Daily Archives: May 11, 2015

Je kansen verbeteren bij krasspelen

Laten we zoals in de tekst “Eerlijke spelletjes en krasloten” een spelletje spelen waarin je voor een inzet van 2€ een doos mag kiezen waarin een onbekende prijs zit. Elke doos ziet er identiek uit en je kan niet zien wat erin zit. Je weet wel dat er twee lege dozen zijn, één waar 1€ in zit, één met 4€ en in nog één zit 5€.

boxes

Je kan makkelijk nagaan wat je gemiddelde winst is. Je wint gemiddeld  2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€ en betaalt ook 2€ om mee te mogen spelen… 2€ gemiddelde prijs – 2€ deelname = gemiddeld 0€ omzet.  Een andere manier om dit te bekijken is te veronderstellen dat je alle 5 de dozen opkoopt. Je wint nu alles of dus 0€+0€+1€+4€+5€=10€. Je moet dan natuurlijk wel 10€ uitgeven om de 5 dozen te kopen. Wederom is je omzet dus 0€. Zonder tactiek is je gemiddelde winst dus 0€!

Maar stel dat je niet blindweg alles zou kopen maar volgens de volgende tactiek speelt:
Stap 1: Je koopt een doos en bekijkt de prijs.
Stap 2: Indien je de hoofdprijs hebt (in dit geval 5€) stop je met spelen, anders herhaal je dit proces.
Laten we even bekijken hoe we nu berekenen hoeveel we gemiddeld zullen winnen. volgens dit speelplan heb je heel wat verschillende uitkomsten. (in volgende berekeningen zal ik een onderscheid maken tussen de twee dozen zonder waarde, door ze voor te stellen door een zwarte en rode 0. in volgende afbeelding zie je respectievelijk de verschillende mogelijkheden voor moest je in 1 beurt, 2 beurten, 3,4 of 5 beurten de juiste doos kiest.
mogelijkhedenIn de situatie waarbij je in 1 beurt wint, is er maar 1 mogelijkheid namelijk dat je meteen de doos van 5€ kiest. Voor de situatie waarbij je pas in de tweede beurt wint zijn er al 4 mogelijkheden. Je neemt namelijk eerst één van de vier ‘foute’ dozen en dan pas de juiste… Zo zijn er zoals je kan zien 12 mogelijkheden om in de derde beurt het hoogste lot te kiezen en eindigen in 4 of 5 beurten kan beide op 24 verschillende manieren.

Winnen in 1 keer

De kans dat je in je eerste beurt de juiste doos kiest is 1/5, dit is vrij logisch. in dat geval win je 5€ min de 2€ om te mogen gokken. dus je winst is dan 3€

Winnen in 2 beurten

boxes2

De kans dat je pas in de tweede beurt de juiste doos kiest is ook 1/5. Dit omdat je 4/5 kans hebt dat je in de eerste beurt verkeerd koos, bijvoorbeeld een doos met waarde 0. Dan zijn er nog 4 dozen over en is de kans dus 1/4 dat je nu wel de juiste kiest. totale kans is dan 4/5 x 1/4 = 1/5. Als je de afbeelding met mogelijkheden bekeek zijn er 4 manieren om in de tweede beurt te winnen: 2 maal zal je eerst een lege doos gekozen hebben gevolg door de 5€. Het kon ook dat je eerst 1€ ontving en dan de 5€ of eerst 4€ en dan 5€. Je zal indien je pas in de tweede beurt won dus ofwel in totaal 5€, 5€, 6€ of 9€ aan prijzen opstrijken. Gemiddeld is dit (5+5+6+9)/4 = 6,25€. Min de 4 euro die je betaalde om mee te spelen (je hebt nu 2 dozen moeten kopen) is dit 2,25 euro winst.

Winnen in 3 beurten

Wederom is de kans dat je in 3 beurten pas de doos van 5€ kiest 1/5. Dit is (de kans dat je in de eerste beurt verkeerd koos) maal (de kans dat je in de tweede beurt fout koos) maal (de kans dat je in de derde beurt de 5€ kocht) of dus 4/5 x 3/4 x 1/3 = 1/5. Nu kan je wederom de afbeelding met mogelijke resultaten bekijken. Er zijn 12 mogelijke manieren om in de derde beurt te winnen en als je mogelijke winsten nagaat zal je zien dat je gemiddeld 7,5€. Min de 6€ die we betaalde om 3 keer een doos te mogen kiezen maakt dit 1,5€ winst.

