Category Archives: Toepassingen voor elke dag

WIE IS HET???

Om in de geest van gezelschapsspelletjes te blijven, spelen zullen we er nog maar eens een oude bekende tussen gooien. Het spel “Wie is het?” is al 35 jaar oud en werd bedacht in Groot-Brittannië door Milton Bradley (van de spelletjes van MB). Zoals het met de meeste tijdloze spelletjes het geval is, heeft ook dit exemplaar een eenvoudige recept.
Het spel wordt gespeeld met 2 spelers. Elke deelnemer trekt 1 van de 24 mogelijke personages (eigenlijk kies je maar uit 23 personages want het is onmogelijk dezelfde persoon te trekken). Dan speelt elke speler om de beurt. Je kan tijdens deze beurt 2 dingen doen. Ofwel stel je een ja-nee vraag aan je tegenstander, om zo zijn personage te weten te komen. Ofwel raad je naar het personage (Je kan dus niet eerst een vraag stellen en het personage gokken tijdens dezelfde beurt). De eerste die juist gokt is de winnaar.
Afbeelding
Bestaat er nu een tactiek om snel en efficiënt het personage van je tegenstander te kiezen? Of rust het spel op puur toeval, en moet je geluk hebben dat je de juiste vragen stelt…? Wel zoals ik het spel bekeken heb, is een klein beetje geluk wel handig, maar door de juiste vragen te stellen kan je wel sneller de mogelijke kandidaten filteren. Het zou geen verrassing mogen zijn als ik zeg dat ik dit ook wiskundig aan kan tonen…
Afbeelding
Zoals gezegd kan je niet zomaar vragen wat je wil. De vraag “welke kleur haar heeft je personage?” kan niet gesteld worden. Enkel JA-NEE vragen zijn toegestaan. Je moet de haarkleur dus te weten komen door “heeft je personage zwart haar?”, “heeft je personage wit haar?”, “heeft je personage blond haar?”…
Vraag je nu best eerst naar het geslacht van je tegenstander’s karakter, of haarkleur, kleur ogen, bril of niet, heeft de persoon een hoed,… Laten we even 2 vragen met elkaar vergelijken (we gaan er even van uit dat wij personage 17 hebben en dat dit dus al zeker niet het personage van je tegenstander is):

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je personage een vrouw Er vallen 18 mensen af Er vallen 5 mensen af
2.) Heeft je personage een smalle mond? Er vallen 11 mensen af Er vallen 12 mensen af

Welke van de 2 was nu de beste vraag? Je kan stellen dat als de tegenstander een vrouw heeft dat dan de eerste vraag de beste was, want er vallen nu maar liefst 18 mensen af? Als hij echter een man heeft als onbekende figuur, was vraag 2 misschien beter?…

Het is hier dat wiskunde een helpende hand kan zijn.
Stel dat we het spel even omzetten naar datgene waar we graag mee werken… getallen. Vraag een vrijwilliger om aan een getal van 1 tot en met 100 te denken. Ook nu mag je enkel ja/nee vragen stellen om zijn getal te raden. We een soortgelijk voorbeeld opstellen:

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je getal een veelvoud van 10? Er vallen 90 getallen af Er vallen 10 getallen af
2.) Is je getal een veelvoud van 4? Er vallen 75 getallen af Er vallen 25 getallen af

Wederom kan je een conclusie proberen te trekken van welke vraag de beste is. Maar we kunnen ook gewoon wiskunde gebruiken, op die manier zijn we zeker! Het antwoord op vraag 1 zal 10% van de gevallen “NEE” zijn, en 90% “JA”. Er is dus 10% kans dat er 90 getallen afvallen en 90% kans dat er slechts 10 wegvallen.

Gemiddeld vallen er dus 0.10 x 90 + 0.90 x 10 = 18 getallen weg.
Hetzelfde verhaal voor vraag 2 levert ons dat er gemiddeld 0.75 x 25 + 0.25 x 75 = 37.5 getallen wegvallen.
De algemene formule zal er altijd als volgt uitzien:
Afbeeldingof herschreven
AfbeeldingDit is dus de formule die je zal vertellen hoeveel getallen er gemiddeld zullen afvallen indien er bij een JA-antwoord a getallen wegvallen. (Je kan de formule narekenen met a=90 en a=75 zoals hierboven uitgeschreven staat). Om na te gaan heoveel we maximaal zullen kunnen schrappen, moeten we van deze functie de afgeleide nemen en gelijkstellen aan 0. (Iets dat we allemaal in de 3de graad secundair leerden, maar sommigen misschien al vergaten).
AfbeeldingWe bekomen 50 als resultaat. Met andere woorden we moeten een vraag stellen waarmee er bij een JA-antwoord 50 getallen wegvallen. Mogelijke vragen die je kan stellen zijn dan “Zit je getal tussen 1 en 50?” of “Is je getal even?”,…
Als je even doorredeneert is dit eigenlijk een logische tactiek. Wat het antwoord ook is, de helft zal wegvallen, terwijl je bij de andere vragen steeds ofwel een grote of een kleine groep kon schrappen. Bij die vragen moest je dus steeds geluk hebben. Meestal zal echter de kleine groep wegvallen omdat het gekozen getal meer kans heeft om in de grote groep te zitten.

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je personage een vrouw Er vallen 18 mensen af Er vallen 5 mensen af
2.) Heeft je personage een smalle mond? Er vallen 11 mensen af Er vallen 12 mensen af

Dit kunnen we nu terug meenemen naar de voorbeeldvraag van ons originele spel “Wie is het?”. Er zijn maar 5 vrouwen die de tegenstander kan getrokken hebben en dus is er een veel grotere kans dat deze een man heeft, en dus een veel grotere kans dat je na deze vraag slechts 5 personen kan schrappen. Terwijl je voor de tweede vraag voor 50% zeker minstens 11 personen zal kunnen schrappen.

