Category Archives: Info voor leerkrachten en scholen

Stelsels van vergelijkingen… op een leuke manier

Nu het schooljaar nog maar net bezig is zullen we proberen leuk te starten… met nog maar eens een spelletje bijvoorbeeld. Eentje dat bijna iedereen wel zal kennen trouwens. Iedereen heeft namelijk al wel eens een potje mijnveger gespeeld.

Je krijgt de taak om een gebied in de zee (de meeste versies spelen zich af op water) te vrijwaren van gevaarlijke bommen. Jou werkgebied is opgedeeld als een rooster van vakjes. De omvang van dit rooster is meestal recht evenredig met het aantal mijnen die erin verborgen zitten. Wanneer de vakjes in dit rasterwerk aangeklikt worden kom je te weten of hier mijnen verborgen zitten of niet. Zoja, dan ontploft het gevaarte meteen en is je spel meteen afgelopen. Indien er geen mijn verborgen zit achter het aangeklikte vak, dan krijg je een cijfer te zien gaande van 0 tot en met 8. Dit getal geeft aan hoeveel rakende vakken wel een mijn bezitten. Rakende vakjes zijn de 4 buren links, rechts, boven en onder, maar ook de 4 diagonale rakende rasters. Wanneer je een plek selecteert met waarde 0, of dus een plaats waarrond zich geen enkele mijn bevind, dan zullen ook deze aanliggende vakken als ‘aangeklikt’ beschouwd worden en hun achterliggende waarde bekend maken. Deze getallen en het totaal aantal te ontmijnen bommen, zijn ook meteen de enige aanwijzingen die je zal kunnen gebruiken om te reduceren waar de bommen zich bevinden. Wel,… deze cijfers en een klein beetje wiskunde dan. meer bepaald. Je kan deze aangeklikte gegevens namelijk in verrassend eenvoudige vergelijkingen gieten die je een aardig stuk verder kunnen helpen bij het ontmijnen van de rest van de zee. En ik schrijf hier inderdaad dat de vergelijkingen je kunnen helpen. Omwille van de natuur van het speelveld zal de wiskunde van deze vergelijkingen niet altijd een waterdichte oplossing geven. Maar later meer hierover.         

Neem de volgende situatie waarbij de speler, in een speelveld van 9 bij 8 vakken, tweemaal een vierkantje aanvinkte. Bij zijn eerste gok vergaarde de speler weinig info. Hij kreeg een “1” (linksboven op de kaart)te zien en weet dat er achter één van de acht rakende vakken een explosief verdoken zit. Met deze informatie is de speler verder niets en hij moet dus noodgedwongen opnieuw een gokje wagen. Voor zijn tweede poging waagt hij een kans in een hoek helemaal rechts bovenaan. Opnieuw geen bom en deze keer raakte hij een vak met waarde “0”. Zoals gezegd krijg je dan alle waarden van de rakende vakken te zien. Ook deze zijn toevallig “0” en daarom worden op hun beurt ook de getallen achter de buren van deze vakjes geopenbaard.

Het werkveld van de speler zit er op dit moment als volgt uit

 eenVeel blauw, tot nog toe geen mijnen, en 12 gegevens om mee verder te werken. Van het ‘eilandje’ rechts bovenaan krijgen we veel informatie en daarom is het geen slechte idee om daar te starten met het opstellen van vergelijkingen. Omdat we de 13 vakjes die aan dit eiland raken willen gaan onderzoeken, zullen we ze eerst allemaal een naam moeten geven. Misschien wat inspiratieloos noemen we ze x1, x2, … x12 en x13. Het is nu aan jou als speler om te achterhalen welk getal elke onbekende is. Zulk een onbekende x is ofwel gelijk aan 1, in dit geval zit er een mijn achter het desbetreffende vakje. Anders is de x gelijk aan 0. (De tak van de algebra wiskunde waarbij de variabelen 0 of 1 zijn, heet Booleaanse algebra). Hoe stellen we de vergelijkingen op? We weten dat onder de vakjes die een getal raken evenveel mijnen moeten zitten als de waarde aangeeft. Elke vergelijking zal dus niets meer dan een som van nullen en éénen zijn met als uitkomst het getal van ons gegeven. Voor ons stukje landkaart geeft dit de volgende twaalf vergelijkingen.

twee

  drie

De eerste 2 vergelijkingen zijn identiek en één van deze twee zal geen nieuwe informatie geven voor het oplossen van het stelsel. Uit vergelijking (3) weten we dat x2 gelijk is aan 1. Wanneer we dit invullen in vergelijking (2) leren we dat x1=0. We kunnen x2=1 ook invullen in (4) en daaruit volgt dat ook x3=0.

