Category Archives: wiskunde in de natuur

London tube en GPS

De meesten kennen of gebruiken wel eens een GPS-navigatie systeem. De toepassing waarover dit artikel zal gaan is die van “plan je route”. Met deze applicatie kan je een reis plannen waarbij je verschillende punten moet passeren. Bijvoorbeeld je vertrekt in Antwerpen, je rijdt naar Brussel en wil het postkantoor van Wilrijk bezoeken én Technopolis in Mechelen. Je GPS zal nu een optimale route voorstellen, … met behulp van wiskunde.

AfbeeldingDe tak van de wiskunde die hier gebruikt wordt is de grafentheorie. Het voorbeeld dat ik hierboven gaf heeft natuurlijk een zeer logische oplossing en vergt geen hogere wiskunde. Je passeert eerst even het postkantoor in Wilrijk, en springt binnen in technopolis te Mechelen, waar je toch moet passeren om in Brussel te raken. Het zou nogal gek zijn dat je GPS je eerst naar Technopolis laat rijden, om dan terug te komen tot Wilrijk, waarna je van daar naar Brussel rijdt. Dit zou je veel meer tijd en brandstof kosten dan het logische, eerste plan. Maar als je enkele tientallen tussenstops moet maken is het al wat moeilijker om de kortste/snelste reisroute te berekenen.

Denk maar aan bedrijven zoals DHL of UPS. Zij hebben elke dag vele mensen op de baan die her en der pakjes moeten leveren. Als je elke werknemer elke dag enkele minuten sneller kan laten leveren door een optimale reisweg, kan je dit op enkele jaren miljoenen euro’s besparen. Dit wederom door besparing op brandstof en slijtage aan de banden door minder kilometers en omdat je dagelijks meer klanten kan bedienen natuurlijk.
De route die de chauffeurs moeten berekenen kan je zien als een wiskundige graaf. Hierbij beeld je elke bestemming af met een punt of cirkel, en elke weg tussen deze bestemmingen geven we weer als de lijnen die de cirkels verbinden.
AfbeeldingStel dat we bijvoorbeeld aan al de posten (“a” tot en met “i”) moeten leveren. Hoe weten we nu in welke volgorde dit het snelste zal gebeuren? Veronderstel dat ons startpunt in a ligt. Vertrekt onze bestelwagen richting punt b gevolgd door c of e, of doen we eerst d, om van daar naar i te rijden….., er zijn onnoemelijk veel opties. Ze allemaal 1 voor 1 afgaan kan letterlijk jaren duren. Eind jaren 90 berekenden wiskundigen de snelste manier om alle Duitse steden te bezoeken, 15.112 in totaal. Met behulp van computers vonden ze de oplossing, maar dit duurde geen uren, dagen of weken, maar liefst 22.6 jaar de tijd! Ze deden dit niet met zomaar een pc. Het klusje werd geklaard door meer dan 100 processors.

Een eerste stap richting de oplossing is de wegen een waarde geven. Deze waarde kan toegekend worden aan het aantal kilometers van de verbindingen… een weg met een waarde 20 is bijvoorbeeld 20 kilometer lang, één met waarde 10 is maar de helft zolang enz…. Als tijd je belangrijkste zorg is kan je bijvoorbeeld autosnelwegen een waarde 5 geven (ze nemen weinig tijd in beslag), en straten in drukke centra geef je een waarde van bijvoorbeeld 20 (hier ben je 4 maal zoveel tijd kwijt dan op de snelweg)…
Je kan ook een combinatie maken van tijd en afstand efficiëntie natuurlijk…
AfbeeldingNu kan je een wiskundig algoritme gebruiken om te bepalen welke route te nemen. Er zijn meerdere van deze algoritmes in de omgang, maar het bekendste zal Dijkstra’s algoritme zijn (dit wordt door de meeste GPS-systemen gebruikt). Indien je het algoritme in zijn werk wil zien kan je deze of deze site eens bezoeken. Simpel opgelost toch?…
Het probleem is dat het voor oefeningen met een groot aantal steden zelfs voor een computer zeer lang kan duren om de meest efficiënte volgorde te zoeken. Verder hebben we ook nog geen bewijs gevonden dat het wiskundige algoritme wel degelijk dé beste oplossing biedt. Het sluit vele oplossingen uit, en geeft je een van de betere antwoorden, maar het is dus nog steeds niet wiskundig bewezen dat het de allerbeste oplossing is.
Dit probleem is gekend als het handelsreizigersprobleem en een van de meest bekende en moeilijkste openstaande problemen in de wiskunde.

