Category Archives: Universitaire wiskunde voor dummies

NIEUWE SCHOOLJAAR (waarom leer ik wiskunde op school?)

Voor velen van jullie is het alweer zover… je zit terug op de schoolbanken.
Frans, Nederlands, Aardrijkskunde, Geschiedenis,… en voor velen het minst favoriete, Wiskunde.

Waarom leren we dat het getal PI niet als een breuk geschreven kan worden???
Als 2x² + 5x -1 = 41 … dan is x = 3,5 … Wanneer zal ik dit gebruiken in het dagelijkse leven???
Wat maakt het uit dat een functie stijgend of dalend is, en waarom is het nuttig dat ik weet hoe ik een functie moet afleiden???
???

Zo kan ik wel nog even doorgaan, en misschien zit je zelf wel met enkele van deze of soortgelijke vragen.
Wel, in dat geval stuur je ze maar door naar waaromwiskunde@hotmail.com .
Ik zal laten zien dat voor elk, op het eerste zicht nutteloos, concept of onderwerp waarover je in wiskunde leert,
echt wel een nuttige, leuke, verrassende of veelgebruikte toepassing is.

Alle vragen of opmerkingen zijn welkom!
waaromwiskunde@hotmail.com

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, experiment in 3 stappen, Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, wiskunde in de natuur, wiskunde in het casino, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

Sudoku’s verbeteren en SMS-en

Heb je je ooit al eens afgevraagd hoe het komt dat een sms bericht foutloos aankomt bij de ontvanger? De meesten weten waarschijnlijk wel dat het bericht eerst omgezet wordt in 1tjes en 0en, erna word verzonden, om dan bij de ontvanger terug van 0en en 1en naar tekst te worden verandert. Hoewel we tijdens het bellen al eens ‘wegvallen’ als we even slechte verbinding hebben, of elkaar slecht verstaan ten gevolgen van ruis… komen sms-berichten steeds correct aan… (op sgreifvouten na natuurlijk)

Ook hier gebruiken we weer concepten die met behulp van wiskunde ontwikkeld werden. Het algemene idee van het hele concept is eigenlijk zeer makkelijk uit te leggen. Het draait om zelfcorrigerende codes… met andere woorden, een code die, als ze fout is, zichzelf verbetert. Wat misschien het vreemdste lijkt is hoe een code weet wanneer ze fout is….
Eigenlijk is het nog lang niet zo vreemd, zeker voor diegene die al wel eens een SUDOKU oplossen. Kijk maar naar de volgende, foute, Sudoku…

Afbeelding

Een getrainde Sudoku-puzzelaar merkt dat er in de kader rechtsboven tweemaal een 1 voorkomt. We merken dus meteen dat daar een fout zal zitten! Maar welke van de 2 is nu fout (de 1 links van, of die onder de 2)??? Uit de andere eigenschappen van een correcte Sudoku weten er ook dat op horizontale en verticale lijnen ook slechts één 1 mag staan. Na nader onderzoek ondervinden we dat de 1 onder de 2 de foute is.

Afbeelding

Zo we hebben de fout gevonden. Nu moeten we ze nog verbeteren…  Weer gebruiken we de simpele Sudoku regels. In de rode, groene en oranje kader zouden, volgens de spelregels, alle cijfers van 1 tot 9 te vinden zijn… Telkens is het de 4 die ontbreekt dus we verbeteren de foute 1 en maken er een 4 van. Afbeelding

Dit is eigenlijk wat de zelfverbeterende codes ook doen! De 0-en en 1-en worden in een rooster geplaatst, die net zoals de Sudoku aan enkele regels moet voldoen. Indien er enkele foutjes optreden bij het verzenden zal de ontvangende gsm (die ook deze regels kent) het rooster kunnen verbeteren… nét zoals wij net de Sudoku hebben verbeterd.