Dit is de tactiek die we dus zullen gebruiken: STEEDS DE MOGELIJKE KANDIDATEN TRACHTEN TE HALVEREN!
Ik heb dit idee doorgenomen en heb voor 15 mogelijke vragen gekeken hoe ik de groep telkens het beste kan halveren. Sommige criteria leken helemaal niet nuttig te zijn, en soms kon ik niet perfect halveren, maar probeerde ik een halvering te benaderen.
Dit heb ik dan in volgend schema gegoten:
AfbeeldingJe begint met de vraag of het personage een brede mond heeft. Zoja, volg je “v” en vraag je of hij een bril heeft. Zoniet, volg je “x” en vraag je of de persoon dikke lippen heeft… zo volg je het schema. Kom je op een ovaal met 1, dan wil dit zeggen dat je iedereen op 1 persoon na hebt weggeschrapt, dit is je tegenstander zijn mannetje! Kom je op een kader met 2 dan moet je gokken, indien je fout raadt zal je bij de volgende beurt winnen, anders ben je nu al gewonnen!

Uiteindelijk wil dit zeggen dat je, als je alle verschillende spelletjes speelt (hiermee bedoel ik alle combinaties van getrokken personages), je met gemiddeld 5.27355 vragen de juiste persoon zal vinden. Wie kan beter?

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Als je het spel echt nog sneller wil winnen kan je de groep steeds halveren door vragen te stellen als “zit je personage tussen personen 1-12?”. Zoja, vraag je “Zit je personage tussen personen 1-6?”. Zodat je dus inderdaad telkens halveert. dit zou zoals de wiskunde bewees de puurste en snelste methode zijn. Maar het idee van “wie is het” is dat je vragen om uiterlijke kenmerken gaan. Als je het op deze pure manier speelt heeft het niets meer met de eigenlijke personages te maken maar met hun nummer, waardoor je het spel dus niet meer echt speelt zoals het bedoelt is. Maar voor de volledigheid, op deze manier zal het spel na gemiddeld 5.17391 vragen afgelopen zijn. Merk op dat mijn versie hier niet ver van afwijkt!

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag

Letters raden met rekenkundig trucje

Er komen weer koude dagen aan. Een goede reden om thuis te blijven en de gezelschapsspelen nog eens uit de kast te halen. Maar als je niet meteen een gezelschap hebt liggen, of je hebt geen zin om het te zoeken op zolder… dan bestaan er leuke spelletjes waar je enkel pen en papier voor nodig hebt. OXO, zeeslag, pictionary,… allemaal spellen die je met deze 2 eenvoudige voorwerpen kan spelen. Maar ook Galgje, of Hangman zoals het in sommige regionen genoemd wordt.
galg
Het doel van het spel is eenvoudig, … raad het woord. Nadat de uitdager een willekeurig woord gekozen heeft, en verteld uit hoeveel letters dit woord bestaat, is het aan de andere speler(s) om beurtelings een letter te gokken. Indien de letter in het woord voorkomt vertelt de uitdager op welke positie(s), en worden andere letters geraden… Indien men een letter gokt die niet voorkomt verlies je een leven. Op het begin van het spel spreek je normaal gezien af met hoeveel levens je begint.
De naam galgje of hangman is eigenlijk een knipoog naar de manier waarop het aantal levens wordt weergegeven. Telkens je een leven verliest tekent de uitdager een lijntje meer op zijn tekening van een opgehangen stokmannetje. Als de tekening af voor het woord geraden is, wint de uitdager.
galgje
Inderdaad, je vergist je niet. Dit is een taalspelletje, heeft dit dan wel plaats op een wiskundeblog?
De reden waarom ik dit aanhaal op deze blog is omdat je door wiskunde te gebruiken, een licht voordeel kan hebben in dit spelletje. Zoals het in dit soort spelletjes meestal gaat, moet je een beetje geluk hebben omdat je moet gokken, letters meer bepaald. In dit geval gaat het echter over bestaande woorden waardoor je gericht kan gokken. Stel dat je bijvoorbeeld nog 1 gok mag wagen en je hebt reeds het  S_HOEN. Een berekende gok is dan een C, omdat de lettercombinatie “sch” dikwijls voorkomt in de Nederlandse taal. Zo zal je in dit geval niet snel de letter X gokken, want (zover ik weet) bestaat er geen woord met de lettercombinatie “sxh”. Eigenlijk is het zelden een goed idee om de letter x te gokken aangezien die in zeer weinig Nederlandse woorden voorkomt.

schoen
Wat is dan wel een goede gok? Wel, de klinker E zou een zeer goede eerste keuze zijn aangezien deze het meeste voorkomt… Bijna 19% van de gebruikte letters in onze taal is de letter E.  De rest van de top 3 wordt aangevuld door de letter N op plaats 2 (+/- 10%), en op 3 met ongeveer 7.5% staat letter A. Door deze statistieken te gebruiken kan je dus een berekende gok maken. HIER heb je de volledige lijst van de frequentie van letters in onze taal. Elke letter heeft dus een andere kans om voor te komen, in tegenstelling tot een dobbelsteen waarbij elke waarde van 1 tot en met 6 evenveel namelijk 16.66% kans heeft om voor te komen.

Indien je een krant en tijd te teveel hebt, kan je van één pagina eens de letters tellen. Ongetwijfeld komen de frequenties dichtbij de gegeven tabel. (In het artikel “Wiskunde vs. belastingontduikers” deden we een soortgelijk experiment maar dan met getallen.)
scrabble
Ook Scrabble maakt gebruik van zulke letterfrequentie-lijstjes… Zo zal je merken dat de letters die hoog scoren in deze lijst, een lage puntenwaarde hebben. Minder voorkomende letters zoals Q en X hebben een hogere waarde aangezien het moeilijker is om hier woorden mee te vormen.

