Monthly Archives: November 2015

wiskunde = efficiëntie (2) Morsecode

De meesten kennen wel het idee van Morsecode. Het is een code waarbij elke letter van het alfabet wordt voorgesteld door streepjes en/of puntjes. Het werd ontwikkeld om via een telegraaf te kunnen communiceren. Met dit toestel kon je kleine stroomstootjes doorsturen en zo een lange boodschap doorseinen. Korte stroomstootjes waren gelijk aan puntjes en de iets langere waren streepjes. Ook de tijd die je tussen de stroomstootjes liet was van belang. Zo maakte je duidelijk of je een spatie liet tussen tekens, letters of woorden.

morsetiming In de rest van de tekst zal ik het hebben over “tellen”. Een punt is één tel, net zoals een spatie tussen tekens. Een spatie tussen letters duurt 3 tellen, net zoals een lange stroomstoot die een streep voorstellt ook 3 tellen duurt. Spaties tussen woorden zijn 7 tellen lang.
Hieronder zie je het volledige alfabet in streepjes en puntjes zoals Samuel Morse ze ontwikkeld heeft. Merk op dat ook cijfers en zelfs leestekens zoals :,./ een Morse variant hadden:
morse

Maar waarom wordt een “E” voorgesteld door een “.”? En waarom wordt een B juist voorgesteld als “-…”? Wel dit heeft allemaal te maken met de tijd die het in beslag neemt om de letters door te sturen. Zoals je in de eerste afbeelding kan zien duurt het verzenden van een streepje 3 keer zolang dan het verzenden van een punt. Het doorseinen van letters die worden voorgesteld door meerdere tekens met vooral streepjes zoals bijvoorbeeld O (—), Q (–.-) of J (.—), zullen dus meer tijd in beslag nemen dan letters voorgesteld door weinig tekens met vooral punten: E (.), I (..) of S (…).
Samuel Morse, de bedenker van de code, was zich hiervan bewust en besloot zijn taal zo efficiënt mogelijk te maken. Zo besloot hij de meest gebruikte letters een korte code mee te geven, en de letters die zelden voorkomen de meer omslachtige vertalingen te geven… Maar heeft Samuel dit wel juist gedaan? Hieronder zie je het alfabet geordend volgens frequentie in de Engelse taal. Er staat ook telkens bij hoeveel tellen het duurt om de letters te ‘typen’.

engels nu
Het valt je misschien meteen op dat zijn model niet helemaal optimaal is. Om de letter “O”, die op nummer 4 staat van meest frequent gebruikt in het Engels, te versturen had je 11 tellen nodig (namelijk 3 keer 3 tellen voor de drie streepjes + 2 keer een spatie van 1 tel tussen de streepjes in). Voor letters “U” en “M” heb je er bijvoorbeeld slechts “7” nodig, ook al gebruik je deze duidelijk minder regelmatig dan de klinker “O”.
Letters “B”, “V”, en “K” komen alle drie minder voor dan de letter “Y” en toch duurt het langer om deze laatste te verzenden…  Het kan dus beter.
Je kan het systeem optimaliseren door eerst de tijdsduur van alle morse letters van klein naar groot op te lijsten, en ze dan naast de frequentielijst te leggen:
engels beter

Op deze manier krijg je de beste (lees snelste) Morsecode die er bestaat. Als je het vergelijkt op een tekst van 1.000 letters zal je merken dat in het originele Morsesysteem, een letter gemiddeld 6,107 tellen duurt, terwijl dit in het nieuwe systeem gemiddeld slechts 5,715 tellen is.
Er was dus duidelijk wel wat ruimte voor verbetering!

Gelukkig voor ons Vlamingen/Nederlandstaligen is het (voor Engelsen niet zo optimale) originele systeem niet zo slecht wanneer we in het nederlands teksten willen versturen. Dan gebruiken we slechts 5,674 tellen per letter! Dit omdat we een andere taal gebruiken en dus een andere frequentietabel hebben. Dat wil zeggen dat in het Nederlands de volgorde van meest gebruikte letters er anders zal uitzien dan die van andere talen. Zo is bij ons ook de “E” de meestgebruikte maar op nummer 2 staat de letter “N” en niet de “T” zoals in het Engels. In het Nederlands zal de optimale Morsecode er dus ook anders uitzien, namelijk als volgt:
Nederlands beter

Met als resultaat dat een tekst typen slechts 5,34 tellen per letter zal duren.
Grote verschillen zijn het niet maar als je uitrekent hoeveel berichten er over de jaren heen verzonden zijn zal je aanzienlijk veel tijd gewonnen hebben met het betere systeem… en Time is Money!

 

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere

wiskunde = efficiëntie (1) geld

Laten we even van het volgende uitgaan. De Euro wordt her-ontworpen en alle munten en biljetten moeten opnieuw gedrukt worden. We kunnen verdergaan met het systeem dat we nu hebben en opnieuw dezelfde waarden van 0,01€; 0,02€; 0,05€; 0,1€; 0,2€; 0,5€; 1€; 2€; 5€; 10€; 20€; 50€; 100€; 200€ en 500€ gebruiken….
Of van de gelegenheid gebruik maken om het hele systeem te vernieuwen en nieuwe waarden drukken. Misschien zijn er meer efficiënte of interessante mogelijkheden.
euro Stel dat we van elke munt en biljet (van het huidige systeem) 1 exemplaar in onze geldbeugel zitten. Met deze 8 munten en 7 biljetten hebben we 888,88 euro op zak. We wandelen een winkel binnen om bijvoorbeeld een geschenkbon te kopen, maar de uitbater waarschuwt ons dat hij geen wisselgeld heeft en dat we dus gepast moeten betalen. Dit brengt ons in een lastige situatie want nu kunnen we niet meer gelijk welk bedrag kiezen om op de geschenkbon te zetten.
Een bon van 16 € is bijvoorbeeld wel mogelijk want we kunnen gepast betalen met onze munt van 1€, biljet van 5€ en biljet van 10€. Als we gierig zijn kunnen we ook een bon van 55 cent geven door te betalen met munten 0,5€ en 0,05€.
Maar wat nu als we een bon van 40€ of 99€ willen kopen. Dit is onmogelijk als we slecht 1 exemplaar van elke waarde hebben.
gifts
Kunnen we berekenen hoe ‘slecht’ het systeem is? Tuurlijk.
Hoeveel mogelijke combinaties zijn er te maken met onze originele euro’s? Laten we dit even nagaan. Met 1 munt van 0,01€ kan je twee bedragen maken, namelijk 0 € en 0,01 €. Met de 2 kleinste munten maken we 4 mogelijke bedragen: 0€; 0,01€; 0,02€ of als we ze samen leggen 0,03. Met de laagste 3 munten kunnen we 8 mogelijke bedragen combineren, met 4 munten maken we er  16… Misschien zie je het verband al. Met x munten maken we 2x mogelijke waarden.
In ons geval hebben we 15 munten/biljetten en dus zijn er 215 of 32.768 mogelijkheden. Het kleinste bedrag is natuurlijk 0,00€ en het grootste is 888,88€. Van het kleinste tot grootste zijn er dus 88.889 bedragen waarvan we er met onze 15 munten/biljetten dus slechts 32.768 kunnen maken. Met andere woorden slechts 36,86% van de cadeaubonnen gaande van 0€ tot 888,88€ kunnen we kopen door exact te betalen.
paidEen eerste manier om dit systeem te verbeteren is als door sommige munten meer dan 1 keer in onze portefeuille te steken. Wanneer we 0,01€, 0,1€, 1€, 10€ en 100€ dubbel op zak hebben kunnen we wel 100% van de bedragen tussen van 0€ tot en met 888,88€ maken. Goed, toch?
Ja, maar we hebben nu wel 20 muntstukken/biljetten nodig. Dat is inderdaad niet veel als je kijkt wat ermee te maken is, maar het kan beter.