AfbeeldingIndien je denkt een systeem te hebben gevonden om dit raadsel te ontrafelen (of toch ook een heel goede benadering) kan je je misschien eens wagen aan de tube-challenge. Het is een wedstrijd rond het bekende metro systeem van Londen. Het hele ondergrondse tramnet telt er nu al 270 stations. De opzet van de wedstrijd is heel makkelijk: hoe snel kan jij alle stations bezoeken door enkel gebruik te maken van de trams die ertussen pendelen. Als je van de figuur van de leveranciers tracht te achterhalen hoeveel mogelijkheden er zijn, of de inspanningen leest rond het berekenen van het handelsreizigersprobleem, zal je ondervinden hoe immens moeilijk deze wedstrijd wel is. (voor de geïnteresseerden, het record staat nu op 13 uur, 20 minuten en 27 seconden).
De kaart van “the tube” zoals ze het hele ondergrondse tram-net (met het beroemde “mind the gap”) daar noemen wordt trouwens meestal weergegeven als een graaf. de bolletjes zijn de stations en de tramlijnen die ze verbinden zijn de gekleurde lijnen (zie boven).
Ook het Antwerpse openbare vervoersplan heeft nu zulk een weergave (zie onder).
Afbeelding
Misschien kunnen we de stad Antwerpen en de lijn wel warm maken voor een gelijkaardig idee. Wie kan er het snelst alle Antwerpse stations bezoeken? Een leuk idee om stad, openbaar vervoer én wiskunde te promoten.

DAAROM WISKUNDE
(lees ook Wiskunde en camerabewaking)

Giedts Tom

Advertisements

1 Comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

PIMP je dobbelsteen

Onafscheidelijk van bijna alle gezelschapsspelen is de dobbelsteen. Ze bestaan in alle maten en kleuren, maar de bekendste is zonder twijfel de standaard zeszijdige, kubusvormige,  21 oogige dobbelsteen.

dice
Het is trouwens geen toeval dat deze de vorm van een kubus heeft. Dit geeft namelijk als voordeel dat alle kanten, hoeken en ribben overal dezelfde zijn, waardoor elke waarde (of kleur voor sommige dobbelstenen) evenveel kans heeft om geworpen te worden. Een grafiek opstellen voor zulke kansen is dus ook zeer saai (grafiek 1).
Werpen met 2 eerlijke kubusvormige dobbelstenen geeft meteen een andere grafiek (grafiek 2). Hier zie je meteen dat wanneer je met 2 twee dobbelstenen werpt, meestal een 7 zal bekomen. Merk ook op dat de grafiek mooi symmetrisch is (wat in dit geval een gevolg is van het gebruiken van identieke teerlingen).
dicekans
Je kan je afvragen of je deze grafiek 2, ook kan bekomen door andere 6-zijdige dobbelstenen te gebruiken. Bijvoorbeeld, dobbelsteen A heeft als waarden 1,3,3,4,5,8 en dobbelsteen B heeft 2,2,2,4,5 en 6 als mogelijke worpen…  Wel het zal je niet verwonderen dat de mogelijke uitkomsten, indien je met beide stenen werpt, en de waarden optelt, iets chaotischer verdeeld zijn (grafiek 3).
graf3
Ook de wiskunde Sicherman onderzocht deze grafieken en heeft een speciale combinatie ontdekt. Als je stenen met de combinaties  1,2,2,3,3,4 en 1,3,4,5,6,8 maakt bekom je ook grafiek 2. Hij bewees ook dat zijn combinatie (en de triviale originele dobbelstenen) de enige zijn die deze grafiek geven. Voor dit bewijs gebruikte de man cyclometrische veeltermen en irreducibele veeltermen. Wat priemgetallen zijn voor gewone getallen zijn irreducibele veeltermen voor de gewone veeltermen… Cyclotome veeltermen zijn net iets moeilijker uit te leggen maar zeker zo interessant.
Je kan dus je dobbelstenen aanpassen door de 2 die Sicherman ‘ontdekte’ en een perfect eerlijk spel spelen.

Je kan je nu ook afvragen of je 1 grote dobbelsteen kan maken die de 2 kleine 6 zijdige stenen vervangt. Deze grote dobbelsteen zal dan 6×6 = 36 zijden moeten hebben. Maar welke waarden zullen nu op deze steen moeten staan? In grafiek 2 zagen we al hoe de verdeling van mogelijke worpen ruit zien, hieronder zien we dit nog eens in detail :
tabem
Je zal dus 1 zijde hebben met waarde 2, 2 zijden met waarde 3,… 2 zijden met waarde 11 en 1 met waarde 12. Als we heel de tabel afgaan hebben we dus 36 zijden in totaal. KLAAR….

Het enige probleem dat we nu nog hebben is het feit dat onze 36-zijdige figuur nog eerlijk moet zijn, en dus gelijke zijden moet hebben. Hier wringt het schoentje. Deze figuur bestaat namelijk niet! Er zijn slechts 5 van deze regelmatige veelvlakken (er bestaan dus ook slechts 5 “eerlijke” dobbelstenen.
Voor de geïnteresseerden, de benamingen van deze stenen zijn (in volgorde van de afbeelding): tetrahedron, hexahedron (kubus),  octahedron, icosahedron en dodecahedron.plat

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

NIEUWE SCHOOLJAAR (waarom leer ik wiskunde op school?)

Voor velen van jullie is het alweer zover… je zit terug op de schoolbanken.
Frans, Nederlands, Aardrijkskunde, Geschiedenis,… en voor velen het minst favoriete, Wiskunde.