Dit idee werd ook gebruikt door codekrakers die in de 19de eeuw de Vigenère code kraakten. Deze code werd reeds gebruikt in de 16de eeuw en werd zeer lang als ‘onbreekbaar’ beschouwd. Maar uiteindelijk werd deze gekraakt met net dezelfde methode als waarmee je je galgje-talent kan verbeteren. De code werkte als volgt: om een tekst te coderen werd elke letter vervangen door een andere letter, de A wordt een H, de B een O, … je kan zelf kiezen in welke letter je welke verandert, zolang er maar een 1 – 1 verband is. Hiermee bedoel ik dat A  steeds verandert in dezelfde gekozen letter, in ons voorbeeld een H, en andersom is er geen ander letter die in een H verandert.  In totaal kan de sleutel er als volgt uitzien:
vigenere
Hoe kunnen we deze code nu kraken? Zoals gezegd maken we wederom gebruik van de frequentie van de letters. Als we met deze versleuteling een tekst schrijven, zal de letter B voor ongeveer 19% voorkomen, want deze letter vergvangde de letter E, de letter I zal 10% voorkomen want deze vergvangde letter N….. Zo werken we al de klinkers en medeklinkers af. Hier en daar moet je wel even logisch nadenken. Het blijft een kansrekening en dus de lijst kan altijd een beetje afwijken. Het is bijvoorbeeld mogelijk dat in de te ontcijferen tekst de verdeling van de letters ietsje anders ligt waardoor het einde van de ranglijst een beetje door elkaar geschud is… maar de top 10 zal zeer waarschijnlijk hetzelfde zijn. Indien je deze ontcijferd hebt zal je al een groot deel van de tekst kunnen lezen.
Als de tekst slechts uit enkele woorden bestaat is het natuurlijk moeilijker om de tekst te ontcijferen aangezien de frequenties dan meer zullen afwijken van de algemene. Hoe groter de tekst, hoe beter ze de tabel zal benaderen.
Dit is net zoals bij de dobbelsteen. Als je 6 keer gooit met een dobbelsteen en opschrijft welke waarden gevallen zijn, zal het niet onwaarschijnlijk zijn dat niet elk getal exact 1 maal (16.66%) voorgekomen is. Als je echter 100 of 10000 keer zal werpen, zal je grafiek al meer naar 16.66% per waarde neigen. Dit noemen we “de wet van de grote getallen” maar dat is weer voer voor een andere tekst.

Leer de top 10 van de tabel van letterfrequenties van buiten (enkel de volgorde, de procenten hoef je niet uit je hoofd te kennen), en gebruik hem bij het raden van letters bij je volgende galgje spel.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad

London tube en GPS

De meesten kennen of gebruiken wel eens een GPS-navigatie systeem. De toepassing waarover dit artikel zal gaan is die van “plan je route”. Met deze applicatie kan je een reis plannen waarbij je verschillende punten moet passeren. Bijvoorbeeld je vertrekt in Antwerpen, je rijdt naar Brussel en wil het postkantoor van Wilrijk bezoeken én Technopolis in Mechelen. Je GPS zal nu een optimale route voorstellen, … met behulp van wiskunde.

AfbeeldingDe tak van de wiskunde die hier gebruikt wordt is de grafentheorie. Het voorbeeld dat ik hierboven gaf heeft natuurlijk een zeer logische oplossing en vergt geen hogere wiskunde. Je passeert eerst even het postkantoor in Wilrijk, en springt binnen in technopolis te Mechelen, waar je toch moet passeren om in Brussel te raken. Het zou nogal gek zijn dat je GPS je eerst naar Technopolis laat rijden, om dan terug te komen tot Wilrijk, waarna je van daar naar Brussel rijdt. Dit zou je veel meer tijd en brandstof kosten dan het logische, eerste plan. Maar als je enkele tientallen tussenstops moet maken is het al wat moeilijker om de kortste/snelste reisroute te berekenen.

Denk maar aan bedrijven zoals DHL of UPS. Zij hebben elke dag vele mensen op de baan die her en der pakjes moeten leveren. Als je elke werknemer elke dag enkele minuten sneller kan laten leveren door een optimale reisweg, kan je dit op enkele jaren miljoenen euro’s besparen. Dit wederom door besparing op brandstof en slijtage aan de banden door minder kilometers en omdat je dagelijks meer klanten kan bedienen natuurlijk.
De route die de chauffeurs moeten berekenen kan je zien als een wiskundige graaf. Hierbij beeld je elke bestemming af met een punt of cirkel, en elke weg tussen deze bestemmingen geven we weer als de lijnen die de cirkels verbinden.
AfbeeldingStel dat we bijvoorbeeld aan al de posten (“a” tot en met “i”) moeten leveren. Hoe weten we nu in welke volgorde dit het snelste zal gebeuren? Veronderstel dat ons startpunt in a ligt. Vertrekt onze bestelwagen richting punt b gevolgd door c of e, of doen we eerst d, om van daar naar i te rijden….., er zijn onnoemelijk veel opties. Ze allemaal 1 voor 1 afgaan kan letterlijk jaren duren. Eind jaren 90 berekenden wiskundigen de snelste manier om alle Duitse steden te bezoeken, 15.112 in totaal. Met behulp van computers vonden ze de oplossing, maar dit duurde geen uren, dagen of weken, maar liefst 22.6 jaar de tijd! Ze deden dit niet met zomaar een pc. Het klusje werd geklaard door meer dan 100 processors.

Een eerste stap richting de oplossing is de wegen een waarde geven. Deze waarde kan toegekend worden aan het aantal kilometers van de verbindingen… een weg met een waarde 20 is bijvoorbeeld 20 kilometer lang, één met waarde 10 is maar de helft zolang enz…. Als tijd je belangrijkste zorg is kan je bijvoorbeeld autosnelwegen een waarde 5 geven (ze nemen weinig tijd in beslag), en straten in drukke centra geef je een waarde van bijvoorbeeld 20 (hier ben je 4 maal zoveel tijd kwijt dan op de snelweg)…
Je kan ook een combinatie maken van tijd en afstand efficiëntie natuurlijk…
AfbeeldingNu kan je een wiskundig algoritme gebruiken om te bepalen welke route te nemen. Er zijn meerdere van deze algoritmes in de omgang, maar het bekendste zal Dijkstra’s algoritme zijn (dit wordt door de meeste GPS-systemen gebruikt). Indien je het algoritme in zijn werk wil zien kan je deze of deze site eens bezoeken. Simpel opgelost toch?…
Het probleem is dat het voor oefeningen met een groot aantal steden zelfs voor een computer zeer lang kan duren om de meest efficiënte volgorde te zoeken. Verder hebben we ook nog geen bewijs gevonden dat het wiskundige algoritme wel degelijk dé beste oplossing biedt. Het sluit vele oplossingen uit, en geeft je een van de betere antwoorden, maar het is dus nog steeds niet wiskundig bewezen dat het de allerbeste oplossing is.
Dit probleem is gekend als het handelsreizigersprobleem en een van de meest bekende en moeilijkste openstaande problemen in de wiskunde.