Aangezien alle x-waarden gelijk zijn aan 0 of 1 kunnen we uit vergelijking (11) concluderen dat zowel x12=1 en x13=1 gelijk zijn aan 1. Als we deze waarden in vergelijking (10) steken vinden we x11=0. Deze uitkomst kunnen we op zijn beurt samen met x12 invullen in vergelijking (9) om x10 te vinden, namelijk x10=1. Op analoge manier vinden we via (8) dat x9=0. Nu rest ons nog vergelijkingen (5), (6), (7) en (12) om de nog overgebleven x4, x5, x6, x7 en x8 te vinden.

vier

Uit (12) weten we nu dat x4 en x5 niet beide gelijk aan 1 kunnen zijn want dan zou er staan 1 ≥ 2 wat nergens op slaagt natuurlijk. Ofwel zijn ze dus beide gelijk aan 0, of slechts één van de twee onbekenden stelt een bom voor en is dus gelijk aan 1.

Als we er even van uitgaan dat ze beide gelijk zijn aan 0 en dit invullen in vergelijking (5) bekomen we 3 = 1 + 0 + 0 + x6. om deze gelijkheid te doen slagen moet x6 gelijk zijn aan 2. Maar we weten reeds dat x6 enkel waarden 0 of 1 kan aannemen. De veronderstelling dat beide x4 en x5 nul zijn is dus fout. Het moet dus zijn dat exact één van deze twee onbekende gelijk is aan 0 en de andere gelijk aan 1. Vergelijking (5) kan er dus uitzien als 3 = 1 + 0 + 1 + x6 of 3 = 0 + 1 + 0 + x6. Welke het ook zal zijn, we kunnen steeds concluderen dat x6=1. Deze informatie zullen we invullen in (7). Hier staat nu 2 = 1 + x7 + x8 + 1. Ondertussen zou je nu al snel zelf moeten zien dat daarom x7=0 én x8=0. Wanneer x6 en x7 ingevuld worden in vergelijking (6) komen we ook x5 te weten, namelijk x5=0. Aangezien exact één van x4 of x5 gelijk was aan 1, en we nu weten dat dit niet x5 is hebben we uiteindelijk de laatste onbekende x4=0.Als speler weet je nu met mathematische zekerheid welke, van deze 13 onbekenden, je kan aanvinken als mijnen en welke je kan aanklikken om nieuwe aanwijzingen te winnen om verdere mijnen op te sporen.

 Spelers die het spel dikwijls spelen zullen zeggen dat deze ‘wiskundige omweg’ nog nooit gebruikte om een spel te winnen. Ook als ik zelf het spelletje opstart heb ik nooit pen en papier naast me liggen om stelsels vergelijkingen te gaan neerschrijven. Maar eigenlijk is dit wel wat we doen in ons hoofd. Men denkt dan misschien niet meteen aan x’en, gelijkheden en bewijsvoeringen, het logische denkproces om de locaties van de mijnen te vinden is eigenlijk exact dezelfde. Bij mijnveger moet je soms, en dit zal ook jij indien je het spel ook enkele keren uitprobeerde kunnen beamen, moet je ook tijdens het spel soms een gokje wagen. Dit kan zijn omdat je reeds gevonden gegevens al gebruikt hebt en moet gaan zoeken naar nieuwe data door in het wilde weg een vakje aan te vinken. Maar wat pas echt frustrerend kan zijn bij dit spelletjes is het feit dat je zelfs aan alle bestaande gegevens niet genoeg hebt!

