wiskundige doorbraken en spionage

Diegenen die de afgelopen weken het nieuws een beetje gevolgd hebben kunnen het niet gemist hebben… Van overal ter wereld duiken er berichten op omtrent afluisterpraktijken van de Amerikaanse geheime dienst NSA. Niet enkel politieke (bijvoorbeeld Duits bondskanselier Angela Merkel) en religieuze (Paus Fransiscus) leiders worden bespioneerd, maar zelfs dagelijks e-mail verkeer van u en ik zou door hen kunnen worden nagelezen… Dit zou allemaal wel eens de oorzaak kunnen zijn van mogelijk de grootste wiskundige doorbraak in jaren.

Afbeelding

Nu we met zijn allen berichten en gegevens versturen over het internet, is het natuurlijk belangrijk om deze informatie te kunnen beschermen. Sommige mails kunnen namelijk geheime of persoonlijke informatie bevatten. Of denk maar aan de miljoenen mensen die hun bankzaken online verrichten! Ook voor bedrijven die miljoenen investeren in onderzoek naar nieuwe producten en niet willen dat concurrenten gratis aan de plannen van hun nieuwe uitvindingen kunnen geraken, is online beveiliging ontzettend belangrijk. Zo kunnen we nog wel even doorgaan met het geven van toepassingen en voorbeelden om het belang van online security te benadrukken. Maar laten we liever eens bekijken hoe deze beveiliging nu juist gebeurt…
Afbeelding
Toen we als tieners een geheime boodschap wilden doorgeven gebruikten we dikwijls makkelijke en zeer snel te kraken codes. De bekendste is allicht het vervangen van een letter door een cijfer… a=1, b=2, c=3, … y=25 en z=26. Op deze manier zal de het woord “blog” dus veranderen in “2 12 15 7”.
Na enkele tijd hadden we door dat dit maar een heel naïeve manier was om onze tekst geheim te houden en bedachten we “een verbetering”. Na het omvormen van letter naar getal, telden we er een constante bij op, bijvoorbeeld +3. met andere woorden “a” wordt eerst “1” en dan doen we +3, en “a” wordt dus gelijk aan “4”, b=5, c=6, … het woord “blog” zal nu dus worden “5 15 18 10”.
Belangrijk is natuurlijk dat diegene voor wie het bericht bestemd is, weet dat je steeds +3 deed! Anders zal hij dit bericht niet kunnen ontcijferen.

Om een bericht veilig te versturen hebben we dus 3 belangrijke stappen nodig.
1. schrijven en coderen van je bericht
(in ons voorbeeld letter-> getal +3)
2. de ontvanger de sleutel geven om de tekst te ontcijferen
(bijvoorbeeld vertellen of smsen)
3. het ontcijferen en lezen van de tekst
(in ons voorbeeld (getal -3)-> letter)

Afbeelding

Het meest gevaarlijke van dit proces is stap 2. Als ik bijvoorbeeld met het bovenstaande systeem met mijn neef berichten wil sturen moet ik hem eerst vertellen hoe een tekst te versleutelen en te ontcijferen. Terwijl ik hem dit vertel kan iemand, bijvoorbeeld mijn zus, ons afluisteren… vanaf nu weet zij dus ook steeds al de geheime berichten ontcijferen! Met andere woorden, ik heb een een doosje met een geheim op slot gedaan, maar ik moet een kopie van de sleutel aan mijn neef kunnen geven zonder dat iemand deze kan afpakken en nog een kopie kan maken!

Afbeelding

Wiskundigen kwamen met het antwoord! Ze bedachten het een nieuw systeem dat ze RSA versleuteling noemden.
We vonden een manier waar we 2 sleutels nodig hebben. Ééntje om de tekst te coderen en ééntje om te decoderen. Wat die systeem speciaal maakt is het feit dat de eerste sleutel geen geheim hoeft te zijn, je kan hem op internet posten zodat iedereen hem kan lezen en gebruiken, deze kan toch enkel gebruikt worden om het versleutelen. belangrijk is dat enkel jij de tweede sleutel bijhoudt. Iedereen kan nu “een doosje met geheime info” op slot doen en versturen, maar enkel jij kan, met de 2de sleutel, deze doos openen. Iemand anders mag zo een doos onderscheppen maar zal ze nooit kunnen open krijgen. Ook al heeft hij de eerste sleutel. Het gevaar van de 2de stap (dat iemand de sleutel om het coderen onderschept) bestaat nog steeds, maar met dit systeem is diegene die de sleutel steelt er toch niets mee.

Je natuurlijk zou kunnen denken dat eens je de versleutelingsmethode kent, je ook kan afleiden hoe deze te ontcijferen. In onze eerste voorbeelden konden we dit ook eenvoudig. Als we weten dat persoon “A” een bericht codeert door x+3 te doen, kunnen we snel afleiden dat we kunnen decoderen door x-3 te doen. Als persoon “A” het moeilijker maakt door (x+3)² doet  kunnen we nog steeds gemakkelijk decoderen door eerst de vierkantswortel te nemen en dan pas -3 te doen… met andere woorden als we de versleuteling weten, doen we gewoon de omgekeerde bewerking om te ontcijferen.
Dat is nu net het knappe aan dit RSA systeem. het versleutelen is heel simpel, we vermenigvuldigen twee priemgetallen p en q met elkaar… om het bericht te ontcijferen moeten we enkel het grote getal weer kunnen opsplitsen in de twee originele delers p en q.
Maar als deze p en q groot zijn is het ontsleutelen wel meteen zeer ingewikkeld! Het vermenigvuldigen kan een computer op enkele milliseconden, terwijl het zoeken van de delers maanden kan duren (zelfs als je tientallen computers tegelijk gebruikt!)

Afbeelding

Bijvoorbeeld als we de volgende willen priemgetallen vermenigvuldigen 11243 x 59009 = 663438187, dan kunnen we dit met gelijk welke rekenmachine berekenen. Maar kan jij met je rekenmachine vinden welke 2 priemgetallen ik hier vermenigvuldigde: 3676042387
Inderdaad, het zoeken van de delers (we noemen dit het factorizeren) is al een pak moeilijker. Zo moeilijk zelfs dat wiskundigen er zelfs nog steeds geen manier voor gevonden hebben om dit effectief te doen. Zo moeilijk zelfs dat zowat alles wat er op het internet beveiligd wordt dit systeem gebruikt. We vertrouwen er dus op dat dit het factorizeren zo ingewikkeld is dat we het nooit effectief zullen kunnen (want anders zou alles wat op deze manier beveiligd is zomaar te lezen zijn).

Nu almaar meer het nieuws opduikt dat de NSA mensen en overheden afluistert, vermoeden sommigen dat de Amerikaans dienst het probleem toch gekraakt heeft! Dit zou de wiskundige doorbraak van de eeuw kunnen zijn, gelijk welke wiskundige zou deze ontdekking op zijn naam willen schrijven. Maar de geheime dienst houdt dit liever stil omdat zij dan de enigen zijn die al de rest kan afluisteren…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s