Word een rekenwonder

In merkwaardig snel rekenen kan je al enkele trucjes leren om sommige vermenigvuldigingen eenvoudiger te maken. Maar aangezien deze hulpjes meestal op school aangeleerd worden zullen de meeste mensen deze trucjes wel kennen. Als je iemand echt wil verbazen kan je misschien het volgende eens proberen. Afbeelding Vraag iemand een rekenmachine te nemen, laten we deze persoon voor de eenvoud een naam geven, “Iris”. Vraag Iris een getal tussen 0 en 100 te kiezen (ze mag dit getal NIET tegen je zeggen), en deze met haar rekenmachine 3 keer met elkaar te vermenigvuldigen. Als zij je dan de uitkomst vertelt zal jij na enkele seconden kunnen vertellen welk getal Iris oorspronkelijk gekozen had. Als ze bijvoorbeeld 45 kiest zal zij dus 45 x 45 x 45 uitrekenen (Met andere woorden 45³). Haar rekenmachine zal tonen dat de uitkomst 91125 is. Nadat ze je de uitkomst vertelt, antwoord jij als rekenwonder: “Het getal dat je 3 keer met zichzelf hebt vermenigvuldigd was … 45!” Afbeelding Wat je dus eigenlijk doet is “uit je hoofd” de derdemachtswortel van het gegeven getal berekenen. Aangezien derdemachtswortels niet altijd heel gemakkelijk te berekenen zijn zal Iris verbaasd opkijken en onder de indruk zijn van je rekenkunst. HOE WERKT DE TRUC? Het eerste wat je eens kan proberen is alle cijfers van 0 – 9 tot de derde macht berekenen. dat wil dus zeggen:
(0 x 0 x 0 = 0)
1 x 1 x 1 = 1
2 x 2 x 2 = 8
3 x 3 x 3 = 27
4 x 4 x 4 = 64
5 x 5 x 5 = 125
6 x 6 x 6 = 216
7 x 7 x 7 = 343
8 x 8 x 8 = 512
9 x 9 x 9 = 729
(Deze 10, of toch de laatste 9, uitkomsten zullen we later nog gebruiken)
De laatste, vetgedrukte, cijfers zijn heel belangrijk! Dit zal je zal je namelijk al de helft van de oplossing geven! Als de oplossing van een derde macht eindigt op een 1. zal ook het originele getal eindigen op een 1! kijk maar naar enkele voorbeelden…
11 x 11 x 11 = 1331
21 x 21 x 21 = 9261
41 x 41 x 41 = 68921
91 x 91 x 91 = 753571

Hetzelfde geldt voor getallen die eindigen op een 4,5,6,9,0.
54 x 54 x 54 = 157464
15 x 15 x 15 = 3375
26 x 26 x 26 = 17576
39 x 39 x 39 = 59319
60 x 60 x 60 = 216000

Met andere woorden: Als een getal eindigt op een 1 (4,5,6,9,0)
dan zal de uitkomst van getal x getal x getal ook eindigen op een 1 (4,5,6,9,0) Afbeelding Voor een getal dat eindigt op een 2 zal de derdemacht eindigen op een 8
en waar een getal eindigt op een 8 zal de derde macht eindigen op een 2.
Voor een getal dat eindigt op een 3 zal de derdemacht eindigen op een 7
en waar een getal eindigt op een 7 zal de derde macht eindigen op een 3.

Bij deze getallen merk je dus dat ze niet op hetzelfde getal eindigen, dit is dus eigenlijk het eerste dat je moet onthouden als je de truc wil uitvoeren. 2 –> 8 en 8 –> 2  en ook  3 –> 7 en 7 –> 3.