AfbeeldingIndien je denkt een systeem te hebben gevonden om dit raadsel te ontrafelen (of toch ook een heel goede benadering) kan je je misschien eens wagen aan de tube-challenge. Het is een wedstrijd rond het bekende metro systeem van Londen. Het hele ondergrondse tramnet telt er nu al 270 stations. De opzet van de wedstrijd is heel makkelijk: hoe snel kan jij alle stations bezoeken door enkel gebruik te maken van de trams die ertussen pendelen. Als je van de figuur van de leveranciers tracht te achterhalen hoeveel mogelijkheden er zijn, of de inspanningen leest rond het berekenen van het handelsreizigersprobleem, zal je ondervinden hoe immens moeilijk deze wedstrijd wel is. (voor de geïnteresseerden, het record staat nu op 13 uur, 20 minuten en 27 seconden).
De kaart van “the tube” zoals ze het hele ondergrondse tram-net (met het beroemde “mind the gap”) daar noemen wordt trouwens meestal weergegeven als een graaf. de bolletjes zijn de stations en de tramlijnen die ze verbinden zijn de gekleurde lijnen (zie boven).
Ook het Antwerpse openbare vervoersplan heeft nu zulk een weergave (zie onder).
Afbeelding
Misschien kunnen we de stad Antwerpen en de lijn wel warm maken voor een gelijkaardig idee. Wie kan er het snelst alle Antwerpse stations bezoeken? Een leuk idee om stad, openbaar vervoer én wiskunde te promoten.

DAAROM WISKUNDE
(lees ook Wiskunde en camerabewaking)

Giedts Tom

1 Comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

wiskundige doorbraken en spionage

Diegenen die de afgelopen weken het nieuws een beetje gevolgd hebben kunnen het niet gemist hebben… Van overal ter wereld duiken er berichten op omtrent afluisterpraktijken van de Amerikaanse geheime dienst NSA. Niet enkel politieke (bijvoorbeeld Duits bondskanselier Angela Merkel) en religieuze (Paus Fransiscus) leiders worden bespioneerd, maar zelfs dagelijks e-mail verkeer van u en ik zou door hen kunnen worden nagelezen… Dit zou allemaal wel eens de oorzaak kunnen zijn van mogelijk de grootste wiskundige doorbraak in jaren.

Afbeelding

Nu we met zijn allen berichten en gegevens versturen over het internet, is het natuurlijk belangrijk om deze informatie te kunnen beschermen. Sommige mails kunnen namelijk geheime of persoonlijke informatie bevatten. Of denk maar aan de miljoenen mensen die hun bankzaken online verrichten! Ook voor bedrijven die miljoenen investeren in onderzoek naar nieuwe producten en niet willen dat concurrenten gratis aan de plannen van hun nieuwe uitvindingen kunnen geraken, is online beveiliging ontzettend belangrijk. Zo kunnen we nog wel even doorgaan met het geven van toepassingen en voorbeelden om het belang van online security te benadrukken. Maar laten we liever eens bekijken hoe deze beveiliging nu juist gebeurt…
Afbeelding
Toen we als tieners een geheime boodschap wilden doorgeven gebruikten we dikwijls makkelijke en zeer snel te kraken codes. De bekendste is allicht het vervangen van een letter door een cijfer… a=1, b=2, c=3, … y=25 en z=26. Op deze manier zal de het woord “blog” dus veranderen in “2 12 15 7”.
Na enkele tijd hadden we door dat dit maar een heel naïeve manier was om onze tekst geheim te houden en bedachten we “een verbetering”. Na het omvormen van letter naar getal, telden we er een constante bij op, bijvoorbeeld +3. met andere woorden “a” wordt eerst “1” en dan doen we +3, en “a” wordt dus gelijk aan “4”, b=5, c=6, … het woord “blog” zal nu dus worden “5 15 18 10”.
Belangrijk is natuurlijk dat diegene voor wie het bericht bestemd is, weet dat je steeds +3 deed! Anders zal hij dit bericht niet kunnen ontcijferen.

Om een bericht veilig te versturen hebben we dus 3 belangrijke stappen nodig.
1. schrijven en coderen van je bericht
(in ons voorbeeld letter-> getal +3)
2. de ontvanger de sleutel geven om de tekst te ontcijferen
(bijvoorbeeld vertellen of smsen)
3. het ontcijferen en lezen van de tekst
(in ons voorbeeld (getal -3)-> letter)

Afbeelding

Het meest gevaarlijke van dit proces is stap 2. Als ik bijvoorbeeld met het bovenstaande systeem met mijn neef berichten wil sturen moet ik hem eerst vertellen hoe een tekst te versleutelen en te ontcijferen. Terwijl ik hem dit vertel kan iemand, bijvoorbeeld mijn zus, ons afluisteren… vanaf nu weet zij dus ook steeds al de geheime berichten ontcijferen! Met andere woorden, ik heb een een doosje met een geheim op slot gedaan, maar ik moet een kopie van de sleutel aan mijn neef kunnen geven zonder dat iemand deze kan afpakken en nog een kopie kan maken!

Afbeelding

Wiskundigen kwamen met het antwoord! Ze bedachten het een nieuw systeem dat ze RSA versleuteling noemden.
We vonden een manier waar we 2 sleutels nodig hebben. Ééntje om de tekst te coderen en ééntje om te decoderen. Wat die systeem speciaal maakt is het feit dat de eerste sleutel geen geheim hoeft te zijn, je kan hem op internet posten zodat iedereen hem kan lezen en gebruiken, deze kan toch enkel gebruikt worden om het versleutelen. belangrijk is dat enkel jij de tweede sleutel bijhoudt. Iedereen kan nu “een doosje met geheime info” op slot doen en versturen, maar enkel jij kan, met de 2de sleutel, deze doos openen. Iemand anders mag zo een doos onderscheppen maar zal ze nooit kunnen open krijgen. Ook al heeft hij de eerste sleutel. Het gevaar van de 2de stap (dat iemand de sleutel om het coderen onderschept) bestaat nog steeds, maar met dit systeem is diegene die de sleutel steelt er toch niets mee.

Je natuurlijk zou kunnen denken dat eens je de versleutelingsmethode kent, je ook kan afleiden hoe deze te ontcijferen. In onze eerste voorbeelden konden we dit ook eenvoudig. Als we weten dat persoon “A” een bericht codeert door x+3 te doen, kunnen we snel afleiden dat we kunnen decoderen door x-3 te doen. Als persoon “A” het moeilijker maakt door (x+3)² doet  kunnen we nog steeds gemakkelijk decoderen door eerst de vierkantswortel te nemen en dan pas -3 te doen… met andere woorden als we de versleuteling weten, doen we gewoon de omgekeerde bewerking om te ontcijferen.
Dat is nu net het knappe aan dit RSA systeem. het versleutelen is heel simpel, we vermenigvuldigen twee priemgetallen p en q met elkaar… om het bericht te ontcijferen moeten we enkel het grote getal weer kunnen opsplitsen in de twee originele delers p en q.
Maar als deze p en q groot zijn is het ontsleutelen wel meteen zeer ingewikkeld! Het vermenigvuldigen kan een computer op enkele milliseconden, terwijl het zoeken van de delers maanden kan duren (zelfs als je tientallen computers tegelijk gebruikt!)

Afbeelding

Bijvoorbeeld als we de volgende willen priemgetallen vermenigvuldigen 11243 x 59009 = 663438187, dan kunnen we dit met gelijk welke rekenmachine berekenen. Maar kan jij met je rekenmachine vinden welke 2 priemgetallen ik hier vermenigvuldigde: 3676042387
Inderdaad, het zoeken van de delers (we noemen dit het factorizeren) is al een pak moeilijker. Zo moeilijk zelfs dat wiskundigen er zelfs nog steeds geen manier voor gevonden hebben om dit effectief te doen. Zo moeilijk zelfs dat zowat alles wat er op het internet beveiligd wordt dit systeem gebruikt. We vertrouwen er dus op dat dit het factorizeren zo ingewikkeld is dat we het nooit effectief zullen kunnen (want anders zou alles wat op deze manier beveiligd is zomaar te lezen zijn).

Nu almaar meer het nieuws opduikt dat de NSA mensen en overheden afluistert, vermoeden sommigen dat de Amerikaans dienst het probleem toch gekraakt heeft! Dit zou de wiskundige doorbraak van de eeuw kunnen zijn, gelijk welke wiskundige zou deze ontdekking op zijn naam willen schrijven. Maar de geheime dienst houdt dit liever stil omdat zij dan de enigen zijn die al de rest kan afluisteren…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

een doos, enkele kogels en veeltermen…

Wiskundigen zijn volgens vele, mensen die het graag moeilijk en lastig maken terwijl er eigenlijk zelfs geen probleem is… Maar hoe vaker je aan wiskunde doet, hoe meer je zal merken dat wiskundigen juist lui zijn en het zichzelf zo makkelijk mogelijk trachten te maken. Dit doen we door moeilijke problemen die lastig op te lossen zijn, op te delen in kleinere meer handelbare taken. Een perfect voorbeeld hiervan zijn de veeltermen.
Laten we eerst enkele veel gebruikte “eenvoudigere toepassingen” zien.
200195865-001
Een belangrijke parameter van een veelterm is zijn graad, ofwel, welke is de hoogst macht van de onbekende…
x² + 3x – 5 is een veelterm van 2de graad want x wordt maximaal tot de tweede macht verhoffen. Zo is x³-5x een veelterm van derde graad, x15+x7-4x6 + π heeft graad 15, enz…
De meesten zullen al wel in contact gekomen zijn met 2de graads vergelijkingen dus laten we daar een veelvoorkomend applicatie van bekijken.

De functie die we gebruiken in verband met afstand, snelheid en acceleratie (versnelling) is een tweede graads vergelijking. In deze (zie onderstaande functie) veelterm van graad 2 is t de onbekende. X0 is het beginpunt, v0 is de beginsnelheid en a is de versnelling. Met deze handige functie kunnen we in fysica en mechanica een enorm stuk ver geraken. Beginnende met eenvoudige oefeningen zoals als een trein Antwerpen (= X0) voorbijrijdt  tegen 100km/h (= v0) en hij versnelt gemiddeld met 1km/h² (= a0), hoever is deze dan na een half uur (= t), of na 2 uur…?
Het lijkt een banale toepassing maar sla de krant maar eens open en je staat verstelt hoeveel klachten de NMBS ontvangt wegens treinen die te laat zijn!
speed
Boeiender kan je het maken wanneer je weet dat ook versnelling en snelheid van bijvoorbeeld kogels hiermee berekend worden, waardoor we dan weer de afstand van schutter tot slachtoffer kunnen vinden en zo de dader kunnen opsporen. Maar dit geldt ook voor raketten, en dat mag je zelfs zeer ruim interpreteren tot en met maanraketten en dergelijke. Inderdaad, vandaag leer jij op school wat astronauten op de maan helpt brengen.
imagesCAB74OY7
Een veelterm van graad 3 komt van pas als we in drie dimensies gaan werken (merk op dat vorige toepassingen zich in 2 dimensies afspelen en dus een veelterm van graad 2 hebben). Neem bijvoorbeeld het eenvoudige voorbeeld van een doos die je wil maken. Je weet dat de doos 2 cm hoger moet zijn dan ze breed is, en nog eens 2 centimeter meer in de diepte. Het volume van je doos moet 48 worden… hoe breed is je doos? … wel het volume is breedte x hoogte x diepte. Stel dat B de breedte is dan hebben we: B x (B+2) x (B+4) = B³ + 6B² + 4B = 48   Voila een veelterm van graad 3. We hadden een vrij makkelijke vraag (gegeven het volume wat is de lengte) en toch komen we al snel aan een veelterm van graad 3.  Ook dit probleem kan je weer uitbreiden, denk maar aan gelijk welk probleem waar volumes in voorkomen: wegpompen van water, opslaan van grote hoeveelheden in opslagplaatsen, vullen van brandstoftanks (ja, ook die van raketten),…
IMG_9172_JPG
Waarom wiskundige zo graag met deze veeltermen werken is omdat ze enkel de basisoperaties omvatten, plus maal en machten. Maar natuurlijk zullen we problemen tegenkomen met moeilijkere bewerkingen zoals sinussen, cosinussen, logaritmen, of gekke dingen zoals eX (Wie komt deze functies tegen??? Ontzettend veel mensen eigenlijk, wegenbouwers, landmeters, economen, ontwerpers van allerlei zoals monumenten tot zelfs rollercoasters……..)

