Monthly Archives: May 2015

Mazelen, Ebola en Zombies

Ziektes zijn er in alle vormen en kleuren, de ene (jammer genoeg) al wat erger dan de andere. Sommige zijn niet levensbedreigend, andere dan weer wel. Sommige zijn te behandelen andere niet. Sommige zijn niet overdraagbaar, andere zijn dan weer zeer besmettelijk…Wat ons vandaag interesseert, is deze laatste categorie van besmettelijke ziekten.

Wiskundigen zoeken steeds naar patronen in data en/of naar wiskundige modellen om deze data te begrijpen en in het beste geval enkele conclusies te trekken en zelfs kleine voorspellingen te doen. Ook voor het geval van besmettelijke ziekten zijn er zulke modellen ontwikkeld. Het eerste, SIR-model zoals het heet, werd bedacht door Kermack en McKendrick en dateert al van 1927. In dit model staat de S voor Suspectable (vatbare groep mensen), de I voor Infected (besmette groep mensen) en de R voor Removed (verwijderde groep mensen). Met verwijdert bedoelen we dat deze groep mensen uit het systeem verwjderd worden, wat wil zeggen dat ze niet meer opnieuw ziek kunnen worden. Ofwel stierven de mensen aan de ziekte ofwel (nemen we voor dit basismodel aan) werden ze na genezing immuun zijn aan de ziekte. Het totale aantal mensen dat we in het hele systeem bekijken is N, met andere woorden: S + I + R = N.
Logischerwijze volgen de mensen de volgende stroom in het schema: ze zijn vatbaar -> worden ziek, -> genezen (en dus immuun) of sterven aan de ziekte:SIR

Merk op dat mensen dus enkel kunnen bewegen van groep S naar I of van I naar R, (niet in de andere richting). Wat nu heel belangrijk is van het model, en waar het grote verschil zit tussen verschillende ziektes is de snelheid waarmee mensen van groepen veranderen. De snelheid waarmee je van S naar I verplaatst geeft eigenlijk weer hoe snel je ziek wordt of besmet raakt. dit tempo waarbij vatbare mensen besmet worden met de ziekte noemen we de infectiekracht en zullen we verder voorstellen als: β (Griekse letter Beta). Bij zeer besmettelijke ziektes zal deze dus groot zijn.
We hebben een soortgelijke factor die de snelheid aangeeft waarbij we van groep I naar groep R bewegen, namelijk γ (Griekse letter Gamma). Dit is 1 gedeeld door de gemiddelde infectieperiode. Dat wil dus zeggen dat voor ziektes waar we snel van genezen (of overlijden) dat γ zeer groot is. Ziekten waar we langer mee worstelen alvorens we ervan genezen (of eraan overleden) zijn, zullen een kleinere waarde hebben voor γ.
Als we dit allemaal in een soep mengen vinden we onderstaande systeem van 3 forumules die aantonen hoe de aantallen van de verschillende groepen S, I en R zullen veranderen in de tijd:

SIR1

In deze formules zien we iets van de vorm dS/dt. Eenvoudig gesproken wil dit zeggen: “Hoe gedraagt S zich na enige verloop van tijd” (vandaar de kleine t van tijd in de formule). In de eerste formule zal de groep steeds kleiner worden (vandaar het negatieve teken). groep I zal langs de ene kant vergroten (mensen die vanuit groep S komen omdat ze ziek worden) en langs de andere kant verkleinen (mensen die genezen/sterven en dus van groep I naar R verhuizen). Groep R zal enkel toenemen met mensen die genezen (en dus immuun) of overleden zijn.

Nogmaals, dit is een zeer eenvoudig model! Het houdt enkel rekening met de snelheid waarmee we ziek worden, en hoelang we gemiddeld ziek zijn, en het gaat ervan uit dat eens genezen, je ook immuun bent. Je kan het model uitbreiden en bijvoorbeeld rekening houden met het geboorte en sterftecijfer (sterfte onafhankelijk van de ziekte). Rekening houden met het feit dat sommige mensen met immuniteit geboren worden, of preventief vaccinaties krijgen, zieken in quarantaine geplaatst worden… enzovoort.
Wat wel moet opvallen is dat β en γ,2 héél belangrijke indicatoren zijn bij het inschatten van een mogelijke epidemie van een ziekte! Daarom bundelen we ze in volgende formule waarbij we het Reproductiegetal berekenen: SIR2Dit Reproductiegetal geeft je een beetje een idee van hoe groot de kans op epidemieën zijn. Indien kleiner dan 1 zal de infectie uitsterven. Wanneer het reproductiegetal >1, dan kan de infectie zich verspreiden over de bevolking.