 nog

Bovenstaande grid heeft bijvoorbeeld dit probleem. We zijn bijna klaar met het ontmijnen van het hele gebied, op twee vakjes na zit onze klus er op. Van de 10 mijnen die verspreid zitten in dit gebied hebben we al van 9 bommen de locatie achterhaald die we markeerden met evenveel vlaggen. De 2 plaatsen waar zich de laatste mijn zich nog kan verschuilen, liggen links bovenaan het speelveld. Voor deze laatste mijn te vinden hebben we nog 2 aanwijzingen die gebruikt kunnen worden, namelijk de vakjes met waarden “1” en “3”. Als we deze net zo gebruiken als in de oefening hiervoor krijgen we het volgende stelsel:      
vijfNa een eerste blik op dit stelsels valt je misschien niet meteen iets vreemds op, maar als je de getallen een klein beetje verschuift zal je merken dat beide vergelijkingen (1) en (2) eigenlijk identiek zijn. Je kunt namelijk bij vergelijking (1) zowel het linker- als het rechterlid met 2 vermeerderen, of dus:

zes

Na deze stap valt meteen op dat vergelijking (2) inderdaad niets meer is dan (1). We kunnen de tweede gelijkheid dus weglaten aangezien ze ons geen informatie kan geven die we niet uit (1) kunnen concluderen. De enige wiskundige aanwijzing is dus 1 = x1 + x2
Hoe lang we ook naar deze formule staren, heel wijs gaan we er niet uit worden. Het enige dat we uit (1) kunnen besluiten is dat x1 en x2 niet samen 0 of 1 kunnen zijn. Want ofwel is 1 = 1+0 ofwel 0+1. Maar dit wisten we eigenlijk al.

In dit geval is het erop of eronder, je laatste gok zal bepalen of je het hele spel wint of verliest, en wiskunde zal hier niets aan veranderen.  Dit laatste kan wel eens erg frustrerend zijn wanneer na enkele minuten spelen het spel afhangt van een gelukstreffertje. Ook het feit dat je al bij aanvang van het spel in het wilde weg moet gokken en hopen dat je openingszet niet meteen een mijn is, verveelt soms. Om deze twee redenen hebben al vele spelontwikkelaars het game opnieuw geprogrammeerd of geüpdatet om de geluksfactor tot het minimum te herleiden.

Leraars en Leraressen kunnen dit spel dus misschien wel gebruiken om stelsels van vergelijkingen aan de van dit spel aan te laren. De leerlingen hebben meestal een intuïtieve manier om het spel op te lossen en kunnen zo makkelijker de wiskunde erachter volgen. Voor de vlijtige leerlingen kan je ook een andere cijferpuzzel gebruiken in je lessen. Want ook Kakuro puzzels zijn aan de hand van soortgelijke stelsels op te lossen.

zeven
acht

Op deze manier kan je getallen in jou voordeel gebruiken wanneer je puzzels oplost

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, Info voor leerkrachten en scholen

een doos, enkele kogels en veeltermen…

Wiskundigen zijn volgens vele, mensen die het graag moeilijk en lastig maken terwijl er eigenlijk zelfs geen probleem is… Maar hoe vaker je aan wiskunde doet, hoe meer je zal merken dat wiskundigen juist lui zijn en het zichzelf zo makkelijk mogelijk trachten te maken. Dit doen we door moeilijke problemen die lastig op te lossen zijn, op te delen in kleinere meer handelbare taken. Een perfect voorbeeld hiervan zijn de veeltermen.
Laten we eerst enkele veel gebruikte “eenvoudigere toepassingen” zien.
200195865-001
Een belangrijke parameter van een veelterm is zijn graad, ofwel, welke is de hoogst macht van de onbekende…
x² + 3x – 5 is een veelterm van 2de graad want x wordt maximaal tot de tweede macht verhoffen. Zo is x³-5x een veelterm van derde graad, x15+x7-4x6 + π heeft graad 15, enz…
De meesten zullen al wel in contact gekomen zijn met 2de graads vergelijkingen dus laten we daar een veelvoorkomend applicatie van bekijken.