Waarom leren we dat het getal PI niet als een breuk geschreven kan worden???
Als 2x² + 5x -1 = 41 … dan is x = 3,5 … Wanneer zal ik dit gebruiken in het dagelijkse leven???
Wat maakt het uit dat een functie stijgend of dalend is, en waarom is het nuttig dat ik weet hoe ik een functie moet afleiden???
???

Zo kan ik wel nog even doorgaan, en misschien zit je zelf wel met enkele van deze of soortgelijke vragen.
Wel, in dat geval stuur je ze maar door naar waaromwiskunde@hotmail.com .
Ik zal laten zien dat voor elk, op het eerste zicht nutteloos, concept of onderwerp waarover je in wiskunde leert,
echt wel een nuttige, leuke, verrassende of veelgebruikte toepassing is.

Alle vragen of opmerkingen zijn welkom!
waaromwiskunde@hotmail.com

Leave a comment

Filed under andere, experiment in 3 stappen, Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, wiskunde in de natuur, wiskunde in het casino, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

THE MATRIX

De meesten zullen “the matrix” kennen als een van de bekendste sciencefiction films van eind jaren 90/begin jaren 2000. Sommigen zullen dit schooljaar ook leren over wiskundige matrices en hun toepassingen…

the matrix

Deze (voor sommigen) ‘nieuwe’ objecten zal je voor verrassend veel toepassingen gebruiken. Één van de belangrijkste en meest gebruikte is misschien wel het oplossen van stelsels vergelijkingen met verschillende onbekenden. Stel we hebben volgende gegevens:

5x + 4y – 3z = 53
4x + 9y – 4z = 75
2x + y   – 12z = -37

Wat zijn nu x, y en z zodat de bovenstaande vergelijkingen correct zijn? Het antwoord zal je vinden door gebruik te maken van matrices. Aangezien deze toepassing zoveel gebruikt wordt zal je deze uitgebreid op school bekijken (of reeds geleerd hebben). Daarom zal ik hier niet te diep op ingaan maar laat ik een andere interessante toepassing zien.

Eerst even kort uitleggen wat een matrix is. Het is een rechthoekig getallenschema,… of dus een verzameling van getallen die in de vorm van een rechthoek neergeschreven staan… enkele voorbeelden:
matrices
Hier is A een 2×3 matrix (want ze heeft 2 rijen en 3 kolommen), B is een 3×2 matrix (want ze heeft 3 rijen en 2 kolommen). C en E zijn 3×3 matrices en D een 2×2 matrix. Zoals we regels hebben geleerd om te rekenen met gewone getallen (hoe we ze optellen en vermenigvuldigen met elkaar,…) bestaan er ook regels voor deze matrices. We kunnen verschillende matrices dus ook met elkaar vermenigvuldigen, optellen, … en kunnen met deze wiskundige voorwerpen dus ook rekenen. Aangezien deze voorwerpen iets complexer zijn dan gewone getallen zullen de rekenregels ook ietsje ingewikkelder zijn.

De toepassing die ik wil uitleggen gebruiken onderzoekers voor het ‘voorspellen’ van het gedrag van natuurlijke systemen, mensen, economische ideeën…en zo veel meer.
Laten we bij wijze van voorbeeld eens bekijken hoe we de bevolking van 3 verschillende steden trachten te voorspellen. We bekijken daarom hoeveel procent van de bevolking van Antwerpen, Leuven en Knokke er jaarlijks naar elkaar verhuizen. Om dit probleem op te lossen gebruiken we 2 matrices. Een 1×3 matrix waarin de aantallen van de bevolking staan.
Laat ons stellen [50 000      20 000     30 000] voor [Antwerpen     Leuven     Knokke]. Laten we dit Matrix A noemen.
In de tweede matrix staan de percentages van de bevolkingsverhuizing in. Ik schrijf ze even als decimale getallen… 0.10 is dus 10%,   0.90 = 90% … enzovoort…
transmatrix
Je kan de matrix als volgt lezen. Op het einde van elk jaar verhuist er bijvoorbeeld 25% VAN Leuven, NAAR Antwerpen. Ook 10% Van Knokke, NAAR Leuven. Er blijft 90% Van de Antwerpenaren in Antwerpen…. Zo kan je dus de gehele matrix verder interpreteren.  Deze matrix noemen we Matrix B.