Wel daar komt de gemakzucht van een wiskundigen naar boven. We vervangen deze moeilijkere functies gewoon in diegene waar we graag en makkelijk mee kunnen werken… de simpele veeltermen. Het addertje onder het gras is wel dat deze veeltermen een oneindig hoge graad hebben… (Je moet ze natuurlijk niet oneindig lang opschrijven, je stop gewoon tot je tevreden bent met de nauwkeurigheid. Een beetje zoals bij het getal π, daar blijf je ook niet steeds alle getallen na de komma opschrijven!) Bijvoorbeeld:

Sin (x) = x – (1/6) x³ + (1/120) x5 – (1/5040) x7 + …
Cos (x) = 1 – (1/2) x² + (1/24) x4 – (1/720) x8 + …
ex =  1 + x + (1/2) x² + (1/6) x³ + (1/24) x4 +…

Hoe je dit vervangt zal je leren (of misschien ken je dit reeds) wanneer je leert over Taylor reeksen. Op het eerste zicht lijkt het een beetje willekeurig en moeilijk maar eigenlijk is het slechts 1 regel die je leert hoe je een functie in zulk oneindige veelterm te veranderen.
Velen griezelen bij woorden zoals sinus en logaritmen en voor hen is het dus een troost dat je deze moeilijke functies kan vereenvoudigen in die eenvoudige veeltermen waar je al snel eenvoudig mee kan rekenen omdat deze slechts bestaan uit basisbewerkingen (+, x en machten).

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

PIMP je dobbelsteen

Onafscheidelijk van bijna alle gezelschapsspelen is de dobbelsteen. Ze bestaan in alle maten en kleuren, maar de bekendste is zonder twijfel de standaard zeszijdige, kubusvormige,  21 oogige dobbelsteen.

dice
Het is trouwens geen toeval dat deze de vorm van een kubus heeft. Dit geeft namelijk als voordeel dat alle kanten, hoeken en ribben overal dezelfde zijn, waardoor elke waarde (of kleur voor sommige dobbelstenen) evenveel kans heeft om geworpen te worden. Een grafiek opstellen voor zulke kansen is dus ook zeer saai (grafiek 1).
Werpen met 2 eerlijke kubusvormige dobbelstenen geeft meteen een andere grafiek (grafiek 2). Hier zie je meteen dat wanneer je met 2 twee dobbelstenen werpt, meestal een 7 zal bekomen. Merk ook op dat de grafiek mooi symmetrisch is (wat in dit geval een gevolg is van het gebruiken van identieke teerlingen).
dicekans
Je kan je afvragen of je deze grafiek 2, ook kan bekomen door andere 6-zijdige dobbelstenen te gebruiken. Bijvoorbeeld, dobbelsteen A heeft als waarden 1,3,3,4,5,8 en dobbelsteen B heeft 2,2,2,4,5 en 6 als mogelijke worpen…  Wel het zal je niet verwonderen dat de mogelijke uitkomsten, indien je met beide stenen werpt, en de waarden optelt, iets chaotischer verdeeld zijn (grafiek 3).
graf3
Ook de wiskunde Sicherman onderzocht deze grafieken en heeft een speciale combinatie ontdekt. Als je stenen met de combinaties  1,2,2,3,3,4 en 1,3,4,5,6,8 maakt bekom je ook grafiek 2. Hij bewees ook dat zijn combinatie (en de triviale originele dobbelstenen) de enige zijn die deze grafiek geven. Voor dit bewijs gebruikte de man cyclometrische veeltermen en irreducibele veeltermen. Wat priemgetallen zijn voor gewone getallen zijn irreducibele veeltermen voor de gewone veeltermen… Cyclotome veeltermen zijn net iets moeilijker uit te leggen maar zeker zo interessant.
Je kan dus je dobbelstenen aanpassen door de 2 die Sicherman ‘ontdekte’ en een perfect eerlijk spel spelen.

Je kan je nu ook afvragen of je 1 grote dobbelsteen kan maken die de 2 kleine 6 zijdige stenen vervangt. Deze grote dobbelsteen zal dan 6×6 = 36 zijden moeten hebben. Maar welke waarden zullen nu op deze steen moeten staan? In grafiek 2 zagen we al hoe de verdeling van mogelijke worpen ruit zien, hieronder zien we dit nog eens in detail :
tabem
Je zal dus 1 zijde hebben met waarde 2, 2 zijden met waarde 3,… 2 zijden met waarde 11 en 1 met waarde 12. Als we heel de tabel afgaan hebben we dus 36 zijden in totaal. KLAAR….