Ebola en de Mazelen

Nog niet zo lang geleden hoorde je veel over de ziekte Ebola die vooral in Guinea, Sierra Leone en Liberia slachtoffers eiste. Deze besmettelijke ziekte zaaide enkele weken paniek, omdat velen vreesde voor een wereldwijde epidemie. Vele studies werden gedaan om na te gaan hoe groot het gevaar van zulk een pandemie wel was. Hier vind je bijvoorbeeld een studie. Merk op dat hier gebruikt werd gemaakt van het SEIR-model. Soortgelijk aan ons SIR-model maar met een extra stap tussen de vatbare groep mensen, en de geïnfecteerde groep. Dit tussenstadion heet E voor Exposed, of de blootgestelde mensen. Maar zoals gezegd zijn vooral parameters β en γ van belang. Uit onderzoek blijkt dat de gemiddelde infectieduur ongeveer 5,61 dagen bedraagt en dus is γ=1/5,61. β blijkt afhankelijk te zijn van streek tot streek: β-Guinea=0,27, β-Sierra Leone=0,45 en β-Liberia=0,28. Zo kunnen we dus met bovenstaande formule het belangrijke reproductiegetal berekenen voor de verschillende streken. Voor Guinea, Sierra Leone en Liberia is dit dan respectievelijk 1,51; 2,53 en 1,59.

Telkens groter dan 1 en dus is er steeds een kans op het uitbreken van een epidemie. maar laten we dit een keer vergelijken met andere ziekten:

reproductiegetalZo zie je meteen dat bijvoorbeeld Mazelen een veel groter gevaar vormt in orde van besmettelijkeheid. Gemiddeld geeft een patiënt met Ebola de ziekte door aan 2 andere personen terwijl iemand met de mazelen zo een 24 mensen aansteekt. Natuurlijk zijn de gevolgen van Ebola wel veel ernstiger.

Zombies

Eens er zulk een wiskundig model opgesteld is, kan men deze trachten toe te passen op verschillende ziekten, maar ook op andere ‘besmettelijke’ begrippen. Zo is er bijvoorbeeld aan de hand van deze modellen onderzoek gedaan naar “populaire woorden”. Hoe het gebruik van zulke woorden doorgegeven word en hoelang het duurt vooraleer zo een hype uitsterft. Bijvoorbeeld het woord “Selfie” kan je met dit model gaan bekijken. Hoe aanstekelijk is het (β) en hoelang wordt het gebruikt door een persoon of groep vooraleer het woord minder in omgang is (γ)?
Een andere leuke studie die iets meer tegen de ziekten aanleunt is die van een uitbraak van Zombies. In deze studie bekijkt men verschillende scenario’s en schema’s waarbij men zoals in volgende voorbeeld rekening houd met een quarantaine zone (Q) en ook een groep mensen die gebeten werden en pas na 24 uur zombie zullen worden (I). Deze laatste groep komt een beetje overeen met de groep blootgestelde mensen van het SEIR-model. Waar we bij het SIR-model de I gebruikte voor geinfecteerde mensen, noemen we ditmaal de ‘zieke’ bevolking of dus de zombies, groep Z. Zoals je ziet kan het model aanzienlijk ingewikkijld worden indien we met meer factoren rekening willen houden.

zombies

Naast β en γ zie je nog verschillende parameters omdat er natuurlijk ook meer groepen zijn waartussen beweging mogelijk is. Het Griekse getal Pi in dit schema stelt het geboorte cijfer voor bijvoorbeeld. Deze parameters kan je indien je wil, halen uit boeken of films… Zo weet je uit de film “World-War Z” dat er bijvoorbeeld 12 seconden infectietijd nodig is om van een mens een zombie te maken. Uit “I am legend” of  “28-days later” haal je misschien weer andere informatie enzovoort…
Je kan iets soortgelijks opstellen om de groei van een vampieren-gemeenschap te voorspellen! Allemaal heel belangrijk moest een van deze dagen een zombie of vampier actief zijn…