Het voorspellen van de bevolkingsaantallen voor de komende jaren gebeurt dan als volgt. Op het einde van dit jaar zal er verhuist worden volgens matrix B. Aangezien we Matrix A als begintoestand hebben zal de bevolking volgend jaar als volgt verdeeld zijn:

2014
Een matrix met een andere vermenigvuldigen geeft als oplossing (misschien niet zo verrassend) weer een matrix. In ons geval een 3×1 matrix met volgende waarden: [53 000     14 250     32 750]. Of dus in 2014 zal de bevolking in Antwerpen naar 53 000 zijn gestegen. In leuven en Knokke zullen er respectievelijk 14 250 en 32 750 personen wonen.
We willen weten hoe het binnen 10 jaar zit? Makkelijk, we vermenigvuldigen 10 keer met Matrix B of dus als volgt:

2023
Met als uitkomst [56 912.50     9 0572.53     33 514.97].
Als we nu gigantische matrices A en B maken met de informaties van alle Belgische steden, … kunnen we voor heel onze bevolking de toekomstige volksverdeling voorspellen. Dit is interessant voor ontwerpers van snelwegen, voor de bouwsector, prijzen van huizen,…

map_imigration

Zo voorspellen biologen de migratie van grote scholen vissen of vogels. Economen voorspellen het beleggersprofiel van hun klanten,… Of je kan het zelfs gebruiken om de uitkomst van een gezelschapsspel mee te voorspellen… Dat laatste is dan ook de manier waarop ik het Monopoly spel mee geanalyseerd heb, te lezen in een vorig artikel “REKEN uit, of neem een KANSkaart“.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière

Rekenregels van het leven

Het lijkt misschien een overdreven titel maar ergens kan je jezelf wel de vraag stellen of we wiskunde kunnen gebruiken om de grootste vragen van ons leven te beantwoorden… Het is een discussie waard, maar indien we zulke moeilijke levensvragen willen kunnen oplossen moeten we het probleem eerst vergemakkelijken en trachten te doorgronden. Maar hoe doen we dit nu?

Afbeelding

De meesten kunnen als ze afstuderen machten verheffen en wortels trekken, maar ooit was dit ook een zeer moeilijke vraag die we eerst niet snapten. En om dit te doorgronden moeten we eerst bekijken hoe de basis van onze rekenkunde werkt.
Ooit leerden we als allereerste wiskundige oefening dat 1+1=2, en later dat 1+2=3 enz….. we leerden dus optellen en kort daarna ook aftrekken. Nadien leerde we dat we 1+1 kunnen bekijken als 2×1 (en gelukkig is dit ook gelijk aan 2).Ook is 4+4+4 = 3×4 =12 en we leerden dus aan de hand van optellen hoe vermenigvuldiging werkt. Later zien we dan eindelijk dat 4x4x4 = 4^3 = 64 en leren we hoe op basis van vermenigvuldigen de machtsverheffing werkt.
[ Bij meetkunde leren bijvoorbeeld ook niet meteen over drie dimensies. We beginnen met het idee van een punt en een rechte (1 dimensie), nadien hoe we vier- en driehoeken maken (2 dilmensies). Dan leren we bijvoorbeeld hoe we met 6 vierkanten een kubus te maken (drie dimensies)…. Alles is dus weer opgebouwd op gemakkelijkere, basisconcepten ]
Afbeelding
De vraag is nu dus of we iets dat zó complex is als het leven, kunnen opschrijven in heel simpele basisregels. En kunnen we dan met die basisregels voorspellingen doen over de toekomst of over de evolutie van de mens? En als alles inderdaad volgt uit die basisregels, is er dan wel vrije wil?

Afbeelding

De wiskundige John Conway brak zijn hoofd ook over dit soort vragen en kwam met het volgende idee op de proppen: Stel we hebben een oneindig groot rooster met vakjes waar een cel op kan leven (levende cel is zwart vakje, een dode cel is een wit vakje). We bekijken deze levende en cellen van dag tot dag en we gaan ervan uit dat ze aan volgende simpele regels voldoen.

1. Als een levende cel 2 of 3 buren heeft (buren zijn aangrenzende vakjes zowel boven/onder, links/rechts of diagonaal… elk vakje heeft dus 8 mogelijke buren) leeft het de volgende dag ook nog.
2. Als een levende cel minder dan 2 of meer dan 3 levende buren heeft sterft ze de volgende dag.
3. als een leeg vakje exact 3 levende buren heeft zal er op dit vakje de volgende dag een nieuwe cel ontstaan.

Afbeelding
Met deze drie makkelijke regels kunnen we dus eenvoudig voorspellen op welke vakjes de volgende dag levende cellen zullen zitten, waar er nieuwe geboren worden en waar ze zullen sterven. Als we bovenstaande rooster bekijken weten we bijvoorbeeld dat morgen  D4 zal sterven (want hij heeft minder dan 2 levende buren). K11 zal blijven leven want hij heeft 2 levende buren, en op D1 zal er een cel geboren worden want het vak grenst aan drie levende cellen…..