Deze tekstberichten kunnen groot worden waardoor de roosters aan complexere wiskundige regels moeten voldoen (veel ingewikkelder dan de Sudoku regels). Ook hier word groepentheorie gebruikt (zie eerste posts). Indien je voor een wiskundige richting kiest kan het dat je (zoals ik) les krijgt over dit onderwerp, in het vak codetheorie… Een vak dat je leert over ontcijferen van geheimschrift (van heel makkelijk tot zeer complexe, door overheid gebruikte code’s), coderen van bestanden (zoals je in deze tekst zag) en andere interessante wiskundige concepten…
AfbeeldingNaast het gsm-verkeer en Sudoku’s komt het idee trouwnes ook voor bij QR-code’s (Quick-Response Codes). Je hebt ze vast wel eens gezien, in reclamefolders bijvoorbeeld. Ook hier is het zo dat indien sommige witte blokjes zwart worden (en/of omgekeerd) je smartphone de code zal kunnen inlezen.

Weer een voorbeeld dus van dagelijks gebruik van wiskunde. Bij elk smsje zelfs!!!

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies

Misdaad loont niet, … tenzij je een beetje “Speltheorie” kent…

Je zou het niet zeggen aan de naam, maar dit is wel degelijk een bestaande tak in de wiskunde. Het gaat niet zozeer om de wiskunde waarmee je spelletjes kan analyseren zoals we reeds deden in het artikel over de wiskunde van monopoly, of de getallen achter het cafe-spel pietjesbak… Hetgeen dit deel van de wiskunde bestudeerd is het nemen van beslissingen. En al doet de titel van het vak vermoeden dat dit enkel om spelletjes gaat, wordt “speltheorie” vooral in economie en sociologie gebruikt.

Afbeelding

De eenvoudigste manier om deze tak van de wetenschap te bespreken is aan de hand van enkele voorbeelden. Laten we maar meteen met het bekendste beginnen, het gevangenendilemma. Stel er werd een overval gepleegd en de politie heeft de 2 daders gevat. Ze missen echter staalharde bewijzen en hopen dat de boeven elkaar verraden. Ze stellen het volgende voor aan de gevangenen, die we voor de makkelijkheid even A en B noemen. Naargelang ze elkaar verraden of niet, krijgen ze de volgende straffen..AfbeeldingStel nu dat je persoon A bent en je bekijkt even je twee opties, B verraden of niet… Als B loyaal is en je dus niet verraadt krijg je 2 jaar als je ook loyaal bent, maar slechts 1 als je hem verraadt. Als B niet loyaal is en jij wel krijg je 5 jaar, maar als je hem verraadt krijg je slechts 4 jaar… Met andere woorden, ongeacht wat B doet, je zal steeds een jaar winnen als je B verraadt!
Als B deze redenatie maakt zal ook blijken dat het voor hem in het voordeel is om verraadt te plegen… Op deze manier gebruikt de politie speltheorie tegen de misdadigers…

Afbeelding

Laten we een ander voorbeeld bekijken… en om in ‘de sector’ te blijven, eentje met piraten… Piraten A, B en C (inderdaad ik ben niet erg origineel met namen) hebben een schat met duizend goudstukken te verdelen. Er is wel een duidelijke machtsverdeling want A heeft het meeste te zeggen ,gevolgd door B, en C heeft het minste macht van alle drie. Aangezien hij het meeste aanzien heeft mag A eerst een voorstel doen van hoe de schat verdeeld wordt… bijvoorbeeld 500 voor A, 200 voor B en 300 voor C. Na A’s voorstel word er gestemd, ofwel wordt de verdeling aanvaard (waarna de schat volgens het voorstel verdeeld wordt), ofwel wordt ze afgewezen (waarna de piraat die het voorstel deed, overboord gekieperd word!). Als het 2de gebeurt, mag de nu oppermachtige B op zijn beurt een voorstel doen, dan wordt er weer gestemd, met dezelfde mogelijke afloop als het eerste voorstel. Extra detail: als de stemming gelijk is (evenveel stemmen voor het voorstel, als tegen) is de stem van de machtigste piraat doorslaggevend.

