THE MATRIX

De meesten zullen “the matrix” kennen als een van de bekendste sciencefiction films van eind jaren 90/begin jaren 2000. Sommigen zullen dit schooljaar ook leren over wiskundige matrices en hun toepassingen…

the matrix

Deze (voor sommigen) ‘nieuwe’ objecten zal je voor verrassend veel toepassingen gebruiken. Één van de belangrijkste en meest gebruikte is misschien wel het oplossen van stelsels vergelijkingen met verschillende onbekenden. Stel we hebben volgende gegevens:

5x + 4y – 3z = 53
4x + 9y – 4z = 75
2x + y   – 12z = -37

Wat zijn nu x, y en z zodat de bovenstaande vergelijkingen correct zijn? Het antwoord zal je vinden door gebruik te maken van matrices. Aangezien deze toepassing zoveel gebruikt wordt zal je deze uitgebreid op school bekijken (of reeds geleerd hebben). Daarom zal ik hier niet te diep op ingaan maar laat ik een andere interessante toepassing zien.

Eerst even kort uitleggen wat een matrix is. Het is een rechthoekig getallenschema,… of dus een verzameling van getallen die in de vorm van een rechthoek neergeschreven staan… enkele voorbeelden:
matrices
Hier is A een 2×3 matrix (want ze heeft 2 rijen en 3 kolommen), B is een 3×2 matrix (want ze heeft 3 rijen en 2 kolommen). C en E zijn 3×3 matrices en D een 2×2 matrix. Zoals we regels hebben geleerd om te rekenen met gewone getallen (hoe we ze optellen en vermenigvuldigen met elkaar,…) bestaan er ook regels voor deze matrices. We kunnen verschillende matrices dus ook met elkaar vermenigvuldigen, optellen, … en kunnen met deze wiskundige voorwerpen dus ook rekenen. Aangezien deze voorwerpen iets complexer zijn dan gewone getallen zullen de rekenregels ook ietsje ingewikkelder zijn.

De toepassing die ik wil uitleggen gebruiken onderzoekers voor het ‘voorspellen’ van het gedrag van natuurlijke systemen, mensen, economische ideeën…en zo veel meer.
Laten we bij wijze van voorbeeld eens bekijken hoe we de bevolking van 3 verschillende steden trachten te voorspellen. We bekijken daarom hoeveel procent van de bevolking van Antwerpen, Leuven en Knokke er jaarlijks naar elkaar verhuizen. Om dit probleem op te lossen gebruiken we 2 matrices. Een 1×3 matrix waarin de aantallen van de bevolking staan.
Laat ons stellen [50 000      20 000     30 000] voor [Antwerpen     Leuven     Knokke]. Laten we dit Matrix A noemen.
In de tweede matrix staan de percentages van de bevolkingsverhuizing in. Ik schrijf ze even als decimale getallen… 0.10 is dus 10%,   0.90 = 90% … enzovoort…
transmatrix
Je kan de matrix als volgt lezen. Op het einde van elk jaar verhuist er bijvoorbeeld 25% VAN Leuven, NAAR Antwerpen. Ook 10% Van Knokke, NAAR Leuven. Er blijft 90% Van de Antwerpenaren in Antwerpen…. Zo kan je dus de gehele matrix verder interpreteren.  Deze matrix noemen we Matrix B.

Het voorspellen van de bevolkingsaantallen voor de komende jaren gebeurt dan als volgt. Op het einde van dit jaar zal er verhuist worden volgens matrix B. Aangezien we Matrix A als begintoestand hebben zal de bevolking volgend jaar als volgt verdeeld zijn:

2014
Een matrix met een andere vermenigvuldigen geeft als oplossing (misschien niet zo verrassend) weer een matrix. In ons geval een 3×1 matrix met volgende waarden: [53 000     14 250     32 750]. Of dus in 2014 zal de bevolking in Antwerpen naar 53 000 zijn gestegen. In leuven en Knokke zullen er respectievelijk 14 250 en 32 750 personen wonen.
We willen weten hoe het binnen 10 jaar zit? Makkelijk, we vermenigvuldigen 10 keer met Matrix B of dus als volgt:

2023
Met als uitkomst [56 912.50     9 0572.53     33 514.97].
Als we nu gigantische matrices A en B maken met de informaties van alle Belgische steden, … kunnen we voor heel onze bevolking de toekomstige volksverdeling voorspellen. Dit is interessant voor ontwerpers van snelwegen, voor de bouwsector, prijzen van huizen,…

map_imigration

Zo voorspellen biologen de migratie van grote scholen vissen of vogels. Economen voorspellen het beleggersprofiel van hun klanten,… Of je kan het zelfs gebruiken om de uitkomst van een gezelschapsspel mee te voorspellen… Dat laatste is dan ook de manier waarop ik het Monopoly spel mee geanalyseerd heb, te lezen in een vorig artikel “REKEN uit, of neem een KANSkaart“.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s