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Advertisements

2 Comments

Filed under andere

wiskunde gaat viraal (+nieuw raadsel)

Enkele weken geleden ging er een probleem de wereld rond: Op welke dag valt Cheryl haar verjaardag?
verjaardagsprobleem
Dit was een vraagstuk uit de wiskunde-olympiade te Singapore. Uit dit gesprek zou je de juiste datum van Cheryl’s verjaardag moeten kunnen vastpinnen. Aangezien dit probleem heel snel heel de wereld rondging zijn er ook enorm veel plekken waar je de oplossing kan terugvinden. (bijvoorbeeld hier of een filmpje op you tube hier)

Hier volgt een ander soortgelijk raadsel waarbij je door logisch denken aan de juiste oplossing moet komen.
De hersenkraker gaat als volgt:

B:- Hey Albert!
A:- Hey Bernard, alles ok?
B:- Ja hoor, en met jou… en de kinderen?
A:- Alles in orde met mij, en m’n drie kinderen.
B:- Hoe oud zijn ze nu ook alweer?

Hier begint het raadsel waarbij Albert de leeftijd van z’n kinderen omschrijft.
A:- Het product van de leeftijden is 72.
B:- Hmmm, ik weet nog steeds niet hoe oud ze zijn.
A:- Wanneer je de leeftijden optelt kom je uit op het getal dat ook je huisnummer is.
B:- Hmmm, ik weet het nog steeds niet hoor.
A:- De lievelingskleur van mijn oudste kind is groen.
B:- Dan weet ik de leeftijden van je drie kinderen!

Kan jij ook achterhalen wat de leeftijden van de kinderen zijn?
Probeer dit raadsel te delen om deze ook viraal te krijgen!

Mail me op waaromwiskunde@hotmail.com voor het antwoord, hints of suggesties van andere raadsels

Leave a comment

Filed under andere

Je kansen verbeteren bij krasspelen

Laten we zoals in de tekst “Eerlijke spelletjes en krasloten” een spelletje spelen waarin je voor een inzet van 2€ een doos mag kiezen waarin een onbekende prijs zit. Elke doos ziet er identiek uit en je kan niet zien wat erin zit. Je weet wel dat er twee lege dozen zijn, één waar 1€ in zit, één met 4€ en in nog één zit 5€.

boxes

Je kan makkelijk nagaan wat je gemiddelde winst is. Je wint gemiddeld  2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€ en betaalt ook 2€ om mee te mogen spelen… 2€ gemiddelde prijs – 2€ deelname = gemiddeld 0€ omzet.  Een andere manier om dit te bekijken is te veronderstellen dat je alle 5 de dozen opkoopt. Je wint nu alles of dus 0€+0€+1€+4€+5€=10€. Je moet dan natuurlijk wel 10€ uitgeven om de 5 dozen te kopen. Wederom is je omzet dus 0€. Zonder tactiek is je gemiddelde winst dus 0€!

Maar stel dat je niet blindweg alles zou kopen maar volgens de volgende tactiek speelt:
Stap 1: Je koopt een doos en bekijkt de prijs.
Stap 2: Indien je de hoofdprijs hebt (in dit geval 5€) stop je met spelen, anders herhaal je dit proces.
Laten we even bekijken hoe we nu berekenen hoeveel we gemiddeld zullen winnen. volgens dit speelplan heb je heel wat verschillende uitkomsten. (in volgende berekeningen zal ik een onderscheid maken tussen de twee dozen zonder waarde, door ze voor te stellen door een zwarte en rode 0. in volgende afbeelding zie je respectievelijk de verschillende mogelijkheden voor moest je in 1 beurt, 2 beurten, 3,4 of 5 beurten de juiste doos kiest.
mogelijkhedenIn de situatie waarbij je in 1 beurt wint, is er maar 1 mogelijkheid namelijk dat je meteen de doos van 5€ kiest. Voor de situatie waarbij je pas in de tweede beurt wint zijn er al 4 mogelijkheden. Je neemt namelijk eerst één van de vier ‘foute’ dozen en dan pas de juiste… Zo zijn er zoals je kan zien 12 mogelijkheden om in de derde beurt het hoogste lot te kiezen en eindigen in 4 of 5 beurten kan beide op 24 verschillende manieren.