De functie die we gebruiken in verband met afstand, snelheid en acceleratie (versnelling) is een tweede graads vergelijking. In deze (zie onderstaande functie) veelterm van graad 2 is t de onbekende. X0 is het beginpunt, v0 is de beginsnelheid en a is de versnelling. Met deze handige functie kunnen we in fysica en mechanica een enorm stuk ver geraken. Beginnende met eenvoudige oefeningen zoals als een trein Antwerpen (= X0) voorbijrijdt  tegen 100km/h (= v0) en hij versnelt gemiddeld met 1km/h² (= a0), hoever is deze dan na een half uur (= t), of na 2 uur…?
Het lijkt een banale toepassing maar sla de krant maar eens open en je staat verstelt hoeveel klachten de NMBS ontvangt wegens treinen die te laat zijn!
speed
Boeiender kan je het maken wanneer je weet dat ook versnelling en snelheid van bijvoorbeeld kogels hiermee berekend worden, waardoor we dan weer de afstand van schutter tot slachtoffer kunnen vinden en zo de dader kunnen opsporen. Maar dit geldt ook voor raketten, en dat mag je zelfs zeer ruim interpreteren tot en met maanraketten en dergelijke. Inderdaad, vandaag leer jij op school wat astronauten op de maan helpt brengen.
imagesCAB74OY7
Een veelterm van graad 3 komt van pas als we in drie dimensies gaan werken (merk op dat vorige toepassingen zich in 2 dimensies afspelen en dus een veelterm van graad 2 hebben). Neem bijvoorbeeld het eenvoudige voorbeeld van een doos die je wil maken. Je weet dat de doos 2 cm hoger moet zijn dan ze breed is, en nog eens 2 centimeter meer in de diepte. Het volume van je doos moet 48 worden… hoe breed is je doos? … wel het volume is breedte x hoogte x diepte. Stel dat B de breedte is dan hebben we: B x (B+2) x (B+4) = B³ + 6B² + 4B = 48   Voila een veelterm van graad 3. We hadden een vrij makkelijke vraag (gegeven het volume wat is de lengte) en toch komen we al snel aan een veelterm van graad 3.  Ook dit probleem kan je weer uitbreiden, denk maar aan gelijk welk probleem waar volumes in voorkomen: wegpompen van water, opslaan van grote hoeveelheden in opslagplaatsen, vullen van brandstoftanks (ja, ook die van raketten),…
IMG_9172_JPG
Waarom wiskundige zo graag met deze veeltermen werken is omdat ze enkel de basisoperaties omvatten, plus maal en machten. Maar natuurlijk zullen we problemen tegenkomen met moeilijkere bewerkingen zoals sinussen, cosinussen, logaritmen, of gekke dingen zoals eX (Wie komt deze functies tegen??? Ontzettend veel mensen eigenlijk, wegenbouwers, landmeters, economen, ontwerpers van allerlei zoals monumenten tot zelfs rollercoasters……..)

Wel daar komt de gemakzucht van een wiskundigen naar boven. We vervangen deze moeilijkere functies gewoon in diegene waar we graag en makkelijk mee kunnen werken… de simpele veeltermen. Het addertje onder het gras is wel dat deze veeltermen een oneindig hoge graad hebben… (Je moet ze natuurlijk niet oneindig lang opschrijven, je stop gewoon tot je tevreden bent met de nauwkeurigheid. Een beetje zoals bij het getal π, daar blijf je ook niet steeds alle getallen na de komma opschrijven!) Bijvoorbeeld:

Sin (x) = x – (1/6) x³ + (1/120) x5 – (1/5040) x7 + …
Cos (x) = 1 – (1/2) x² + (1/24) x4 – (1/720) x8 + …
ex =  1 + x + (1/2) x² + (1/6) x³ + (1/24) x4 +…

Hoe je dit vervangt zal je leren (of misschien ken je dit reeds) wanneer je leert over Taylor reeksen. Op het eerste zicht lijkt het een beetje willekeurig en moeilijk maar eigenlijk is het slechts 1 regel die je leert hoe je een functie in zulk oneindige veelterm te veranderen.
Velen griezelen bij woorden zoals sinus en logaritmen en voor hen is het dus een troost dat je deze moeilijke functies kan vereenvoudigen in die eenvoudige veeltermen waar je al snel eenvoudig mee kan rekenen omdat deze slechts bestaan uit basisbewerkingen (+, x en machten).

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

NIEUWE SCHOOLJAAR (waarom leer ik wiskunde op school?)