Op het net vind je vele site’s waar je simulatie vind van “the game of life” zoals de ontdekker Conway het noemt. http://www.emergentuniverse.org/#/life. Ook op iPad/iPhone https://itunes.apple.com/us/app/conways-game-of-life/id327013151?mt=8 of android https://play.google.com/store/apps/details?id=simon.jeu.LeJeuDeLaVie toestellen kan je apps downloaden die dit spel simuleren.
Het is leuk om te ontdekken hoe sommige begintoestanden evolueren na enkele dagen,… sommige situaties sterven uit, anderen blijven onveranderd, je hebt zelfs situaties die eindigen in een levend systeem dat blijft groeien…
Afbeelding
Toegegeven, het vertelt niet meteen iets over ONS leven, maar het is wel handig om inzicht te krijgen in levende organismen. Zo bestuderen wetenschappers ook ratten en muizen DNA om inzicht te krijgen in menselijk DNA… dit DNA bestaat trouwens ook uit enkele eenvoudige basisregels en maakt de meest complexe levende wezens…
John Conway heeft eigenlijk een systeem ontworpen waarvan we de regels kennen. Dit stelt ons in staat voorspellingen van het systeem te doen en net zoals bij de optelling, vermenigvuldiging en machten, steeds moeilijkere vragen te beantwoorden en te bestuderen.
Uitgevonden door een wiskundige wordt “the game of life” nu gebruikt voor onderzoek door biologen, theologe, economen, computerwetenschappers,…

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière, wiskundigen

parabolen: wiskunde vs. moord

Vele studenten denken bij het woord “wiskunde” meteen aan “bewijzen” van stellingen, kort daarop volgt meestal de vraag “waarom moeten we dit in hemelsnaam kennen?”. Wel daar licht nu net de kracht van de wetenschap, alles wat aangeleerd word is onweerlegbaar bewezen en zal vanaf nu tot het einde der tijden waar zijn. Er zijn geen twijfelgevallen of onzekere aannames die later fout kunnen blijken.
Een logisch gevolg is dan ook om wiskunde te gebruiken in onderzoek naar misdadigers of om het als bewijsmateriaal te gebruiken in rechtszaken. En dat wordt dan ook gedaan… We hebben reeds voorbeelden besproken in verband met fraudeurs (Wiskunde vs. belastingontduikers) maar zouden we wiskunde ook kunnen gebruiken voor andere misdrijven zoals moordzaken?
Afbeelding
Het onderwerp dat we nu zullen bekijken is parabolen. Dit zijn functie van de vorm y= ax²+bx+c.
Deze functies komen veel voor in de natuur en het dagelijkse leven, vooral als we beweging van vallende (of springende) objecten bekijken. Laten we enkele voorbeelden bekijken van sprongen, en meteen valt je een patroon op van de baan die de objecten volgen. (allemaal parabolen)
AfbeeldingAfbeelding

Maar hoe gebruiken we deze parabool (en zijn wiskundige vergelijking) nu als bewijsmateriaal in een rechtszaak? Wel vele zaken in verband met “vallen van hoogte” hebben jammer genoeg een dodelijke afloop. Het is dan enkel nog uit te zoeken of dit “vallen” een spijtig ongeluk is, of zelfmoord… en misschien zelfs moord! We zullen even nader bekijken hoe forensische onderzoekers juist te werk gaan.
Afbeelding
Als we springen, bijvoorbeeld van een bergclip in het water, hebben we 2 snelheden: een voorwaartse springsnelheid v, en een neerwaartse valsnelheid g. Voor de voorwaartse beweging hebben we dus (op de x-as):  x = v.t (met t de tijd) of met andere woorden, voorwaartse afstand is de snelheid maal de tijd. Voor de neerwaartse beweging (op de y-as) hebben we y = -(1/2). g. t² (hier is g de valsnelheid veroorzaakt door de zwaartekracht en deze is ongeveer 9.8 m/s²). De reden van het minteken in deze vergelijking is simpelweg omdat we naar beneden, en dus naar de negatieve kant van het assenstelsel, vallen. We weten dus de vergelijkingen voor x en y. Maar aangezien dat we weten dat de afgelegde weg een parabool vormt en x en y zich dus verhouden als x=y² bekomen we uiteindelijk y = -(1/2). g. (x/v)²  .
Afbeelding
Het enige wat je als onderzoeker nu nog nodig hebt zijn de gegevens van de plaats van de feiten. Stel bijvoorbeeld dat het slachtoffer van een bergclip van ongeveer 30 meter hoog viel en zo een 12 meter ver te neerkwam. Met deze gegevens kunnen we nu de snelheid, waarmee het slachtoffer van de berg viel/sprong/werd geduwd berekenen…  In ons voorbeeld komen we uit op 4,8497 m/s of ongeveer 17,46 km/h. Als we dan weten hoeveel aanloop het slachtoffer had, kunnen we nagaan of het deze snelheid op een natuurlijke manier heeft kunnen halen OF het een extra duw in de rug heeft gekregen…
Op deze manier werden in het verleden al mensen veroordeeld tot moord of eventueel vrijgesproken indien bewezen kon worden dat het over een ongeval ging.

DAAROM WISKUNDE!!!!!
Afbeelding

Giedts Tom

1 Comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

kaatsen en nierstenen

Een gebied waarvan je misschien niet meteen verwacht waar wiskunde gebruikt kan worden is de medische wereld. Hoe kunnen we in godsnaam wiskunde gebruiken om mensen te genezen of gezond te maken? De toepassing waar ik het nu over zal hebben begint allemaal met eenvoudige meetkunde.