Nu komt het (niet al te) moeilijke deel van de truc. We hebben nu wel een eenvoudige manier gevonden om het laatste cijfer te vinden van het te raden getal, maar wat is het eerste cijfer? Hiervoor moeten we 9 getallen onthouden. Dit vergt eventjes oefenen, maar negen getallen zou niet al te moeilijk mogen zijn. De getallen die je moet onthouden zijn deze die we boven uit hebben gerekend. 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,
Wat we nu doen is, we nemen de uitkomst en schrappen de drie laatste cijfers. Enkel wat overblijft is voor ons interessant. We kijken welk van onze 9 getallen het grootste is, dat toch kleiner is dan hetgeen dat overblijft….. Voorbeeldjes!

We krijgen uitkomst 17576:
Het 2de cijfer van het te raden getal zal een 6 zijn, want de uitkomst eindigt op een 6.
Om het 1ste cijfer te vinden schrappen we eerst de laatste 3 cijfers dus 17576 en houden dus getal 17 over. welk van onze 9 is nu het grootste getal dat toch kleiner is dan 17?… inderdaad het getal 8, want al de andere getallen zijn groter dan 17. Dit is het 2de getal dat we moesten onthouden en daarom is het eerste cijfer van het te raden getal een 2.
De oplossing is dus 26.

Stel ik krijg de uitkomst 405224:
Het 2de cijfer van het te raden getal zal een 4 zijn, want de uitkomst eindigt op een 4.
Voor het 1ste cijfer schrappen we de 3 laatste cijfers dus 405224 en we houden dus 405 over. Wat is het grootste van onze 9 getallen dat kleiner is dan 405? Het is 343, of dus het 7de getal dat we moesten onthouden en dus is het eerste cijfer een 7.
De oplossing is dus 74.

Stel de uitkomst is 54872.
Het 2de cijfer zal een 8 zijn, want de uitkomst eindigt op een 2.
Voor het eerste cijfer schrappen we de laatste 3 cijfers dus 54872 en we houden 54 over. Wat is et grootste van onze 9 getallen dat toch kleiner is dan 54? Het is 27, of dus het 3de getal dat we moesten onthouden, dus het eerste cijfer zal een 3 zijn.
De oplossing is dus 38.

Stel de uitkomst is 729.
Het 2de cijfer zal een 9 zijn, want de uitkomst eindigt op een 9.
Dan schrappen we de laatste drie cijfers: 729 en we houden… niets of dus 0 over? Wat nu? Je kan gewoon stellen dat het eerste cijfer dan een 0 is. De oplossing zal dus 09 of gewoonweg 9 zijn.

De reden waarom ik zoveel voorbeelden geef is omdat je dit zelf enkele malen moet proberen. Na een tiental van deze oefeningetjes zal je merken dat je steeds sneller de uitkomst zal vinden. Hoe vlugger je antwoord geeft, hoe meer onder de indruk de kandidaten zullen zijn. Even herhalen: Om het 2de cijfer te vinden kijken we naar het laatste cijfer van de uitkomst.
( 1 –> 1 )         ( 6 –> 6 )
( 2 –> 8 )         ( 7 –> 3 )
( 3 –> 7 )         ( 8 –> 2 )
( 4 –> 4 )         ( 9 –> 9 )
( 5 –> 5 )         ( 0 –> 0 )
Om het eerste cijfer te vinden, schrappen we eerst de laatste drie, en dan kijken we naar wat overblijft. We onthouden de getallen 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 en 729. We kijken welke van deze getallen de grootste is die kleiner is dan het overblijfsel. Als het het 1ste getal is, dan zal het eerste cijfer 1 zijn; Als dit het 2de getal is, dan zal het eerste cijfer een 2 zijn; Als dit het 3de getal is, dan zal het eerste cijfer een 3 zijn; Als dit het 4de getal is, dan zal het eerste cijfer een 4 zijn; ….. Afbeelding Het lijkt heel veel, maar geloof me, als je dit voor een tien of twintigtal getallen zelf even probeert, zal je al snel het systeem doorhebben. Het leuke aan deze truc is dat echt iedereen verrast zal zijn. Een derde macht berekenen is niet eenvoudig maar met deze truc kan jij het alvast voor de eerste 100 getallen! DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s