Afbeelding
Ook hier kan speltheorie gebruikt worden om de afloop van het conflict te exact voorspellen… Laat ons even veronderstellen dat A’s voorstel wordt afgekeurd, en deze piraat dus overboord gekieperd wordt… B is dan de machtigste piraat en mag het volgende voorstel indienen. Deze kan nu zo eerlijk of (veel waarschijnlijker) oneerlijk te werk gaan als hij wil. Hoeveel hij ook aan zichzelf geeft (desnoods de volle duizend munten), C kan hier niets tegenin brengen. Want ook al gaat C niet akkoord, aangezien B’s stem doorslaggevend is, krijgt hij toch z’n gelijk! 
C zal, al krijgt hij slechts enkele goudstukken, dus best het voorstel van A aanvaarden (anders krijgt hij zoiezo 0 munten). Maar ook A weet dat natuurlijk!!! Hij verdeelt de schat dus als volgt: 999 stukken voor A, 0 voor B en 1 voor C… Door het gebruik van getaltheorie is piraat A nu dus een rijk man!

Afbeelding

Er zijn nog ontzettend veel verschillende leuke toepassingen van het probleem. Vele daarvan komen ook voor in dagelijkse toepassingen… Maar wat misschien ook een leuk voorbeeld van speltheorie is ,is het probleem dat wordt voorgesteld in de Batman-film: The Dark Knight. In deze film krijgen 2, met bommen volgestouwde boten, een afstandsbediening. Boot 1 kan met zijn afstandsbediening boot 2 doen ontploffen en omgekeerd. Pittig detail… als binnen bepaalde tijd niemand de andere boot tot zinken brengt, ontploffen beide vaartuigen… Om het probleem nóg complexer te maken zitten op de eerste boot allemaal onschuldige burgers (op deze boot mag bovendien iedereen op de knop duwen). Op de tweede boot vaart zo goed al 99% aan gevangenen, vergezeld met enkele bewakers (hier kan enkel de hoofdbewaker de knop bedienen)… Ook hier kan je eventueel de beslissingen tegen elkaar afwegen en bepalen wat de beste strategie is…

DAAROM WISKUNDE


Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, Wiskunde vs. Misdaad

Kansrekenen….. met kans op fouten

We proberen wiskunde en wiskundige modellen te gebruiken om ons het leven makkelijker te maken. Door sneller berekeningen uit te voeren, om misdadigers te vatten, om betere beslissingen te maken… Maar dan moeten we de wiskunde hierachter natuurlijk wel JUIST uitvoeren! Als we wiskunde willen gebruiken om beslissingen te nemen moet we natuurlijk zeker zijn dat onze berekeningen kloppen, anders maken we alsnog de verkeerde keuze…
Laat me dit aantonen met 3 voorbeelden uit de wereld van kansrekenen…

Voorbeeld 1:
Afbeelding
Stel we gaan op reis met het vliegtuig en we willen zo weinig mogelijk risico nemen… We horen namelijk almaar meer berichten van bomaanslagen op allerlei voertuigen: bussen, treinen, en ook vliegtuigen! Toegegeven, de kans is enorm klein (laat ons even zeggen 1 op 100.000) dat er een zelfmoordterrorist met een bom, net op jou vliegtuig stapt.
Als je niet goed thuis bent in wiskunde en kansrekenen, zou je kunnen beredeneren dat je zelf ook beter een bom meeneemt op het vliegtuig… Want als de kans dat er 1 persoon met een bom op het vliegtuig aanwezig is gelijk is aan 1/100.000 dan is de kans dat er 2 mensen met een bom tegelijk aanwezig zijn gelijk aan 1/100.000 x 1/100.000 = 1/10.000.000.000 !!!

Voorbeeld 2:Afbeelding
Stel je weet dat een koppel met 2 kinderen minstens 1 jongen heeft. Wat is nu de kans dat dit paar 2 jongens heeft? Wel met 2 kinderen hebben we 4 mogelijke combinaties:

Jongen Jongen
Jongen, Meisje
Meisje, Jongen
(Meisje, Meisje) de laatste combinatie valt weg, want we weten dat er al 1 jongen is.