We weten allemaal dat licht of geluid afkaatst op een muur of spiegel. Waar een afgekaatste lichtstraal naartoe gaat kunnen we makkelijk vinden dankzij meetkunde en het bestuderen van hoeken. In volgende afbeelding staat eenvoudig weergegeven hoe het reflecteren, op een platte spiegel, werkt.
Afbeelding
Links zie je het licht op de spiegel inslaan. Dit gebeurt onder hoek A. Als het licht weer wegkaatst merken we dat dit onder exact dezelfde hoek gebeurt! In de tekening zijn hoek A en hoek B dus gelijk.
Natuurlijk is het niet altijd even eenvoudig te weten waarnaartoe het licht, geluid, of misschien zelfs laserstraal zal kaatsen. In ons voorbeeld gebruikten we namelijk een platte spiegel. Als de spiegel meer bol of hol staat zal het iets moeilijker zijn de richting te achterhalen…
Om één speciaal geval te bekijken nemen we bijvoorbeeld deze cirkelvormige spiegel. De blauwe pijl is een laserstraal, en we vragen ons af in welke richting deze straal zal spiegelen. Afbeelding
Wel om dit op te lossen proberen we als wiskundigen het probleem te herleiden naar iets wat we al weten (want als wiskundige maken we het ons graag zo makkelijk mogelijk). We proberen het probleem dus te herleiden naar het geval van een platte spiegel, want daarvan weten we dat de hoek van inkomend en wegbotsend licht gelijk is. Dit doen we als volgt:
1. we trekken een lijn van het middelpunt naar het punt waar de laserstraal de ronde spiegel raakt.
2. we tekenen de rechte die haaks (met een rechte hoek) op de vorige lijn staat.
Afbeelding

De rechte die we in de tweede stap construeerde is nu eigenlijk onze platte spiegel! Vanaf nu is het probleem dus eigenlijk opgelost want we weten dat de hoek waaronder de straal weg botst gelijk is aan de hoek waarin de straal aankomt. Afbeelding

Voila, we hebben een speciaal geval van afkaatsen gezien. Maar waar gebruiken we dit nu in medische omstandigheden???………

De cirkel was één speciaal geval, maar de figuur die we zullen nodig hebben in de medische toepassing is de ellips. Een ellips is eigenlijk een beetje een plat geduwde cirkel. Een ander verschil is dat de cirkel 1 middelpunt heeft, en de ellips 2 brandpunten (deze bepalen een beetje de vorm van de ellips. Merk trouwens op dat de cirkel eigenlijk een speciaal geval is van de ellips, waar de 2 brandpunten samenvallen en het middelpunt vormen!).

ellips
Nu komt het opmerkelijke! Stel dat de ellips een grote spiegel is, en we schieten een laser af vanuit het brandpunt A, dan kaatst deze ALTIJD af naar het brandpunt B! Met andere woorden, we hoeven niet eens te mikken. Gelijk welke richting we de laser schieten, hij zal altijd afketsen en het punt B raken. Dit zorgt ervoor dat we 100% doelgericht kunnen schieten.
ellips2
Deze toepassing wordt gebruik voor het verbrijzelen van nierstenen. Dit is een aandoening die mensen kunnen krijgen en moet soms op speciale manieren worden verwijdert. Deze nierstenen worden namelijk met een soort ‘laser’ verbrijzeld. Om geen andere vitale delen te raken met de laser is het dus belangrijk om perfect te kunnen richten! Net iets wat we juist geleerd hebben dankzij ellipsen 🙂

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

1 Comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière

Priemfactoren en aliens

Elk getal is te ontbinden in priemfactoren! Wat bedoelen we hiermee, en is het een belangrijke stelling?
Wel, wat we hiermee bedoelen is dat we elk getal kunnen schrijven als het product van priemgetallen… Enkele voorbeelden: 6=2×3, 120=2x2x2x3x5 , 165=3x5x11, 1679=23×73,… Neem gelijk welk getal je wil en je zal zien dat het ofwel zelf een priemgetal is, ofwel een product van andere priemgetallen. De verschillende priemgetallen die we met elkaar vermenigvuldigen noemen we dan de priemfactoren van het getal. Om op het tweede deel van de vraag te antwoorden: deze stelling heet de hoofdstelling van de rekenkunde! ……Vrij belangrijk dus :).
Waar gebruiken we deze stelling/eigenschap nu eigenlijk? Laat ik het even uitleggen en bij het volgende beginnen.

