Stelsels van vergelijkingen… op een leuke manier

Nu het schooljaar nog maar net bezig is zullen we proberen leuk te starten… met nog maar eens een spelletje bijvoorbeeld. Eentje dat bijna iedereen wel zal kennen trouwens. Iedereen heeft namelijk al wel eens een potje mijnveger gespeeld.

Je krijgt de taak om een gebied in de zee (de meeste versies spelen zich af op water) te vrijwaren van gevaarlijke bommen. Jou werkgebied is opgedeeld als een rooster van vakjes. De omvang van dit rooster is meestal recht evenredig met het aantal mijnen die erin verborgen zitten. Wanneer de vakjes in dit rasterwerk aangeklikt worden kom je te weten of hier mijnen verborgen zitten of niet. Zoja, dan ontploft het gevaarte meteen en is je spel meteen afgelopen. Indien er geen mijn verborgen zit achter het aangeklikte vak, dan krijg je een cijfer te zien gaande van 0 tot en met 8. Dit getal geeft aan hoeveel rakende vakken wel een mijn bezitten. Rakende vakjes zijn de 4 buren links, rechts, boven en onder, maar ook de 4 diagonale rakende rasters. Wanneer je een plek selecteert met waarde 0, of dus een plaats waarrond zich geen enkele mijn bevind, dan zullen ook deze aanliggende vakken als ‘aangeklikt’ beschouwd worden en hun achterliggende waarde bekend maken. Deze getallen en het totaal aantal te ontmijnen bommen, zijn ook meteen de enige aanwijzingen die je zal kunnen gebruiken om te reduceren waar de bommen zich bevinden. Wel,… deze cijfers en een klein beetje wiskunde dan. meer bepaald. Je kan deze aangeklikte gegevens namelijk in verrassend eenvoudige vergelijkingen gieten die je een aardig stuk verder kunnen helpen bij het ontmijnen van de rest van de zee. En ik schrijf hier inderdaad dat de vergelijkingen je kunnen helpen. Omwille van de natuur van het speelveld zal de wiskunde van deze vergelijkingen niet altijd een waterdichte oplossing geven. Maar later meer hierover.         

Neem de volgende situatie waarbij de speler, in een speelveld van 9 bij 8 vakken, tweemaal een vierkantje aanvinkte. Bij zijn eerste gok vergaarde de speler weinig info. Hij kreeg een “1” (linksboven op de kaart)te zien en weet dat er achter één van de acht rakende vakken een explosief verdoken zit. Met deze informatie is de speler verder niets en hij moet dus noodgedwongen opnieuw een gokje wagen. Voor zijn tweede poging waagt hij een kans in een hoek helemaal rechts bovenaan. Opnieuw geen bom en deze keer raakte hij een vak met waarde “0”. Zoals gezegd krijg je dan alle waarden van de rakende vakken te zien. Ook deze zijn toevallig “0” en daarom worden op hun beurt ook de getallen achter de buren van deze vakjes geopenbaard.

Het werkveld van de speler zit er op dit moment als volgt uit

 eenVeel blauw, tot nog toe geen mijnen, en 12 gegevens om mee verder te werken. Van het ‘eilandje’ rechts bovenaan krijgen we veel informatie en daarom is het geen slechte idee om daar te starten met het opstellen van vergelijkingen. Omdat we de 13 vakjes die aan dit eiland raken willen gaan onderzoeken, zullen we ze eerst allemaal een naam moeten geven. Misschien wat inspiratieloos noemen we ze x1, x2, … x12 en x13. Het is nu aan jou als speler om te achterhalen welk getal elke onbekende is. Zulk een onbekende x is ofwel gelijk aan 1, in dit geval zit er een mijn achter het desbetreffende vakje. Anders is de x gelijk aan 0. (De tak van de algebra wiskunde waarbij de variabelen 0 of 1 zijn, heet Booleaanse algebra). Hoe stellen we de vergelijkingen op? We weten dat onder de vakjes die een getal raken evenveel mijnen moeten zitten als de waarde aangeeft. Elke vergelijking zal dus niets meer dan een som van nullen en éénen zijn met als uitkomst het getal van ons gegeven. Voor ons stukje landkaart geeft dit de volgende twaalf vergelijkingen.

twee

  drie

De eerste 2 vergelijkingen zijn identiek en één van deze twee zal geen nieuwe informatie geven voor het oplossen van het stelsel. Uit vergelijking (3) weten we dat x2 gelijk is aan 1. Wanneer we dit invullen in vergelijking (2) leren we dat x1=0. We kunnen x2=1 ook invullen in (4) en daaruit volgt dat ook x3=0.

Aangezien alle x-waarden gelijk zijn aan 0 of 1 kunnen we uit vergelijking (11) concluderen dat zowel x12=1 en x13=1 gelijk zijn aan 1. Als we deze waarden in vergelijking (10) steken vinden we x11=0. Deze uitkomst kunnen we op zijn beurt samen met x12 invullen in vergelijking (9) om x10 te vinden, namelijk x10=1. Op analoge manier vinden we via (8) dat x9=0. Nu rest ons nog vergelijkingen (5), (6), (7) en (12) om de nog overgebleven x4, x5, x6, x7 en x8 te vinden.

vier

Uit (12) weten we nu dat x4 en x5 niet beide gelijk aan 1 kunnen zijn want dan zou er staan 1 ≥ 2 wat nergens op slaagt natuurlijk. Ofwel zijn ze dus beide gelijk aan 0, of slechts één van de twee onbekenden stelt een bom voor en is dus gelijk aan 1.