Winnen in 4 of 5 beurten

ook deze twee scenario’s hebben een kans van 1/5 om voor te vallen. Gemiddeld zal je na het ‘uitspelen’ in 4 of 5 beurten, respectievelijk 0,75€ of 0€ winst maken. Dit kan je helemaal analoog berekenen als hierboven.

Winst

we weten nu dat we in 1/5 van de gevallen 3€ winst maken. Voor 1/5 van de gevallen zal dit 2,25 euro zijn. In 1/5 van de keren win je 1,5€. In 1/5 verdien je 0,75€. In 1/5 van de keren zal het tot de laatste doos duren tot je de hoofdprijs kiest en win je niets of 0€. Je gemiddelde kans zal nu dus 1/5 x 3€ + 1/5 x 2,25€ + 1/5 x 1,5€ + 1/5 x 0,75€ + 1/5 x 0€ = 1,5€!
Met andere woorden zou zonder tactiek elke je gemiddelde winst 0€ zijn. Maar als je deze tactiek toepast waarbij je doorspeelt tot je de hoofdprijs hebt, en meteen erna stopt, is je winst gemiddeld 1,5€.

Krasloten

Deze tactiek kan je natuurlijk ook toepassen op krasloten van de nationale loterij! Hier weet je namelijk dankzij het lotenplan telkens hoeveel loten er te koop zijn met een specifieke prijsverdeling. Net zoals we boven een aantal dozen hadden met een specifieke prijsverdeling. Kijk bijvoorbeeld naar het lotenplan van “Spicy Cash“. Ook hier is er een scenario waarbij je in 1 keer wint indien je meteen de hoofdprijs van 500.000€ koopt. Je winst is dan 499.995€ want een ticketje kost 5€. Jammer genoeg zal dit slechts in 1/1.000.000 van de keren voorvallen. Er zijn ook 999.999 mogelijke scenario’s waarbij je pas in de tweede beurt de hoofdprijs wint… enzovoort.

spicy

Je kan weer net zoals in het spel met de 5 dozen een schema opstellen met al de mogelijke scenario’s. Tot en met de laatste mogelijkheid waarbij je pas in de allerlaatste beurt het beste lot koopt. Je merkt dat dit enorm omslachtig zal zijn aangezien er in plaats van 5 dozen nu maar liefst 1.000.000 loten zijn…
Daarom heb ik dit voor jou berekent. In de post  “Eerlijke spelletjes en krasloten” zag je al een grafiek waarbij per krasspel kon zien hoeveel je ticket waard is per uitgegeven euro. Wanneer we voor dit spel nagaan hoeveel een ticket waard is zonder tactiek dan vinden we dat deze per uitgegeven euro ongeveer 0,658€ waard is.

lotto2

Op deze grafiek is dat de licht groene curve. Op de donker groene curve zie je hoeveel de besproken tactiek je kansen zal verbeteren. Voor sommige spelletjes merk je een kleine verandering. Voor het spel Spicy Cash zal deze tactiek het grootste verschil maken! De gemiddelde waarde van je ticket zal na het toepassen ervan namelijk van 0,658€ naar 0,758€ stijgen. Je ticket is dan gemiddeld dus een 15% in waarde gestegen of in dit geval zo een 10 cent.
Het spel waarbij het ticket nu de meeste waarde heeft is nu Subito XXL en niet langer Share&Play wat zonder de tactiek de beste bleek te zijn.

Merk op dat je nog steeds geen loet zal hebben waarbij de gemiddelde waarde per uitgegeven euro, maar is dan 100 cent. Je zal over het algemeen dus nog steeds verlies maken bij het spelen van dit soort spelletjes!

(indien je graag de volledige excel-lijst wil van de krasloten kan je altijd een mailtje sturen waaromwiskunde@hotmail.com)

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

limieten

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere