3 driehoeksvragen

In de eerste en tweede graad van het middelbare onderwijs krijgen we naast getallenleer en algebra ook heel veel meetkunde te verwerken. Hierin krijgen we te maken met enorm veel begrippen. Rechten, punten, lijnstukken, evenwijdigheid, veelhoek, bissectrice, loodrechte,… enz. Voor sommige van deze is het zeer logisch en aanvaarbaar dat we ze moeten leren. Andere lijnen en punten lijken dan weer vergezocht en onnuttig.
Onlangs vroeg iemand me wat het nut is van zwaartelijnen, middelloodlijnen en deellijnen. Laten we voor elk van hen even een toepassing zoeken, beginnende met de middelloodlijnen.

“Een middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van dit lijnstuk gaat en loodrecht staat op dat lijnstuk.”
Als we in een driehoek voor elke zijde deze lijn construeren merken we dat deze elkaar in hetzelfde punt snijden. Dit punt blijkt een zeer speciale eigenschap te hebben. Als we namelijk de afstand |MB|, |MA| of |MC| meten merken we op dat deze allemaal gelijk zijn. Daarom kunnen we een cirkel tekenen met middelpunt M, zodat A, B en C op de omtrek van deze cirkel liggen…. WAT IS DAAR NU NUTTIG AAN?

middenloodlijn

Wel stel een radio-station wil uitzenden vanuit een bepaalde studio. De zender wil drie grote steden A, B en C kunnen bereiken en ze vraagt zich af van waaruit ze nu het best kunnen werken. Je zou kunnen zeggen dat ze hun station opzetten in 1 van de 3 steden, bijvoorbeeld A, en hun signaal dan maar heel sterk moeten maken zodat ook de andere bereikt worden. Maar voor een beter en sterker signaal is betere en dus duurdere apparatuur nodig. Om kosten laag te houden willen ze zo goedkoop mogelijk werken en dat is dus met de minimale benodigde signaalsterkte.
Als je op de landkaart de steden A, B en C verbindt (en zo een driehoek schetst) dan blijkt de beste plaats om uit te zenden punt M (het snijpunt van de middelloodlijnen) te zijn. De steden liggen namelijk allemaal even ver van punt M en als je dus 1 van deze kan bereiken, dan kan je ze allemaal voorzien van je muziek. Op deze manier is dat dus met de signaalsterkte die net genoeg en niets teveel is.

“De bissectrice of deellijn van een hoek is in de meetkunde de rechte die deze hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.”
Als we voor elke hoek van onze driehoek deze lijn construeren merken we wederom dat deze elkaar in 1 punt zullen snijden. En wederom blijkt dit een punt met een speciale eigenschap te zijn. Ook dit keer is het een middelpunt van een cirkel. Niet de de kleinste cirkel die net om de driehoek past (zoals we hierboven construeerde) maar net andersom, de grootste cirkel die net in de driehoek past… WAT IS DAAR DAN NUTTIG AAN?

Deellijn
Stel dat de driehoek een tuin voorstelt. De mensen die in deze tuin wonen willen zichzelf een zo groot mogelijk zwembad aankopen maar kunnen enkel tussen ronde exemplaren kiezen. De straal van het grootste zwembad dat zal passen in de tuin zal de straal van deze geconstrueerde cirkel zijn.
Of stel het volgende voorbeeld. De groendienst van Antwerpen wil een sprinkler installeren om zoveel mogelijk van (een driehoekig) grasperkje te besproeien en ze willen hem dan ook hard genoeg laten spuiten. Naast het grasveld loopt (langs de zijden van de driehoek) een voetpad. Omdat het niet de bedoeling is om de voorbijgangers ook water te geven mag de sproeier dus ook niet te hard ingesteld worden. Hoe hard moet de sproeier nu sproeien? En wat is het grootst mogelijk oppervlak dat water zal krijgen? De sproeier moet net zo hard sproeien zodat de waterdruppels maximaal een afstand gelijk aan de straal van de ingeschreven cirkel kunnen vliegen. De maximale oppervlakte zal die van de geconstrueerde cirkel zijn met als middelpunt het snijpunt van de deellijnen.

Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en de overliggende zijde snijdt in het midden van deze zijde.
Als we de drie zwaartelijnen tekenen dan …, inderdaad. Ze zullen een gemeenschappelijk snijpunt, namelijk het zwaartepunt, hebben. Ditmaal is het echter niet het middelpunt van een speciale cirkel… WAT IS DAAR DAN NUTTIG AAN?

zwaartelijn
Dit is wellicht het meest nuttige van alle 3 de snijpunten. Het word onnoemelijk veel gebruikt in zowel wiskunde, mechanica en fysica. Dit omdat het zwaartepunt noodzakelijk is bij berekeningen waar we krachten op een voorwerp gaan bekijken. Bijvoorbeeld ingenieurs die bruggen of buildings bouwen zullen hiermee veel in contact komen. Of als een fysicus wil weten hoeveel druk er op een zeepbel mag staan voor deze springt zal hier veel informatie aan hebben. (Natuurlijk gebruiken zij niet altijd zwaartepuntenvan een direhoek, maar die van een balk of bol. Het principe is echter dezelfde. In de middelbare school leer je dit concept kennen door middel van driehoeken omdat deze gemakkelijke figuren zijn.)

Stel dat je vader of moeder een schommel voor je wil bouwen in de tuin en het frame van de schommel bestaat uit 2 driehoeken die verbonden zijn met een staaf (zie schets).

schommel schetsWaarop dan zeker gelet moet worden is dat de schommel of trapeze ONDER het zwaartepunt van de driehoeken (rode stip) terecht komt. Als je dat niet doet, en je schommel is niet goed in de grond verankerd, zal deze van bij de 1ste keer dat je zwiert, omvallen! Dit omdat als je een te kort touw hebt waardoor je dus ‘boven’ het zwaartepunt zit,
de constructie te onstabiel wordt.
Het zwaartepunt kan je dus ook ook bekijken als een soort evenwichtspunt van je driehoek (of andere vlakke figuur). Als je een driehoek wil laten balanceren op een pen of bijvoorbeeld je vinger, zal je de driehoek dan ook precies op het zwaartepunt moet dragen.
triangle
Laat duidelijk zijn dat dit slechts enkele voorbeelden zijn. Vooral op de laatste begrippen zwaartelijnen en zwaartepunt kan je nog wel even doorgaan. Maar voor sommige toepassingen is meer achtergrond nodig die jullie ongetwijfeld in je verdere studies te zien zal krijgen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

gps

Advertisements

2 Comments

Filed under andere

2 responses to “3 driehoeksvragen

  1. Bart Van Gheluwe

    Geldt dit principe ook voor de techniek waarmee je d.m.v. triangulatie redelijk accuraat kunt bepalen waar een mobiel toestel (gsm) zich bevindt? Of voor locatiebepaling met GPS en aanverwante systemen, waarbij je het signaal van minstens drie satellieten (liefst meer) nodig hebt?

    • Nee niet echt,
      een GPS heeft inderdaad drie satellieten nodig om je positie te kunnen bepalen, met liefst een 4 de om de nauwkeurigheid te verbeteren.
      (Onderaan de post “3 driehoeksvragen” heb ik een schets geplakt)
      Laat ik het concept even in 2D uitleggen. Stel dat de zwarte cirkel de aarde is en de gekleurde rondes zijn het bereik van 2 satellieten (met de satelliet als centrum). Deze zenden een frequentie naar de ontvanger die zich op het snijpunt van de signalen bevind. Door de data die verzonden worden komt de ontvanger zijn positie op de cirkel te weten. Zo zijn er 2 mogelijke punten maar 1 van de 2 kan meteen genegeerd worden.

      In 3D ziet het bereik van een satelliet er als een sfeer uit. 2 van deze hebben geen snijpunten maar een snijvak gemeen. Veel meer mogelijkheden dus. Daarom wordt de hulp van een derde satelliet ingeroepen… Voor de derde dimensie zeg maar. Plus zoals gezegd een vierde satelliet die een deel van de nauwkeurigheid verbeterd.

      GPS is een zeer interessante toepassing van enkele heel eenvoudige wiskundige concepten. Één dezer dagen volgt er zeker een volwaardige blog hierover.

      Groeten

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s