De kans dat er 2 jongens zijn is dus 1/3.
Stel nu net hetzelfde probleem maar we weten nu dat 1 van de kinderen Mats heet (een jongensnaam, dus we weten weer dat er 1 jongen bij is) wat is nu de kans dat het koppel 2 jongens heeft? Weer zijn er 4 mogelijkheden:
Mats, Jongen
Jongen, Mats
Meisje, Mats
Mats, Meisje
Nu zien we echter dat er bij 2 van de 4 (of dus 1 op 2) gezinssituaties 2 jongens zijn…
Dus toen we wisten dat er 1 jongen was, was de kans op 2 jongens gelijk aan 1/3. Als we weten hoe deze jongen heet is de kans plots 1/2 ???

Probleem 3:
Afbeelding
Stel we hebben de keuze voor 2 enveloppen met elk een som geld in. We weten niet hoeveel er in beide zit, het enige wat we weten is dat in 1 envelop het dubbele bedrag zit van wat we in de andere envelop zullen vinden. We kiezen bijvoorbeeld enveloppe A en vinden 100 euro, in envelop B zit dus ofwel de helft, 50€, ofwel het dubbele, 200€. Is het nu aangewezen om van enveloppe te veranderen??? Laat het ons even uitrekenen, als we veranderen hebben we 1/2 kans dat we 100€ inwisselen in 50€ (en dus 50€ verliezen), en 1/2 kans dat we 100€ inwisselen voor 200€ (en dus 100€ winnen).
als we veranderen van keuze winnen we dus statistisch gezien: (1/2) x (-50) + (1/2) x 200 = 75 !!! Met andere woorden we moeten altijd van enveloppe wisselen…

NOGMAALS, al de bovenstaande berekeningen hebben een subtiele fout in hun beredenering. Daarom zijn de antwoorden dan ook zo vreemd. Intuïtief lijken ze misschien eerst te kloppen, maar pas na het nader bekijken van de wiskunde ontdekken we de kleine foutjes en kunnen we onze beslissing nog corrigeren…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

1 Comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies

merkwaardig snel rekenen

In de wiskunde gebeuren wel meer merkwaardige dingen (daar probeer ik je toch van te overtuigen met deze blog). Ook zijn er enkele vormen van vermenigvuldiging die we merkwaardig noemen. Niet omdat deze verrassende en merkwaardige uitkomsten opleveren, maar omdat ze eenvoudiger op te lossen zijn dan ze op het eerste zicht lijken. We kunnen ze namelijk sneller oplossen door ze op een eenvoudigere manier neer te schrijven, bijvoorbeeld:
(a+b).(a-b)= a.a + a.b – a.b – b.b = a.a + a.b – a.b – b.b = a² – b²
of kortweg:   (a+b).(a-b) = a² – b²
Misschien lijkt dit op het eerste zicht niet meteen een vereenvoudiging, maar naarmate je meer (hoofd)rekent zal je merken dat a² – b² dikwijls sneller uit te werken is dan  (a+b).(a-b) .
Aangezien bovenste voorbeeld misschien niet overtuigend genoeg is zal ik nog enkele andere merkwaardige producten neerschrijven:

a³ + 3a².b + 3a.b² + b³                          = (a+b)³
(a² + ab + b²).(a+b)                              = a³ + b³
a² + b² + c² +2.a.b + 2.b.c + 2.a.c        = (a + b + c)²
…..
Je ziet al meteen dat sommige producten in een veel makkelijkere vorm te schrijven zijn. Elke wiskundige kent deze producten bijna uit het hoofd. Niet door ze vanbuiten te leren, maar gewoon omdat we ze zoveel gebruiken, aangezien het zaken eenvoudiger maakt (ja wiskundigen hebben het graag gemakkelijk).
Afbeelding
Maar naast deze manier van herschrijven, gebruiken we nog honderden andere trucjes om het ons gemakkelijk te maken. Vermenigvuldigen met 9 bijvoorbeeld.
150 x 9 = ???  Sommigen kunnen heel sterk zijn in de vermenigvuldigingstafel van 9 en lossen deze opdracht perfect uit het hoofd. Ik doe dit echter op de volgende manier:
150 x 9 = (150 x 10) – 150 = 1350
Ik vermenigvuldig het getal dus met 10 in plaats van 9, en trek daarna nog een keer het getal af. De reden waarom ik dit op deze manier doe is omdat de tafels van 10 veel makkelijker zijn dan de tafels van 9 (voor de tafel van 10 moet ik enkel achteraan een 0 bijschrijven en ik ben klaar).
En ja hoor dit werkt niet alleen met 150 x 9 maar met alle getallen die ik maar met 9 wil vermenigvuldigen.
Afbeelding
Nog een trucje. Stel dat er iemand me vraagt of 156483 een veelvoud is van 3… Dan kan ik binnen de 5 seconden het antwoord geven! Hoe ik dat doe? heel simpel.
Ik tel al de cijfers van het gevraagde getal op: (de vraag was 156483 dus) 1+5+6+4+8+3 = 27 en ik controleer of de uitkomst een veelvoud is van 3. In mijn geval is de uitkomst 27 = 9×3 een veelvoud van 3 dus mijn antwoord op de vraag is “JA”.
Je ziet dat ik de vraag dus weeral heb vereenvoudigt. Van “is 156483 een veelvoud van 3” naar “is 27 een veelvoud van 3”. En ja hoor ook dit trucje werkt voor al de getallen waarvan je wil controleren of ze een veelvoud van 3 zijn. (Hetzelfde trucje kan je gebruiken om te testen of een getal een veelvoud van 9 is! Probeer maar eens.).

Het fijne van al deze trucjes en vereenvoudigingen is dat je, eens je ze allemaal onder de knie hebt, enorm snel kan (hoofd)rekenen. Als je rondkijkt op het internet zul je merken dat er ook trucjes zijn om deelbaarheid door 7 te testen, of vermenigvuldigen met 11 te vereenvoudigen. Zelfs kwadrateren kan héél snel gaan voor getallen met sommige eigenschappen…
Afbeelding
Altijd leuk om je ouders of leraar verstomd te doen kijken als je ze verrast met zulk rekentrucje…
Of als het allemaal een beetje te moeilijk word natuurlijk.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

1 Comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies

golven en cocktailfeestjes

Ik heb het in mijn artikels al over veel takken van de wiskunde gehad. Meetkunde (Pythagoras vs. Fermat), groepentheorie (groepentheorie), getaltheorie (Hoe priemgetallen levens redden),… Dit tekstje gaat over analyse. Het is de wiskunde die veranderingen in functies (krommen, parabolen, …) bestudeerd. Ik geef toe dat dit nooit mijn lievelingsgebied was toen ik op de schoolbanken zat, maar toch zijn hier ook weer leuke toepassingen voor te vinden.

Nog niet iedereen zal al functies gezien hebben en daarom zal ik niet te diep op de leerstof ingaan. Het enige wat je eigenlijk moet weten is hoe de sinus en cosinus functies eruitzien. Deze zullen worden aangeleerd in het derde en vierde middelbaar, maar ik heb een mooi fotootje voor diegenen die nog niet ze ver raakten: Op de grafiek volgt de blauwe golf de sinusfunctie en de rode golf de cosinusfunctie (ze zijn identiek maar een beetje opgeschoven ten opzichte van elkaar). En wees gerust dat je deze woorden nog wel enkele keren gaat tegenkomen in je wiskundige carrière 🙂 . Het lijkt bij het begin een beetje moeilijk, maar je gebruikt ze zoveel dat ook zij vanzelfsprekend worden, net zoals de tafels van vermenigvuldiging.

cossin
Ook wanneer je over elektriciteit (of elektronica) leert kom je deze golven tegen. Zelfs mensen die muziek spelen zullen de golven ooit wel eens ontmoeten. Sterker nog, … eigenlijk is al het geluid, zoals muziek maar ook al het lawaai, praten, verkeer,… dat we horen een combinatie van sinus en cosinusfuncties… Je merkt al snel dat ze onnoemelijk veel zullen voorkomen en dus een héél belangrijk thema zijn. Zo belangrijk zelfs dat er een aparte tak van de analyse bestaat, die zich uitsluitend bezighoudt met dit soort dingen: de Fourieranalyse (genoemd naar de Fransman Jean-Baptiste Joseph Fourier). Maar wat is nu het nut van deze kromme?