Het enige probleem dat we nu nog hebben is het feit dat onze 36-zijdige figuur nog eerlijk moet zijn, en dus gelijke zijden moet hebben. Hier wringt het schoentje. Deze figuur bestaat namelijk niet! Er zijn slechts 5 van deze regelmatige veelvlakken (er bestaan dus ook slechts 5 “eerlijke” dobbelstenen.
Voor de geïnteresseerden, de benamingen van deze stenen zijn (in volgorde van de afbeelding): tetrahedron, hexahedron (kubus),  octahedron, icosahedron en dodecahedron.plat

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

Lang zal hij leven: WIN FOR LIFE

Naast Euromillions hét pareltje van de Nationale Loterij. Het concept is heel simpel. Je wint niet meteen één grote pot, maar een vast, maandelijks bedrag. 500, 1000, 2000 of zelfs 3000 euro per maand! Afhankelijk van met welk biljet je meespeelt.
wfl

Er zijn 4 verschillende spelformules, de ene al duurder dan de andere, maar met een mooiere beloning voor het winnende lot. Het biljet van 1€ kan je maandelijks 500€ opleveren, het biljet van 3€ geeft je een kans om maandelijks 2000 euro binnen te rijven.  Als je 5€ uitgeeft kan je 3000 euro per maand winnen. (Vorige drie formules hebben telkens 1 hoofdprijs per 1.000.000 tickets. Het biljet van 10€ levert 1000, 2000 of 3000 euro op (hier zijn er per 1.000.000 tickets dus 3 hoofdprijzen).

Naast deze maandelijkse uitbetaling kan je ook nog met elk ticket, kleinere (éénmalige) prijzen winnen.
De volledige winstuitdeling van een 3€ biljet ziet er bijvoorbeeld als volgt uit.3 euro

Net zoals ik met andere Lotto spelen deed (Waarom gebruikt Euromillions sterretjes? en Wanneer moet ik meespelen om te winnen?), kan je ook hier weer de berekening gaan maken van “Wat is nu de beste keuze?”, koop je een ticket van 1, 3, 5 of 10€ als beste investering? (Niet dat meespelen op de lotto als ‘goede’ investering kan gezien worden, maar je snapt het concept). Wat er anders ligt bij deze berekening is het feit dat het niet een eenmalig, maar een maandelijkse prijs is. Winnaars die langer leven zullen dus meer winnen dan eenzelfde winnaar die slechts enkele maanden zijn prijs kan opstrijken. Maar heeft dit nu echt invloed op welk ticket je koopt?

wfl

Hier zie je een grafiek (klik op afbeelding om te vergroten) van hoeveel een ticket waard is indien je x aantal jaar de prijs opstrijkt. Je merkt al meteen dat het wel degelijk uitmaakt hoelang je nog te leven hebt, en dus hoelang je nog winsten ontvangt. Laten we even enkele voorbeelden bekijken:

Ik ben van het mannelijke geslacht, dat maakt dat ik (volgens statistieken) zo een 78 jaar zal worden. Nu ben ik 26 en zal dus, indien ik win, nog 54 jaar van mijn leven geld ontvang van de Lotto. Nu hoef ik dus enkel op de grafiek te kijken welke van de 4 grafieken het hoogste na 54 jaar (of dus op waarde 54 op de x-as). Mijn beste investering is dus een biljet van 10€.
De oudste Belgische vrouw werd 110. Als zij dus vanaf haar 18 zou hebben meegespeeld (en won) zou ze 92 jaar lang winsten ontvangen hebben. op x coördinaat 92 ligt de rode rechte het hoogst. Zij zal dus het beste af zijn geweest met het biljet van 3 euro.
En jij ? Welk ticket ligt het beste voor jou. Als je een lager budget hebt en maximum 5 euro wil uitgeven kan je dezelfde oefening doen door te kijken welke de hoogste grafiek, en de paarse van 10€ negeren.

oudgeld

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

limieten

2 Comments

Filed under Toepassingen voor elke dag

NIEUWE SCHOOLJAAR (waarom leer ik wiskunde op school?)

Voor velen van jullie is het alweer zover… je zit terug op de schoolbanken.
Frans, Nederlands, Aardrijkskunde, Geschiedenis,… en voor velen het minst favoriete, Wiskunde.

Waarom leren we dat het getal PI niet als een breuk geschreven kan worden???
Als 2x² + 5x -1 = 41 … dan is x = 3,5 … Wanneer zal ik dit gebruiken in het dagelijkse leven???
Wat maakt het uit dat een functie stijgend of dalend is, en waarom is het nuttig dat ik weet hoe ik een functie moet afleiden???
???

Zo kan ik wel nog even doorgaan, en misschien zit je zelf wel met enkele van deze of soortgelijke vragen.
Wel, in dat geval stuur je ze maar door naar waaromwiskunde@hotmail.com .
Ik zal laten zien dat voor elk, op het eerste zicht nutteloos, concept of onderwerp waarover je in wiskunde leert,
echt wel een nuttige, leuke, verrassende of veelgebruikte toepassing is.

Alle vragen of opmerkingen zijn welkom!
waaromwiskunde@hotmail.com

Leave a comment

Filed under andere, experiment in 3 stappen, Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, wiskunde in de natuur, wiskunde in het casino, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

Sudoku’s verbeteren en SMS-en

Heb je je ooit al eens afgevraagd hoe het komt dat een sms bericht foutloos aankomt bij de ontvanger? De meesten weten waarschijnlijk wel dat het bericht eerst omgezet wordt in 1tjes en 0en, erna word verzonden, om dan bij de ontvanger terug van 0en en 1en naar tekst te worden verandert. Hoewel we tijdens het bellen al eens ‘wegvallen’ als we even slechte verbinding hebben, of elkaar slecht verstaan ten gevolgen van ruis… komen sms-berichten steeds correct aan… (op sgreifvouten na natuurlijk)

Ook hier gebruiken we weer concepten die met behulp van wiskunde ontwikkeld werden. Het algemene idee van het hele concept is eigenlijk zeer makkelijk uit te leggen. Het draait om zelfcorrigerende codes… met andere woorden, een code die, als ze fout is, zichzelf verbetert. Wat misschien het vreemdste lijkt is hoe een code weet wanneer ze fout is….
Eigenlijk is het nog lang niet zo vreemd, zeker voor diegene die al wel eens een SUDOKU oplossen. Kijk maar naar de volgende, foute, Sudoku…

Afbeelding

Een getrainde Sudoku-puzzelaar merkt dat er in de kader rechtsboven tweemaal een 1 voorkomt. We merken dus meteen dat daar een fout zal zitten! Maar welke van de 2 is nu fout (de 1 links van, of die onder de 2)??? Uit de andere eigenschappen van een correcte Sudoku weten er ook dat op horizontale en verticale lijnen ook slechts één 1 mag staan. Na nader onderzoek ondervinden we dat de 1 onder de 2 de foute is.

