PIMP je dobbelsteen

Onafscheidelijk van bijna alle gezelschapsspelen is de dobbelsteen. Ze bestaan in alle maten en kleuren, maar de bekendste is zonder twijfel de standaard zeszijdige, kubusvormige,  21 oogige dobbelsteen.

dice
Het is trouwens geen toeval dat deze de vorm van een kubus heeft. Dit geeft namelijk als voordeel dat alle kanten, hoeken en ribben overal dezelfde zijn, waardoor elke waarde (of kleur voor sommige dobbelstenen) evenveel kans heeft om geworpen te worden. Een grafiek opstellen voor zulke kansen is dus ook zeer saai (grafiek 1).
Werpen met 2 eerlijke kubusvormige dobbelstenen geeft meteen een andere grafiek (grafiek 2). Hier zie je meteen dat wanneer je met 2 twee dobbelstenen werpt, meestal een 7 zal bekomen. Merk ook op dat de grafiek mooi symmetrisch is (wat in dit geval een gevolg is van het gebruiken van identieke teerlingen).
dicekans
Je kan je afvragen of je deze grafiek 2, ook kan bekomen door andere 6-zijdige dobbelstenen te gebruiken. Bijvoorbeeld, dobbelsteen A heeft als waarden 1,3,3,4,5,8 en dobbelsteen B heeft 2,2,2,4,5 en 6 als mogelijke worpen…  Wel het zal je niet verwonderen dat de mogelijke uitkomsten, indien je met beide stenen werpt, en de waarden optelt, iets chaotischer verdeeld zijn (grafiek 3).
graf3
Ook de wiskunde Sicherman onderzocht deze grafieken en heeft een speciale combinatie ontdekt. Als je stenen met de combinaties  1,2,2,3,3,4 en 1,3,4,5,6,8 maakt bekom je ook grafiek 2. Hij bewees ook dat zijn combinatie (en de triviale originele dobbelstenen) de enige zijn die deze grafiek geven. Voor dit bewijs gebruikte de man cyclometrische veeltermen en irreducibele veeltermen. Wat priemgetallen zijn voor gewone getallen zijn irreducibele veeltermen voor de gewone veeltermen… Cyclotome veeltermen zijn net iets moeilijker uit te leggen maar zeker zo interessant.
Je kan dus je dobbelstenen aanpassen door de 2 die Sicherman ‘ontdekte’ en een perfect eerlijk spel spelen.

Je kan je nu ook afvragen of je 1 grote dobbelsteen kan maken die de 2 kleine 6 zijdige stenen vervangt. Deze grote dobbelsteen zal dan 6×6 = 36 zijden moeten hebben. Maar welke waarden zullen nu op deze steen moeten staan? In grafiek 2 zagen we al hoe de verdeling van mogelijke worpen ruit zien, hieronder zien we dit nog eens in detail :
tabem
Je zal dus 1 zijde hebben met waarde 2, 2 zijden met waarde 3,… 2 zijden met waarde 11 en 1 met waarde 12. Als we heel de tabel afgaan hebben we dus 36 zijden in totaal. KLAAR….

Het enige probleem dat we nu nog hebben is het feit dat onze 36-zijdige figuur nog eerlijk moet zijn, en dus gelijke zijden moet hebben. Hier wringt het schoentje. Deze figuur bestaat namelijk niet! Er zijn slechts 5 van deze regelmatige veelvlakken (er bestaan dus ook slechts 5 “eerlijke” dobbelstenen.
Voor de geïnteresseerden, de benamingen van deze stenen zijn (in volgorde van de afbeelding): tetrahedron, hexahedron (kubus),  octahedron, icosahedron en dodecahedron.plat

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s