Wel, de functies die we boven zagen waren nog vrij eenvoudig. Ze hadden een gemakkelijke vorm en je zou ze met een even groot gemak kunnen verder tekenen. Maar stel je krijgt de volgende functie op je bord:
noise

Deze is al iets moeilijker te verteren… Welk geluid zouden we hier horen?….Dit is het punt waar wiskunde Fourieranalyse gaan gebruiken. Het klinkt als een heel moeilijk woord (je spreekt het uit als foerjee-analieze), maar wat het inhoudt is eigenlijk vrij eenvoudig.
Het zegt dat al deze moeilijke geluidsgolven eigenlijk de som zijn van de gemakkelijke sinus (en cosinus) functies… Het is alsof we een heel groot en moeilijk probleem opsplitsen in een paar kleinere én gemakkelijke probleempjes. Hieronder zie je een voorbeeld van een ‘opgesplitst’ probleem. A is moeilijk om meteen te snappen, maar al we dit geluid opsplitsen in enkele kleintjes, namelijk B,C,D en E dan kunnen we het al wat gemakkelijker bestuderen. B,C,D en E hebben namelijk allemaal de vorm van de gemakkelijke sinus:

somsin
Oké, dus we kunnen blijkbaar geluiden opsplitsen (We kunnen natuurlijk ook omgekeerd B+C+D+E doen om weer A te krijgen) en terug samenstellen… en dan? Met andere woorden wat is nu het nut van dit alles? 
Denk maar aan je radio of lange afstandsgesprekken. Dikwijls zit er storing op je verbinding, of ruis op je radio. Deze worden gelukkig voor een groot deel weggefilterd worden door het apparaat. Maar hoe weet dit apparaat of hij nu de storing weg laat vallen in de plaats van muziek of iemand zijn stem? –> Fourieranalyse! Dus elke dag dat je met je gsm belt of naar je radio luistert gebruik je deze vreemde golven!

cocktail_party_by_kebikun-d3hru4e
Het cocktailfeestje-probleem. Jawel het is echt een naam van een bestaand probleem:
Stel je bevindt je op een feest waar honderden mensen door elkaar praten, er staat luide muziek op, hier en daar valt een glas… Kortom langs alle kanten komen er geluidsgolven binnen. Maar jij wil nu net het gesprek afluisteren van iemand die een 10 meter verder staat… Kan je zoveel wegfilteren dat je enkel dit gesprek hoort?
Sinds kort hebben wiskundigen het probleem opgelost. Ze hebben de Fourieranalse zo geperfectioneerd dat ze in theorie alles kunnen wegfilteren wat ze maar willen. Ze hebben dit probleem opgelost met een grote interesse van de CIA (Amerikaanse spionage dienst) die het enorm leuk vinden om mensen af te luisteren om hun plannen te weten te komen…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundigen

groepentheorie

WAT IS EEN GROEP

Een van mijn favoriete vakken die me op de universiteit werden aangeleerd moet groepentheorie zijn. Het vak bestudeerd (de naam zegt het zelf) groepen. Geen sport of muziekgroepen maar speciale wiskundige groepen. Een ‘wiskundige’ groep is zeer snel en eenvoudig uit te leggen.

Nee, het is niet een clubje wiskundige nerds die in een donkere kamer nieuwe theorieën bedenken en beurtelings bewijzen oplossen. Een groep in de wiskunde bestaat voornamelijk uit 2 delen, namelijk een verzameling met elementen én een bewerking (met bewerking bedoel ik bijvoorbeeld +, – , : of x ). Neem als voorbeeld anders het volgende, als verzameling nemen we alle even getallen 0,2,4,6,8,10,12,14,… en als bewerking nemen we gewoon +, de optelling.

Er moet echter wel aan enkele eigenschappen voldaan zijn vooraleer we deze twee dingen samen nu echt een groep mogen noemen. Ik zal niet in detail treden over alle eigenschappen maar er zijn er twee die ik heel makkelijk en snel duidelijk kan maken. De eerste eigenschap zegt dat als we de gekozen bewerking uitvoeren op de gekozen verzameling dat de uitkomst weer in de verzameling moet zitten. Dit klinkt wat lastiger dan het is, misschien kan ik het makkelijker aantonen met ons voorbeeld. De gekozen bewerking, in ons voorbeeld is de optelling. We voeren deze uit op twee getallen van de gekozen verzameling, in ons geval dus twee even getallen. 8 + 10, of 6 + 4, of 14 + 12,… we merken al snel dat de uitkomst steeds weer een even getal zal zijn en dus weer in de gekozen verzameling zit. Ons voorbeeld voldoet dus al aan de eerste eigenschap.

De tweede makkelijk te verduidelijken eigenschap is dat er steeds een neutraal element moet zijn voor de bewerking. Hiermee bedoel ik dat er een element in de gekozen verzameling moet zitten zodat als we er de gekozen bewerking op uitvoeren er eigenlijk niets gebeurt. In ons geval is dat element: “0”, namelijk 2 + 0 = 2, of 14 + 0 = 14, 188 + 0 = 188,….. het maakt niet uit welk even getal we optellen met 0, we bekomen steeds weer het originele getal. Daarom is in onze voorbeeld groep het getal 0 het neutrale element. Stel dat we als bewerking de vermenigvuldiging hadden genomen, kan je dan achterhalen wat het neutrale element is?…..

Zo gelden er nog enkele kleine eigenschappen waaraan een groep moet voldoen maar ik zal hier zoals gezegd niet over uitwijken.

WAAR GEBRUIKEN WE GROEPEN

Groepen kunnen voor enorm veel toepassingen gebruikt worden. In de wiskunde zelf worden deze groepen echt overal gebruikt (daarom dat dit een eerstejaars vak is op de universiteit). Omdat het vak zo bestudeerd en toegepast is word het zelfs vaak opgedeeld in verschillende studies over de verschillende soorten groepen die er bestaan!

Maar als je meer geïnteresseerd bent in chemie is de kans zeer groot dat je in je loopbaan groepen zal tegenkomen. De vele chemische stoffen en materialen kunnen namelijk worden ingedeeld volgens hun symmetrie (we spreken van symmetrie als een voorwerp als twee helften van het voorwerp in een bepaalde zin elkaars spiegelbeeld zijn). En deze symmetrieën (spiegelbeelden) kunnen we beschrijven met groepen die we in de wiskunde bestuderen! Ook voor leerlingen die meer in fysica geïnteresseerd zijn komen voor dezelfde reden groepen tegen. In de fysica bestuderen we onder andere natuurlijke krachten en de natuur houdt van symmetrie…

Voor de puzzelaars onder ons bestaat er ook een enorm bekende toepassingen, de Rubic’s cube. Zo een kubus is eigenlijk een mooi voorbeeld van en groep. Grofweg kunnen we als verzameling van elementen, alle mogelijke bewegingen die we met de kubus kunnen doen (bv. een stuk van de kubus draaien, of de kubus helemaal op zijn kop zetten), en als bewerking tussen twee bewegingen nemen we simpelweg de combinatie van de bewegingen. We kunnen nu al de wiskunde die we leren tijdens het vak groepentheorie gebruiken op de rubic’s cube en hem zo met behulp van wiskunde oplossen.

DAAROM WISKUNDE

 

Giedts T.

1 Comment

Filed under Universitaire wiskunde voor dummies