Stel we krijgen een hele reeks kruisjes en bolletjes doorgestuurd, 30 in totaal:
x000xx000xx0x0xx000xx000xx000x
Hoe kunnen we deze nu opschrijven in een tabelvorm (dus in rijen en kolommen)? We mogen zelf kiezen in hoeveel kolommen en rijen… hier zijn enkele mogelijkheden.  (we schrijven de reeks xen en 0en van links naar rechts en als we in de laatste kolom zitten beginnen we terug bij kolom 1 maar dan een rijtje lager)
Afbeelding
Dit zijn slechts enkele voorbeelden… We kunnen ook een tabel nemen van 2 kolommen en 15 rijen, of 15 kolommen en 2 rijen. Zo zijn er voor 30 tekens dus al meteen 6 verschillende manieren om ze in kolommen of rijen te ordenen. Er bestaat een formule om het aantal verschillende manieren te vinden, maar dit zou ons alweer te ver leiden… Wel kan ik zeggen dat het aantal manieren afhangt van de hoeveelheid en verscheidenheid van zijn priemfactoren…

Stel nu dat een getal 2 verschillende priemfactoren A en B heeft, (zoals 1679=23 x 73). Dan zijn er altijd slechts 2 manieren om ze in tabelvorm te gooien: A kolommen en B rijen, óf B kolommen en A rijen. En het is deze laatste eigenschap die we gebruiken voor een weer heel verrassende maar enorm coole toepassing:

Afbeelding

Wetenschappers zoeken al lang contact met buitenaardse wezens, en ze zochten een manier om een eenvoudige afbeelding met zoveel mogelijk informatie over de mensheid, door te seinen naar de ruimte. Na lang nadenken hadden wiskundige de perfecte oplossing gevonden die gebruik maakt van vorige eigenschap, en het feit dat je met behulp van slechts enkele witte en zwarte vakjes, eenvoudige dingen duidelijk kan maken…
Nu zijn witte en zwarte blokjes wel moeilijk in de ruimte te sturen,… Wat makkelijker is zijn ééntjes en nulletjes. Met dit idee is de volgende boodschap is in 1974 de ruimte ingeseind (de zogenaamde arecibo-boodschap):

00000010101010000000000001010000010100000001001000100010001001011001010101010101010100100100000000000000000000000000000000000001100000000000000000001101000000000000000000011010000000000000000001010100000000000000000011111000000000000000000000000000000001100001110001100001100010000000000000110010000110100011000110000110101111101111101111101111100000000000000000000000000100000000000000000100000000000000000000000000001000000000000000001111110000000000000111110000000000000000000000011000011000011100011000100000001000000000100001101000011000111001101011111011111011111011111000000000000000000000000001000000110000000001000000000001100000000000000010000011000000000011111100000110000001111100000000001100000000000001000000001000000001000001000000110000000100000001100001100000010000000000110001000011000000000000000110011000000000000011000100001100000000011000011000000100000001000000100000000100000100000001100000000100010000000011000000001000100000000010000000100000100000001000000010000000100000000000011000000000110000000011000000000100011101011000000000001000000010000000000000010000011111000000000000100001011101001011011000000100111001001111111011100001110000011011100000000010100000111011001000000101000001111110010000001010000011000000100000110110000000000000000000000000000000000011100000100000000000000111010100010101010101001110000000001010101000000000000000010100000000000000111110000000000000000111111111000000000000111000000011100000000011000000000001100000001101000000000101100000110011000000011001100001000101000001010001000010001001000100100010000000010001010001000000000000100001000010000000000001000000000100000000000000100101000000000001111001111101001111000

Op het eerste zicht lijkt dit een zinloze reeks van 1679 = 23 x 73 cijfers. Maar het volgende gebeurt als we ze in tabelvorm gieten. We hebben 2 keuzes: 23 kolommen en 73 rijen, of 73 kolommen en 23 rijen. Als we de eerste mogelijkheid testen krijgen we, als we voor “1” een zwart blokje en voor “0” een wit blokje nemen, de volgende tekening.

Afbeelding Afbeelding

Deze tekening (linkse foto) is de boodschap die wetenschappers door middel van ééntjes en nulletjes doorsturen…  De rechtse foto staat in kleur om duidelijk de verschillende delen van de boodschap te onderscheiden (Let wel dat de boodschap natuurlijk niet in kleur is verstuurd).
De boodschap bezit verschillende belangrijke aardse concepten zoals de vorm van de mens (rood), de bouw van DNA (lauw), binaire getallen (bovenaan wit),….
Om de exacte informatie van de boodschap te bekijken kan je op deze website terecht http://nl.wikipedia.org/wiki/Areciboboodschap.

De Aliens kunnen zich maar op 1 manier vergissen door 73 kolommen en 23 rijen te nemen maar dan krijgen ze dit resultaat (voor de duidelijkheid ook weer even met dezelfde kleuren).
Afbeelding

We hopen dat de buitenaardse ontvangers van ons bericht toch slim genoeg zijn om beide mogelijkheden te proberen en te merken dat de eerste de juiste is. Dankzij priemgetallen te bestuderen is de hoeveelheid manieren waarop de aliens zich kunnen vergissen toch geminimaliseerd tot 1 manier!!!

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

En nu maar wachten op antwoord… 

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

hoe oud, hoe koud, en hoeveel beestjes?

“”Ik rond in deze tekst veel getallen af, en laat veel details ongemoeid omdat anders alles te ingewikkeld zou worden. Maar door de grote lijnen uit te leggen zie je toch maar weer waarom wiskundige ideeën zo belangrijk zijn in het dagelijkse gebruik!””