Als we er even van uitgaan dat ze beide gelijk zijn aan 0 en dit invullen in vergelijking (5) bekomen we 3 = 1 + 0 + 0 + x6. om deze gelijkheid te doen slagen moet x6 gelijk zijn aan 2. Maar we weten reeds dat x6 enkel waarden 0 of 1 kan aannemen. De veronderstelling dat beide x4 en x5 nul zijn is dus fout. Het moet dus zijn dat exact één van deze twee onbekende gelijk is aan 0 en de andere gelijk aan 1. Vergelijking (5) kan er dus uitzien als 3 = 1 + 0 + 1 + x6 of 3 = 0 + 1 + 0 + x6. Welke het ook zal zijn, we kunnen steeds concluderen dat x6=1. Deze informatie zullen we invullen in (7). Hier staat nu 2 = 1 + x7 + x8 + 1. Ondertussen zou je nu al snel zelf moeten zien dat daarom x7=0 én x8=0. Wanneer x6 en x7 ingevuld worden in vergelijking (6) komen we ook x5 te weten, namelijk x5=0. Aangezien exact één van x4 of x5 gelijk was aan 1, en we nu weten dat dit niet x5 is hebben we uiteindelijk de laatste onbekende x4=0.Als speler weet je nu met mathematische zekerheid welke, van deze 13 onbekenden, je kan aanvinken als mijnen en welke je kan aanklikken om nieuwe aanwijzingen te winnen om verdere mijnen op te sporen.

 Spelers die het spel dikwijls spelen zullen zeggen dat deze ‘wiskundige omweg’ nog nooit gebruikte om een spel te winnen. Ook als ik zelf het spelletje opstart heb ik nooit pen en papier naast me liggen om stelsels vergelijkingen te gaan neerschrijven. Maar eigenlijk is dit wel wat we doen in ons hoofd. Men denkt dan misschien niet meteen aan x’en, gelijkheden en bewijsvoeringen, het logische denkproces om de locaties van de mijnen te vinden is eigenlijk exact dezelfde. Bij mijnveger moet je soms, en dit zal ook jij indien je het spel ook enkele keren uitprobeerde kunnen beamen, moet je ook tijdens het spel soms een gokje wagen. Dit kan zijn omdat je reeds gevonden gegevens al gebruikt hebt en moet gaan zoeken naar nieuwe data door in het wilde weg een vakje aan te vinken. Maar wat pas echt frustrerend kan zijn bij dit spelletjes is het feit dat je zelfs aan alle bestaande gegevens niet genoeg hebt!

 nog

Bovenstaande grid heeft bijvoorbeeld dit probleem. We zijn bijna klaar met het ontmijnen van het hele gebied, op twee vakjes na zit onze klus er op. Van de 10 mijnen die verspreid zitten in dit gebied hebben we al van 9 bommen de locatie achterhaald die we markeerden met evenveel vlaggen. De 2 plaatsen waar zich de laatste mijn zich nog kan verschuilen, liggen links bovenaan het speelveld. Voor deze laatste mijn te vinden hebben we nog 2 aanwijzingen die gebruikt kunnen worden, namelijk de vakjes met waarden “1” en “3”. Als we deze net zo gebruiken als in de oefening hiervoor krijgen we het volgende stelsel:      
vijfNa een eerste blik op dit stelsels valt je misschien niet meteen iets vreemds op, maar als je de getallen een klein beetje verschuift zal je merken dat beide vergelijkingen (1) en (2) eigenlijk identiek zijn. Je kunt namelijk bij vergelijking (1) zowel het linker- als het rechterlid met 2 vermeerderen, of dus:

zes

Na deze stap valt meteen op dat vergelijking (2) inderdaad niets meer is dan (1). We kunnen de tweede gelijkheid dus weglaten aangezien ze ons geen informatie kan geven die we niet uit (1) kunnen concluderen. De enige wiskundige aanwijzing is dus 1 = x1 + x2
Hoe lang we ook naar deze formule staren, heel wijs gaan we er niet uit worden. Het enige dat we uit (1) kunnen besluiten is dat x1 en x2 niet samen 0 of 1 kunnen zijn. Want ofwel is 1 = 1+0 ofwel 0+1. Maar dit wisten we eigenlijk al.

In dit geval is het erop of eronder, je laatste gok zal bepalen of je het hele spel wint of verliest, en wiskunde zal hier niets aan veranderen.  Dit laatste kan wel eens erg frustrerend zijn wanneer na enkele minuten spelen het spel afhangt van een gelukstreffertje. Ook het feit dat je al bij aanvang van het spel in het wilde weg moet gokken en hopen dat je openingszet niet meteen een mijn is, verveelt soms. Om deze twee redenen hebben al vele spelontwikkelaars het game opnieuw geprogrammeerd of geüpdatet om de geluksfactor tot het minimum te herleiden.

Leraars en Leraressen kunnen dit spel dus misschien wel gebruiken om stelsels van vergelijkingen aan de van dit spel aan te laren. De leerlingen hebben meestal een intuïtieve manier om het spel op te lossen en kunnen zo makkelijker de wiskunde erachter volgen. Voor de vlijtige leerlingen kan je ook een andere cijferpuzzel gebruiken in je lessen. Want ook Kakuro puzzels zijn aan de hand van soortgelijke stelsels op te lossen.

zeven
acht

Op deze manier kan je getallen in jou voordeel gebruiken wanneer je puzzels oplost

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, Info voor leerkrachten en scholen

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s