Afbeelding

Zo we hebben de fout gevonden. Nu moeten we ze nog verbeteren…  Weer gebruiken we de simpele Sudoku regels. In de rode, groene en oranje kader zouden, volgens de spelregels, alle cijfers van 1 tot 9 te vinden zijn… Telkens is het de 4 die ontbreekt dus we verbeteren de foute 1 en maken er een 4 van. Afbeelding

Dit is eigenlijk wat de zelfverbeterende codes ook doen! De 0-en en 1-en worden in een rooster geplaatst, die net zoals de Sudoku aan enkele regels moet voldoen. Indien er enkele foutjes optreden bij het verzenden zal de ontvangende gsm (die ook deze regels kent) het rooster kunnen verbeteren… nét zoals wij net de Sudoku hebben verbeterd.

Deze tekstberichten kunnen groot worden waardoor de roosters aan complexere wiskundige regels moeten voldoen (veel ingewikkelder dan de Sudoku regels). Ook hier word groepentheorie gebruikt (zie eerste posts). Indien je voor een wiskundige richting kiest kan het dat je (zoals ik) les krijgt over dit onderwerp, in het vak codetheorie… Een vak dat je leert over ontcijferen van geheimschrift (van heel makkelijk tot zeer complexe, door overheid gebruikte code’s), coderen van bestanden (zoals je in deze tekst zag) en andere interessante wiskundige concepten…
AfbeeldingNaast het gsm-verkeer en Sudoku’s komt het idee trouwnes ook voor bij QR-code’s (Quick-Response Codes). Je hebt ze vast wel eens gezien, in reclamefolders bijvoorbeeld. Ook hier is het zo dat indien sommige witte blokjes zwart worden (en/of omgekeerd) je smartphone de code zal kunnen inlezen.

Weer een voorbeeld dus van dagelijks gebruik van wiskunde. Bij elk smsje zelfs!!!

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies

Even afgeleid

Integreren en afleiden zijn zowat de belangrijkste bewerkingen die we uitvoeren op functies. Enerzijds gebruiken we afgeleide en geïntegreerde functies om meer informatie te krijgen over de eigenschappen van een functie, en de vorm van zijn grafiek. Maar we gebruiken ze vooral als we de functies gebruiken in toepassingen in de fysica, mechanica, elektriciteit,… funct

Ook deze toepassingen in verschillende wetenschapsvakken zijn weer zeer uiteenlopend maar de belangrijkste is hoogstwaarschijnlijk optimalisatie problemen. Met andere woorden het zoeken naar maximale (of minimale) oplossingen voor verschillende problemen. Laten we enkele voorbeelden bekijken. Hoe gebruiken we juist een afgeleide om dit probleem op te lossen?
Wel, stel we hebben een functie f(x), voor welke waarde is deze functie dan maximaal (of minimaal). Het blijken net die waarden te zijn waarvoor, indien ingevuld in de afgeleide f'(x), we een 0 uitkomen. Of f'(x) = 0 dan is x een maximum van f(x) (en omgekeerd).

Aangezien de wiskunde in zowat alle gebieden in het leven toe te passen zijn, kunnen we misschien ‘sport’ gebruiken als leidraad.

speer

Een speerwerper moet zijn object zo ver mogelijk proberen werpen, en werpt in een boogvorm, meer bepaald een hyperbool (die kennen we nog van “Parabolen wiskunde vs. moord“). Maar onder welke hoek gooit deze nu het best? 20°, 30°, … 90° ? Wel al zeker niet het laatste want dan zou hij rechtop werpen, maar het zal toch ergens tussen 0° en 90° zijn.  Als de hoek groot is gooit hij hoger, de speer blijft wel langer in de lucht maar de horizontale beweging is niet zo groot. Als de hoek te klein is gooit hij wel ver, maar zal de speer niet hoog raken en snel landen….en dus ook niet veel afstand maken.
De functie f(x) waar we in geïnteresseerd zijn is f(x) = V0 . sin (2x) / 9,81 (Hoe we deze formule bekomen is niet zo heel ingewikkeld maar ik verwijs je graag door naar je mechanica/fysica leraar).  De afgeleide wordt dan  f’(x) = V0 . cos (2x) / 4.905. We willen weten voor welke x deze nu wordt dus we stellen gelijk aan nul en rekenen dan uit was x is.
0= V0 . cos (2x) / 4,905
0 . 4,905 / V0 = 0 = cos (2x)
Bgcos (0) = 90° =  2x
90°/2 = x
We vinden dus dat x = 45°. We weten dus dat de afgeleide functie 0 wordt voor x = 45. We weten dus dat de functie f(x) maximaal zal worden voor deze waarde. De speerwerper zal dus op exact 45° werpen om een maximale afstand te behalen.
bochten
Formule 1 teams gebruiken deze afgeleiden ook continu. Bij elke bocht op elk circuit moeten de ingenieurs de keuze maken van hoe een formule 1 piloot een bocht insnijdt. Op de ene manier zal hij met snelheid uit de bocht komen maar voordien moeten remmen, een andere keuze laat hem met snelheid inrijden, maar dan moet hij voor de volgende bocht weer harder op de remmen… ook hier gebruiken we dus weer deze technieken.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

September 1, 2013 · 9:49 am