Winnen in 1 keer

De kans dat je in je eerste beurt de juiste doos kiest is 1/5, dit is vrij logisch. in dat geval win je 5€ min de 2€ om te mogen gokken. dus je winst is dan 3€

Winnen in 2 beurten

boxes2

De kans dat je pas in de tweede beurt de juiste doos kiest is ook 1/5. Dit omdat je 4/5 kans hebt dat je in de eerste beurt verkeerd koos, bijvoorbeeld een doos met waarde 0. Dan zijn er nog 4 dozen over en is de kans dus 1/4 dat je nu wel de juiste kiest. totale kans is dan 4/5 x 1/4 = 1/5. Als je de afbeelding met mogelijkheden bekeek zijn er 4 manieren om in de tweede beurt te winnen: 2 maal zal je eerst een lege doos gekozen hebben gevolg door de 5€. Het kon ook dat je eerst 1€ ontving en dan de 5€ of eerst 4€ en dan 5€. Je zal indien je pas in de tweede beurt won dus ofwel in totaal 5€, 5€, 6€ of 9€ aan prijzen opstrijken. Gemiddeld is dit (5+5+6+9)/4 = 6,25€. Min de 4 euro die je betaalde om mee te spelen (je hebt nu 2 dozen moeten kopen) is dit 2,25 euro winst.

Winnen in 3 beurten

Wederom is de kans dat je in 3 beurten pas de doos van 5€ kiest 1/5. Dit is (de kans dat je in de eerste beurt verkeerd koos) maal (de kans dat je in de tweede beurt fout koos) maal (de kans dat je in de derde beurt de 5€ kocht) of dus 4/5 x 3/4 x 1/3 = 1/5. Nu kan je wederom de afbeelding met mogelijke resultaten bekijken. Er zijn 12 mogelijke manieren om in de derde beurt te winnen en als je mogelijke winsten nagaat zal je zien dat je gemiddeld 7,5€. Min de 6€ die we betaalde om 3 keer een doos te mogen kiezen maakt dit 1,5€ winst.

Winnen in 4 of 5 beurten

ook deze twee scenario’s hebben een kans van 1/5 om voor te vallen. Gemiddeld zal je na het ‘uitspelen’ in 4 of 5 beurten, respectievelijk 0,75€ of 0€ winst maken. Dit kan je helemaal analoog berekenen als hierboven.

Winst

we weten nu dat we in 1/5 van de gevallen 3€ winst maken. Voor 1/5 van de gevallen zal dit 2,25 euro zijn. In 1/5 van de keren win je 1,5€. In 1/5 verdien je 0,75€. In 1/5 van de keren zal het tot de laatste doos duren tot je de hoofdprijs kiest en win je niets of 0€. Je gemiddelde kans zal nu dus 1/5 x 3€ + 1/5 x 2,25€ + 1/5 x 1,5€ + 1/5 x 0,75€ + 1/5 x 0€ = 1,5€!
Met andere woorden zou zonder tactiek elke je gemiddelde winst 0€ zijn. Maar als je deze tactiek toepast waarbij je doorspeelt tot je de hoofdprijs hebt, en meteen erna stopt, is je winst gemiddeld 1,5€.

Krasloten

Deze tactiek kan je natuurlijk ook toepassen op krasloten van de nationale loterij! Hier weet je namelijk dankzij het lotenplan telkens hoeveel loten er te koop zijn met een specifieke prijsverdeling. Net zoals we boven een aantal dozen hadden met een specifieke prijsverdeling. Kijk bijvoorbeeld naar het lotenplan van “Spicy Cash“. Ook hier is er een scenario waarbij je in 1 keer wint indien je meteen de hoofdprijs van 500.000€ koopt. Je winst is dan 499.995€ want een ticketje kost 5€. Jammer genoeg zal dit slechts in 1/1.000.000 van de keren voorvallen. Er zijn ook 999.999 mogelijke scenario’s waarbij je pas in de tweede beurt de hoofdprijs wint… enzovoort.

