Mazelen, Ebola en Zombies

Ziektes zijn er in alle vormen en kleuren, de ene (jammer genoeg) al wat erger dan de andere. Sommige zijn niet levensbedreigend, andere dan weer wel. Sommige zijn te behandelen andere niet. Sommige zijn niet overdraagbaar, andere zijn dan weer zeer besmettelijk…Wat ons vandaag interesseert, is deze laatste categorie van besmettelijke ziekten.

Wiskundigen zoeken steeds naar patronen in data en/of naar wiskundige modellen om deze data te begrijpen en in het beste geval enkele conclusies te trekken en zelfs kleine voorspellingen te doen. Ook voor het geval van besmettelijke ziekten zijn er zulke modellen ontwikkeld. Het eerste, SIR-model zoals het heet, werd bedacht door Kermack en McKendrick en dateert al van 1927. In dit model staat de S voor Suspectable (vatbare groep mensen), de I voor Infected (besmette groep mensen) en de R voor Removed (verwijderde groep mensen). Met verwijdert bedoelen we dat deze groep mensen uit het systeem verwjderd worden, wat wil zeggen dat ze niet meer opnieuw ziek kunnen worden. Ofwel stierven de mensen aan de ziekte ofwel (nemen we voor dit basismodel aan) werden ze na genezing immuun zijn aan de ziekte. Het totale aantal mensen dat we in het hele systeem bekijken is N, met andere woorden: S + I + R = N.
Logischerwijze volgen de mensen de volgende stroom in het schema: ze zijn vatbaar -> worden ziek, -> genezen (en dus immuun) of sterven aan de ziekte:SIR

Merk op dat mensen dus enkel kunnen bewegen van groep S naar I of van I naar R, (niet in de andere richting). Wat nu heel belangrijk is van het model, en waar het grote verschil zit tussen verschillende ziektes is de snelheid waarmee mensen van groepen veranderen. De snelheid waarmee je van S naar I verplaatst geeft eigenlijk weer hoe snel je ziek wordt of besmet raakt. dit tempo waarbij vatbare mensen besmet worden met de ziekte noemen we de infectiekracht en zullen we verder voorstellen als: β (Griekse letter Beta). Bij zeer besmettelijke ziektes zal deze dus groot zijn.
We hebben een soortgelijke factor die de snelheid aangeeft waarbij we van groep I naar groep R bewegen, namelijk γ (Griekse letter Gamma). Dit is 1 gedeeld door de gemiddelde infectieperiode. Dat wil dus zeggen dat voor ziektes waar we snel van genezen (of overlijden) dat γ zeer groot is. Ziekten waar we langer mee worstelen alvorens we ervan genezen (of eraan overleden) zijn, zullen een kleinere waarde hebben voor γ.
Als we dit allemaal in een soep mengen vinden we onderstaande systeem van 3 forumules die aantonen hoe de aantallen van de verschillende groepen S, I en R zullen veranderen in de tijd:

SIR1

In deze formules zien we iets van de vorm dS/dt. Eenvoudig gesproken wil dit zeggen: “Hoe gedraagt S zich na enige verloop van tijd” (vandaar de kleine t van tijd in de formule). In de eerste formule zal de groep steeds kleiner worden (vandaar het negatieve teken). groep I zal langs de ene kant vergroten (mensen die vanuit groep S komen omdat ze ziek worden) en langs de andere kant verkleinen (mensen die genezen/sterven en dus van groep I naar R verhuizen). Groep R zal enkel toenemen met mensen die genezen (en dus immuun) of overleden zijn.

Nogmaals, dit is een zeer eenvoudig model! Het houdt enkel rekening met de snelheid waarmee we ziek worden, en hoelang we gemiddeld ziek zijn, en het gaat ervan uit dat eens genezen, je ook immuun bent. Je kan het model uitbreiden en bijvoorbeeld rekening houden met het geboorte en sterftecijfer (sterfte onafhankelijk van de ziekte). Rekening houden met het feit dat sommige mensen met immuniteit geboren worden, of preventief vaccinaties krijgen, zieken in quarantaine geplaatst worden… enzovoort.
Wat wel moet opvallen is dat β en γ,2 héél belangrijke indicatoren zijn bij het inschatten van een mogelijke epidemie van een ziekte! Daarom bundelen we ze in volgende formule waarbij we het Reproductiegetal berekenen: SIR2Dit Reproductiegetal geeft je een beetje een idee van hoe groot de kans op epidemieën zijn. Indien kleiner dan 1 zal de infectie uitsterven. Wanneer het reproductiegetal >1, dan kan de infectie zich verspreiden over de bevolking.

