschapsvakken zijn weer zeer uiteenlopend maar de belangrijkste is hoogstwaarschijnlijk optimalisatie problemen. Met andere woorden het zoeken naar maximale (of minimale) oplossingen voor verschillende problemen. Laten we enkele voorbeelden bekijken. Hoe gebruiken we juist een afgeleide om dit probleem op te lossen?
Wel, stel we hebben een functie f(x), voor welke waarde is deze functie dan maximaal (of minimaal). Het blijken net die waarden te zijn waarvoor, indien ingevuld in de afgeleide f'(x), we een 0 uitkomen. Of f'(x) = 0 dan is x een maximum van f(x) (en omgekeerd).

Aangezien de wiskunde in zowat alle gebieden in het leven toe te passen zijn, kunnen we misschien ‘sport’ gebruiken als leidraad.

speer

Een speerwerper moet zijn object zo ver mogelijk proberen werpen, en werpt in een boogvorm, meer bepaald een hyperbool (die kennen we nog van “Parabolen wiskunde vs. moord“). Maar onder welke hoek gooit deze nu het best? 20°, 30°, … 90° ? Wel al zeker niet het laatste want dan zou hij rechtop werpen, maar het zal toch ergens tussen 0° en 90° zijn.  Als de hoek groot is gooit hij hoger, de speer blijft wel langer in de lucht maar de horizontale beweging is niet zo groot. Als de hoek te klein is gooit hij wel ver, maar zal de speer niet hoog raken en snel landen….en dus ook niet veel afstand maken.
De functie f(x) waar we in geïnteresseerd zijn is f(x) = V0 . sin (2x) / 9,81 (Hoe we deze formule bekomen is niet zo heel ingewikkeld maar ik verwijs je graag door naar je mechanica/fysica leraar).  De afgeleide wordt dan  f’(x) = V0 . cos (2x) / 4.905. We willen weten voor welke x deze nu wordt dus we stellen gelijk aan nul en rekenen dan uit was x is.
0= V0 . cos (2x) / 4,905
0 . 4,905 / V0 = 0 = cos (2x)
Bgcos (0) = 90° =  2x
90°/2 = x
We vinden dus dat x = 45°. We weten dus dat de afgeleide functie 0 wordt voor x = 45. We weten dus dat de functie f(x) maximaal zal worden voor deze waarde. De speerwerper zal dus op exact 45° werpen om een maximale afstand te behalen.
bochten
Formule 1 teams gebruiken deze afgeleiden ook continu. Bij elke bocht op elk circuit moeten de ingenieurs de keuze maken van hoe een formule 1 piloot een bocht insnijdt. Op de ene manier zal hij met snelheid uit de bocht komen maar voordien moeten remmen, een andere keuze laat hem met snelheid inrijden, maar dan moet hij voor de volgende bocht weer harder op de remmen… ook hier gebruiken we dus weer deze technieken.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Advertisements

Leave a comment

September 1, 2013 · 9:49 am

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s