spicy

Je kan weer net zoals in het spel met de 5 dozen een schema opstellen met al de mogelijke scenario’s. Tot en met de laatste mogelijkheid waarbij je pas in de allerlaatste beurt het beste lot koopt. Je merkt dat dit enorm omslachtig zal zijn aangezien er in plaats van 5 dozen nu maar liefst 1.000.000 loten zijn…
Daarom heb ik dit voor jou berekent. In de post  “Eerlijke spelletjes en krasloten” zag je al een grafiek waarbij per krasspel kon zien hoeveel je ticket waard is per uitgegeven euro. Wanneer we voor dit spel nagaan hoeveel een ticket waard is zonder tactiek dan vinden we dat deze per uitgegeven euro ongeveer 0,658€ waard is.

lotto2

Op deze grafiek is dat de licht groene curve. Op de donker groene curve zie je hoeveel de besproken tactiek je kansen zal verbeteren. Voor sommige spelletjes merk je een kleine verandering. Voor het spel Spicy Cash zal deze tactiek het grootste verschil maken! De gemiddelde waarde van je ticket zal na het toepassen ervan namelijk van 0,658€ naar 0,758€ stijgen. Je ticket is dan gemiddeld dus een 15% in waarde gestegen of in dit geval zo een 10 cent.
Het spel waarbij het ticket nu de meeste waarde heeft is nu Subito XXL en niet langer Share&Play wat zonder de tactiek de beste bleek te zijn.

Merk op dat je nog steeds geen loet zal hebben waarbij de gemiddelde waarde per uitgegeven euro, maar is dan 100 cent. Je zal over het algemeen dus nog steeds verlies maken bij het spelen van dit soort spelletjes!

(indien je graag de volledige excel-lijst wil van de krasloten kan je altijd een mailtje sturen waaromwiskunde@hotmail.com)