Ebola en de Mazelen

Nog niet zo lang geleden hoorde je veel over de ziekte Ebola die vooral in Guinea, Sierra Leone en Liberia slachtoffers eiste. Deze besmettelijke ziekte zaaide enkele weken paniek, omdat velen vreesde voor een wereldwijde epidemie. Vele studies werden gedaan om na te gaan hoe groot het gevaar van zulk een pandemie wel was. Hier vind je bijvoorbeeld een studie. Merk op dat hier gebruikt werd gemaakt van het SEIR-model. Soortgelijk aan ons SIR-model maar met een extra stap tussen de vatbare groep mensen, en de geïnfecteerde groep. Dit tussenstadion heet E voor Exposed, of de blootgestelde mensen. Maar zoals gezegd zijn vooral parameters β en γ van belang. Uit onderzoek blijkt dat de gemiddelde infectieduur ongeveer 5,61 dagen bedraagt en dus is γ=1/5,61. β blijkt afhankelijk te zijn van streek tot streek: β-Guinea=0,27, β-Sierra Leone=0,45 en β-Liberia=0,28. Zo kunnen we dus met bovenstaande formule het belangrijke reproductiegetal berekenen voor de verschillende streken. Voor Guinea, Sierra Leone en Liberia is dit dan respectievelijk 1,51; 2,53 en 1,59.

Telkens groter dan 1 en dus is er steeds een kans op het uitbreken van een epidemie. maar laten we dit een keer vergelijken met andere ziekten:

reproductiegetalZo zie je meteen dat bijvoorbeeld Mazelen een veel groter gevaar vormt in orde van besmettelijkeheid. Gemiddeld geeft een patiënt met Ebola de ziekte door aan 2 andere personen terwijl iemand met de mazelen zo een 24 mensen aansteekt. Natuurlijk zijn de gevolgen van Ebola wel veel ernstiger.

Zombies

Eens er zulk een wiskundig model opgesteld is, kan men deze trachten toe te passen op verschillende ziekten, maar ook op andere ‘besmettelijke’ begrippen. Zo is er bijvoorbeeld aan de hand van deze modellen onderzoek gedaan naar “populaire woorden”. Hoe het gebruik van zulke woorden doorgegeven word en hoelang het duurt vooraleer zo een hype uitsterft. Bijvoorbeeld het woord “Selfie” kan je met dit model gaan bekijken. Hoe aanstekelijk is het (β) en hoelang wordt het gebruikt door een persoon of groep vooraleer het woord minder in omgang is (γ)?
Een andere leuke studie die iets meer tegen de ziekten aanleunt is die van een uitbraak van Zombies. In deze studie bekijkt men verschillende scenario’s en schema’s waarbij men zoals in volgende voorbeeld rekening houd met een quarantaine zone (Q) en ook een groep mensen die gebeten werden en pas na 24 uur zombie zullen worden (I). Deze laatste groep komt een beetje overeen met de groep blootgestelde mensen van het SEIR-model. Waar we bij het SIR-model de I gebruikte voor geinfecteerde mensen, noemen we ditmaal de ‘zieke’ bevolking of dus de zombies, groep Z. Zoals je ziet kan het model aanzienlijk ingewikkijld worden indien we met meer factoren rekening willen houden.

zombies

Naast β en γ zie je nog verschillende parameters omdat er natuurlijk ook meer groepen zijn waartussen beweging mogelijk is. Het Griekse getal Pi in dit schema stelt het geboorte cijfer voor bijvoorbeeld. Deze parameters kan je indien je wil, halen uit boeken of films… Zo weet je uit de film “World-War Z” dat er bijvoorbeeld 12 seconden infectietijd nodig is om van een mens een zombie te maken. Uit “I am legend” of  “28-days later” haal je misschien weer andere informatie enzovoort…
Je kan iets soortgelijks opstellen om de groei van een vampieren-gemeenschap te voorspellen! Allemaal heel belangrijk moest een van deze dagen een zombie of vampier actief zijn…

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Advertisements

2 Comments

Filed under andere

2 responses to “Mazelen, Ebola en Zombies

  1. Jeroen Verheyen

    Als al de ziektes een Reproductiegetal hebben groter dan 1, waarom geraakt de hele wereld in werkelijkheid dan nooit besmet?

    • In het eenvoudige SIR-model wordt enkel gekeken naar wie ziek wordt en hoelang deze infectie duurt…
      Gelukkig spelen er in de reëele gevallen meer dingen mee. Bijvoorbeeld voor griep, die ook een zeer hoog reproductiegetal heeft, zijn velen ingeënt. Bij de ebola-uitbraak werden mensen in quarantaine geplaatst.
      Soms gaat het ook over kinderziekten die dus steeds slechts over 1 bepaalde generatie gaat. Sommige ziekten spreiden wel in dorpen of steden maar niet verder door bijvoorbeeld onbereikbaarheid vanwege natuurlijke grenzen (zeëen, bergen, …).
      Zonder deze bijkomende factoren zou een R0>1 steeds een epidemie veroorzaken.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s