Functies, Machines en de 2de ronde van Blokken

Eén van de meest gebruikte begrippen in heel de wiskunde zijn ‘functies’. We zoeken steeds zoveel mogelijk informatie over deze dingen. Hun domein, bereik, grafiek, tekenverloop, maxima, minima, … Van deze functies kunnen we blijven doorvragen en dat maakt het een typische oefening voor op de examens. Maar laten we eens heel basic bekijken wat een functie eigenlijk doet, wat enkele van deze begrippen zijn, en een toepassing ervan in het dagelijkse leven. Een functie geeft het verband weer tussen een verzameling mogelijke input en een andere verzameling met outputs. Je kan het dus eigenlijk voorstellen als een soort machine waarbij je iets langs 1 kant ingeeft: input. De machine verwerkt dit en stuurt iets anders naar buiten: output.

LAA022068

Bijvoorbeeld de input van een magnetron kan zijn: een diepgevroren pizza. Wanneer je het eten in ‘de machine’ steekt, zal deze hem opwarmen, en als output krijg je: een opgewarmde pizza. Je kunt een ijsje in de magnetron leggen als input. De machine zal deze laten smelten, en als output krijg je water. Enzovoort… Natuurlijk mag je niet alles in een magnetron steken! Bijvoorbeeld metaal is uit den boze. Het spreekt voor zich maar ook levende wezens zijn niet geschikt om in een magnetron te steken… De verzameling van alles wat we wél in deze machine mogen steken, of dus de verzameling van mogelijke inputs  heet het ”DOMEIN”. Nadat de machine gewerkt heeft kan er zoals we al zeiden een pizza of water weer uitkomen… De verzameling van mogelijke outputs zullen we de naam “BEREIK” geven.

En zo kan je voor alle machines die je kent, bepalen wat je erin kan steken en er mogelijk ook weer uit zal komen… Ook voor wiskundige machines of dus de functies is dit zo het geval. Neem bijvoorbeeld de functie y = x².

mach1

Wat is het domein, of wat mogen we dus allemaal in deze machine steken? Wel we kunnen van elk getal een kwadraat nemen dus het domein zal de hele verzameling getallen zijn. De output zal echter steeds positief zijn dus het bereik is de verzameling van alle positieve getallen (we denken even de imaginaire getallen weg). Neem nu volgende machine:

mach2

Aangezien we enkel een vierkantswortel mogen nemen van positieve getallen, mogen we dus enkel getallen groter of gelijk aan 0 in de machine steken. Het domein is daarom ook de verzameling van alle getallen groter dan, of gelijk aan 0. In dit geval zal het bereik opnieuw de verzameling van alle getallen zijn. (wederom de imaginaire getallen buiten beschouwing gelaten).
Andere machines vragen om meer input. In een printer moeten we bijvoorbeeld naast papier ook zwarte en gekleurde inkt in de machine steken. Deze worden samen gebruikt om bijvoorbeeld een tekening uit te printen. Zo zijn er ook functies die om meer input vragen:

mach3

Laten we om een voorbeeld van functies uit te leggen, even naar het televisiespel BLOKKEN van de zender “één” kijken. Dit spel is opgebouwd uit 3 ronden én een finalespel, maar we zullen voor dit voorbeeld enkel kijken naar de 2de ronde, waar de spelers 5 dezelfde vragen worden voorgeschoteld. Bij een juist antwoord winnen de spelers 10 punten én 1,2,3,4 of 5 Tetris-blokjes waarmee ze lijnen kunnen vormen (in een tetrisspel) die telkens 50 punten waard zijn. Host Ben Crabbé hield lang vol dat de maximale score tijdens deze ronde 300 punten was, omdat na 18 jaar BLOKKEN-geschiedenis, nog nooit iemand de kaap van de 300 had kunnen overschrijden. Laten we even kijken of we een functie (machine) kunnen opstellen die de échte maximale score berekent.

blok_3500_ben_464

De functie zal een machine zijn waarbij de y-waarde, of dus hetgeen de machine produceert, de score is. Wat geven we in de machine in? Twee ingrediënten zijnde het aantal juiste antwoorden: a, én het aantal gewonnen blokjes: b. Aangezien een juist antwoord 10 punten waard is, ziet de score-formule (zonder rekening te houden met de blokjes en mogelijke lijnen) er zo uit:10a

Het deel van de score die afhangt van het aantal gewonnen blokjes is een klein beetje ingewikkelder.  Zoals je misschien wel weet, is elk Tetris blokje, onafhankelijk van zijn vorm, opgebouwd uit 4 kleine vierkantjes. Een lijn ter waarde van 50 punten, maak je wanneer je 10 van deze kleine vierkantjes naast elkaar kan puzzelen. Het deel dat we nog aan de formule moeten toevoegen is dus: aantal blokjes maal 4 (elke blok bestaat uit 4 vierkanten) gedeeld door 10 (10 vierkantjes per lijn) maal 50 (50 punten per lijn). We verkrijgen dus:

10a41050bOf herschreven:

10a20bEr zijn maximaal 5 vragen juist te beantwoorden, en 15 blokjes te winnen. Daarom vullen we in deze functie of ‘machine’ dus volgende input in: a=5 en b=15. Als we dan de machine zijn werk laten doen (in dit geval het uitwerken van de wiskundige bewerkingen) geeft deze als output y = 350.

350Let wel, deze formule berekent de maximaal te halen scoren. We gaan er dus van uit dat de speler ook wel degelijk goed kan puzzelen met de 15 gekregen blokken en zo 6 volledige lijnen bij elkaar speelt. Enkele jaren geleden (op 13 oktober 2011) slaagde kandidaat Patrick Vanhoof erin om deze maximale score te behalen. Ben is ondertussen dus al lang overtuigd maar bij deze is het dan ook wiskundig vastgelegd.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Advertisements

1 Comment

Filed under andere

One response to “Functies, Machines en de 2de ronde van Blokken

  1. Like! Verfrissende, interessante en bij de tijdse toepassing, Tom! Ik ben fan 🙂

Leave a Reply to tanjabex Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s