Voor velen van jullie is het alweer zover… je zit terug op de schoolbanken.
Frans, Nederlands, Aardrijkskunde, Geschiedenis,… en voor velen het minst favoriete, Wiskunde.

Waarom leren we dat het getal PI niet als een breuk geschreven kan worden???
Als 2x² + 5x -1 = 41 … dan is x = 3,5 … Wanneer zal ik dit gebruiken in het dagelijkse leven???
Wat maakt het uit dat een functie stijgend of dalend is, en waarom is het nuttig dat ik weet hoe ik een functie moet afleiden???
???

Zo kan ik wel nog even doorgaan, en misschien zit je zelf wel met enkele van deze of soortgelijke vragen.
Wel, in dat geval stuur je ze maar door naar waaromwiskunde@hotmail.com .
Ik zal laten zien dat voor elk, op het eerste zicht nutteloos, concept of onderwerp waarover je in wiskunde leert,
echt wel een nuttige, leuke, verrassende of veelgebruikte toepassing is.

Alle vragen of opmerkingen zijn welkom!
waaromwiskunde@hotmail.com

Leave a comment

Filed under andere, experiment in 3 stappen, Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, wiskunde in de natuur, wiskunde in het casino, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

Proeflessen

Ik heb bij wijze van try-out de les al voor een 1ste en 2de jaar in een campus van de sint-norbertusschool. Hier heb ik de reacties van het 2de jaar die ik per mail van de lerares van deze groep doorgemaild kreeg.

(de reacties van de andere klas kreeg ik schriftelijk van de leerlingen zelf en leunen zeer sterk aan bij deze van de mail)

Tom, 
Bij deze het verslag van de lln...
7/10 - 4 lln
8/10 - 10 lln
9/10 - 4 lln
- interessant en boeiend (bijna iedereen)
- soms een beetje saai (2 lln)
- trukjes waren 'megagaaf' (bijna iedereen)
- iets luider praten volgende keer, ik kon niet alles goed horen (5lln)
- ik zou nog iets meer willen weten over de verschillende onderdelen van wiskunde (1lln)
- soms een beetje te moeilijk (2 lln)
- tip: iets enthousiaster zijn, u bent precies wat verlegen (4 lln)
- sommige woorden begreep ik niet (3 lln)
- zeer mooie presentatie (2 lln)
- u mag uzelf beter voorstellen (4lln)
- ik vond de priemgetallen het leukste (2 lln)
Nog enkele citaten:
- Poolse jongen: 'wist u dat diegene die de enigmacode heeft gekraakt een pool was? Dat kan u volgende keer misschien zeggen.. :-)'
- het was niet moeilijk en als iets toch moeilijk was vroeg hij of we het snapten. Als we het niet begrepen dan legde hij het uit.
- leukste wiskundeles ooit (sorry mevr. xxxxx, u doet dat ook goed)
- powerpointding was wel graaf
- ik zou wel willen dat hij nog een keer komt

Leave a comment

Filed under Info voor leerkrachten en scholen

Waarom Wiskunde

 

 

 

Image


Beste leraars en leerlingen,

graag stel ik u mijn project voor om wiskunde boeiender te maken voor leerlingen.



idee:
Leerlingen hebben over het algemeen de indruk dat wiskunde saai, nutteloos, overbodig, moeilijk,… is. Maar de wiskunde die we op school zien is dikwijls slechts de top van de ijsberg. Er zijn onnoemelijk veel interessante, nuttige en vaak verrassend leuke toepassingen van eerstegraads-niveau wiskunde. Met dit project wil ik voor de leerlingen deze wereld van leuke wiskunde openen en ze warm maken voor een wiskundig keuze richting. Deze worden namelijk door de voorgaande redenen snel opzijgeschoven waardoor ze veel te weinig gekozen worden.


doelpubliek:

aangezien ik vooral mensen wil aansturen meer wiskunde te gaan studeren, richt ik mijn pijlen op eerstegraads-studenten die voor

de keuze van een studierichting staan.
Contact info:
waarom wiskunde
btw-nr.: 0523.962.524.
Giedts Tom
Jules Draeyersstraat 5 bus 4
2610 Wilrijk
waaromwiskunde@hotmail.com

Leave a comment

Filed under Info voor leerkrachten en scholen