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

limieten

Leave a comment

Filed under andere

Eerlijke spelletjes en krasloten

In deze tekst bespreek ik hoe je kan nagaan of je een ‘eerlijk’ of ‘oneerlijk’ spel aan het spelen bent aan de hand van winstkansen. Ik zal dan nagaan welk krasspel van de nationale loterij het ‘eerlijkst’ is. eerlijke spelletjes We spreken van een eerlijk spel wanneer elke speler een gelijke kans heeft om te winnen, of wanneer de gemiddelde winst van beide spelers even groot is. Bijvoorbeeld 2 spelers Mats en Milan gooien een munt op. Bij kop wint Mats, anders wint Milan. Dit is een eerlijk spel omdat er een 50/50 kans is dat de munt land op “kop”. Gemiddeld wint Mats dus in 50% van de gevallen 1€, of dus 0,5€, Net als Milan. Wanneer een dobbelsteen geworpen wordt, spreken Lore en Lotte af om de winst als volgt te verdelen. Wanneer een 1 of een 2 word geworpen krijgt Lore 12 punten. Wanneer de dobbelsteen op 3,4,5 of 6 land zal Lotte 6 punten verdienen. De eerste die een score van 60 punten heeft wint het spel… Is dit eerlijk? JA: Lore zal in 2 op de 6 worpen winnen en 12 punten sprokkelen. Gemiddeld wint ze dus 2/6 x 12 = 4 punten per beurt. Lotte wint in 4 van de 6 worpen ‘slechts 6 punten. Maar gemiddeld heeft ook zij 4/6 x 6 = 4 punten per worp. Nog 1 voorbeeld: Stel je ziet voor je afgesloten 5 dozen staan waaruit je kan kiezen, en de geheime inhoud mag houden. Om het spel mee te spelen moet je 2€ betalen aan de uitdager. In twee dozen zit niets, als je deze kiest zal je dus 0€ winnen. in de overige dozen zit respectievelijk 1€, 4€ en 5€. boxes Ook dit is een eerlijk spel voor je: jou gemiddelde winst is 2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€. Je moest natuurlijk 2€ betalen om mee te mogen doen. gemiddeld is je omzet dus 0€. Je kan deze berekening ook omdraaien voor de uitdager. deze moet gemiddeld 2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€ uitbetalen, maar verdient natuurlijk jou inzet van 2€ en dus ook zijn gemiddelde winst per spel is 0€. zowel jij als de uitdager winnen 0€ en dus zijn de winsten gelijk wat het een eerlijk spel maakt. Krasloten Ik had het laatste voorbeeld ook anders kunnen uitleggen door de dozen te vervangen door krasloten. Laten we er één van de vele krasspelen van de nationale loterij bijhalen. Voor elk spel kan je online bekijken hoeveel loten er zijn die 0€ opleveren en achter hoeveel loten er wél een prijs verscholen zit. In volgende afbeelding zie je het lotenplan van het spel “Love Nature”. Dit is de verdeling van de winnende biljetten per gedrukte stapel van 625.000 krasloten.  Hier vind je de volledige info omtrent het spel. nature Je betaalt, net zoals het spel met de dozen, 2€ per deelname. Ook nu kunnen we uitrekenen wat je gemiddelde wint. 1/625.000 x 50.000€ + 6/625.000 x 2.500€ + 50/625.000 x 250€ + 7000/625.000 x 25€ + 19.750/625.000 x 10€ + 22.000/625.000 x 5€ + 100.000/625.000 x 2€ + 476.193/625.000 x 0€ = 1,216 €. Je betaalt dus 2€ voor een ticket en deze is gemiddeld 1,216 € waard. Je gemiddelde omzet is dus 1,216€ – 2€ =  – 0,784€ (of dus 0,784€ verlies). De gemiddelde winst van de loterij is dan 0,784€. Dit is dus geen eerlijk spelletje wat natuurlijk ook te verwachten is. Net zoals een casino heeft de loterij meer winstkans aangezien het voor hen belangrijk is om winst te kunnen maken als bedrijf. Merk op dat de kans dat je een winnend krasbiljet in handen hebt gelijk is aan 148.807/625.000 = 23,81% Dit wil zeggen dat je ongeveer in 1 op 4,2 spelletjes een prijs zal krabben. Maar de nationale loterij heeft wel meer krasloten… niet enkel tastbare maar ook virtuele krasspelen waarmee je online kan spelen. Na een vraag van een collega zette ik even op een rijtje welke de interessantste zijn om aan te schaffen. lotto1Op deze afbeelding zie je 2 grafiekjes. de rode (iets minder belangrijke) toont aan hoeveel kans je hebt om een winnend biljet in handen te hebben. Dit lijkt belangrijk maar bedenk je het volgende. Stel je voor dat ik het volgende spel met dozen voorstel: boxes11111Ook nu betaal je 2€ per deelname. Inderdaad, welke doos je ook kiest, je zal 100% zeker zijn dat je een “winnend lot” gekozen hebt. Dit voorbeeld zal op de rode grafiek dus de maximale waarde voorstellen. Maar aangezien je slechts 1€ wint na er 2€ betaalt te hebben is dit toch een zeer oninteressant spel. Wat belangrijker is aan de afbeelding met de grafieken is de groene curve. Deze toont je hoeveel je ticket waard is per uitgegeven euro. Voor het spelletje “Love Nature” hadden we dit al berekend: we betaalden 2€ per lot en gemiddeld was deze er 1,216€ waard. Per uitgegeven euro is je ticket dus 0,608€ waard (de 0,392€ is winst voor de nationale loterij). Nu kan je de groene grafiek dus raadplegen wanneer je jezelf de vraag stelt: voor welk spel is een ticket het meeste waard per geïnvesteerde Euro? Hoe hoger deze groene curve ligt hoe beter. Om die reden is het spel “Share & Play” het interessantste. Elk lot van dit type is gemiddeld 0,729€ waard (hieraan heeft de nationale loterij ‘slechts’ 0,271€ winst). Het minst interessant spel was 21 waarbij elk biljet slechts 0,569€ waard was per uitgegeven euro. Dit krasspel is sinds kort niet meer te koop. In een volgende post vertel ik hoe je met een juiste tactiek, de waarde per ticket (theoretisch) een klein beetje kan verhogen waardoor de groene grafiek dus hoger komt te liggen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

limieten

1 Comment

Filed under andere