Wat als we nu een volledig andere verzameling van munten/biljetten gebruiken. Bijvoorbeeld: 0,01€; 0,02€; 0,04€; 0,08€; 0,16€; 0,32€; 0,64€; 1,28€; 2,56€; 5,12€; 10,24€; 20,48€; 40,96€; 81,92€; 163,84€; 327,68€ en 655,36€ of met andere woorden, alle mogelijke waarden zijn machten van 2. Als je het nagaat zal je merken dat we met deze (slechts 17 munten/biljetten ten opzichte van de 20 hierboven) ook alle bedragen tot 888,88€ kunnen combineren.
Meer zelfs! Met deze kunnen we zelfs alle bedragen tot 1310,71€ exact vormen. We hebben dus 3 munten minder nodig en hebben een groter bereik dan het bovenstaande (reeds verbeterde) systeem.
press
Met andere woorden, … Als het internationaal monetair fonds dit leest… ,indien er een nieuw systeem komt laat het dan het 17-delige 0,01€; 0,02€; 0,04€; 0,08€; … systeem zijn.
DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere

Racisme even wiskundig op zijn plaats zetten

Even een relevante en toch dringende post.
Iedereen laat tegenwoordig zijn stem horen over wat er allemaal gebeurt in de wereld. De ene al wat doordachter dan de andere. De andere al wat racistischer dan de ene. Waar ik een beetje goed in ben, is wat rekenen en ik dacht: laat ik even wiskundig bewijzen dat diegene die zeggen dat alle moslims ook IS-strijders zijn, mentaal gehandicapt zijn:

De laatste tijd hoor ik het (jammer genoeg) meer en meer. Mensen die vol afkeer, vanwege wat onder andere laatst in Frankrijk gebeurde, alle moslims over dezelfde kam scheren. Deze mensen hebben in het beste geval geen enkel idee van wat er echt gebeurt of zijn gewoon niet capabel om in beeld te brengen wat er echt gaande is.

keep-calm-and-no-racism-13

“Alles moslims zitten bij den IS!”
Soms horen we het niet zo letterlijk maar zo worden de aanhangers van de Islam soms wel in hetzelfde, niet zo sympathieke hokje geduwd.
Wel er zijn zo een 1,6 miljard moslims op de aarde en volgens schattingen is het leger van IS tussen de 53.000 en 258.000 mensen groot. Zelfs als we van het slechtste uitgaan (258.000) dan is dit slechts een percentage van 0,016 procent van alle moslims! Even ter vergelijking in ons land van 11 miljoen inwoners zitten er 30.000 personen in het leger of zo een 0,273 procent!

Stel dat iemand de vrouwen dan nog vergeeft en het milder meent met “Alle mannelijke moslims zitten bij den IS!”. Wel onder moslims zijn er net iets meer mannen dan vrouwen. Voor elke 1000 mannen zijn er 951 vrouwen (cijfers van 2011 maar de verhouding man/vrouw verlaagt er steeds). Omgerekend wil dit zeggen dat er ongeveer 820.100.000 mannelijke zijn (steeds afgerond in het voordeel van diegene die de belachelijke bewering maakt). weer uitgaande van het negatieve cijfer van 258.000 IS-strijders, berekenen we dus dat slechts 0,032% van de moslims zich bij aansloot.
Indien u dus beweert dat ze allemaal hetzelfde zijn, beweert u dus ook dat we die 0,032% mogen afronden naar 100%.

Laat mij dan even het volgende doen met het volgende:
tabel
Dit is een tabel met de de standaard gelijkverdeling van gemiddelde IQ-waarden. Zoals sommigen misschien kunnen aflezen uit deze tabel, vinden we wanneer we zoeken naar de 0,032% domste mensen van de planeet, dat hun IQ ten hoogste 46 is. Wederom zo afgerond dat het de dommerik het beste uitkomt. Om u een idee te geven: mensen met een IQ tussen de 30 en 50 zijn mensen met een verstandelijke leeftijd tussen de 3 en 6 jaar.
Indien u 0,032% dus afrondt naar 100% dan hoort u ook bij deze groep mensen met mentale handicap en verstandelijke leeftijd tussen de 3 en 6 jaar!

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

peace.png

Leave a comment

Filed under andere