De meeste bewerkingen zijn gemakkelijk om te keren. Als we de vermenigvuldiging om willen keren krijgen we een deling. Stel we weten dat A*B=C. Hoe kunnen we nu als B en C gegeven zijn, de waarde van A te weten komen? … We veranderen de gegeven vermenigvuldiging in een deling namelijk C/B=A.
Ook bij de optelling is het makkelijk de bewerking om te keren. Stel A+B=C. Hoe kunnen we nu als weer B en C gegeven zijn, de waarde van A terugvinden? … Wel C-B=A

Maar hoe zit het met een formule zoals B= C. Stel nu dat B en C gegeven zijn… hoe vinden we nu het getal A? Wel daar bestaat natuurlijk ook een bewerking voor, namelijk de logaritmen… Hmmm, vreemd woord. Wat wil dit nu eigenlijk zeggen???
Stel we hebben nog steeds B= C. Dan zouden we om A te vinden het volgende kunnen doen Log(C) = A (Dit lees je eigenlijk als “tot welke macht moet ik B heffen om C uit te komen?“). Zo zal bijvoorbeeld   Log10 (1000) = 3, want we moeten 10 tot de 3de macht heffen om 1000 te  bekomen. Log2 (32) = 5, want we moeten 2 tot de 5de macht heffen om 32 te  bekomen….
Net zoals bij andere bewerkingen gelden er voor de logaritmen nog meerdere rekenregels… Maar dat is voer voor een ander artikel.
Afbeelding

Worden deze dingen (logaritmen) nu wel gebruikt? Met andere woorden: is de vraag “tot welke macht moet ik B heffen om C uit te komen?” een vraag die we ons als wiskundigen veel stellen?
Eigenlijk komt de vraag veel meer voor dan we zouden denken. In vele uiteenlopende situaties maken we gebruik van logaritmen.

Ik begin even met een heel eenvoudig voorbeeld. Stel ik neem 2 beestjes en zet ze in een afgesloten omgeving (bijvoorbeeld 2 sprinkhanen in een schoendoos). Stel dat de sprinkhanen zich enorm snel voortplanten en elke dag verdubbelen in aantal! Vandaag zijn het er 2, morgen 4, overmorgen 8, op dag vier zijn het er 16, op dag vijf zijn het er 32… We merken dus dat we na dag X precies 2beestjes hebben.
Afbeelding
Stel nu, ik kijk op een gegeven dag in mijn schoendoos en ik vind 256 sprinkhanen… hoeveel dagen heeft dit geduurd?  OPLOSSING: GEBRUIK LOGARITMEN
Log2 (256) = 8. Als we 1024 beestjes vinden dan zijn we Log2 (1024) = 10 dagen verder…
Afbeelding
Oké, ik geef het toe dit was misschien een heel eenvoudige toepassing en het is onwaarschijnlijk dat deze situatie zich echt zou voordoen… Welke toepassingen gebruiken we nu echt?

Wel archeologen gebruiken logaritmen ook als ze willen bepalen hoe oud sommige opgravingen zijn…In alles en iedereen die je tegenkomt zit namelijk een bepaalde stof die stilletjes aan afneemt… En de snelheid waarmee ze afneemt of zelfs halveert wordt uitgedrukt in een aantal jaar
Bijvoorbeeld de aanwezigheid van de hoeveelheid chemische stof “strontium” zal elke 28 jaar halveren. Als er vandaag 1 kilo in mijn beenderen zit, dan zit er 28 jaar later maar een halve kilo, en binnen 56 (2×28) jaar maar 250 gram. Binnen 84 (3×28) jaar 125 gram…
Afbeelding

Stel een archeoloog vind mijn lichaam en in mijn beenderen meet hij 31,25 gram (1/32 van een kilo) strontium. Hoe oud zijn mijn beenderen nu? OPLOSSING: GEBRUIK LOGARITMEN
Ik zal precies  28 x  Log(1/2) (1/32) = 140 jaar zijn.

Afbeelding
Ook politie-inspecteurs gebruiken de logaritmen als ze willen bepalen hoelang een persoon overleden is! Elke persoon heeft een lichaamstemperatuur van ongeveer 37°C. Als we sterven neemt onze temperatuur af. Bijvoorbeeld: Elk uur halveert onze temperatuur. na 1 uur zijn we bijvoorbeeld 17,5°C. Na 2 uur ongeveer 8,25°C,…
Ze gebruiken deze technieken natuurlijk niet altijd. Maar bijvoorbeeld bij moordzaken worden de logaritmen gebruikt om te weten te komen hoelang de misdaad gepleegd is en hoever de dader mogelijk al kon vluchten…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

Pythagoras vs. Fermat

Afbeelding
Ik denk dat ik de eerste persoon niet meer hoef voor te stellen… Deze wiskundige (572 – 500 v.Chr.) ontdekte de bekende verhouding tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Naast deze ontdekking kan er nog ontzettend veel over de man verteld worden. Zo leidde hij zelfs een sekte waar geloofd werd in zielsverhuizing, ze gaven verschillende getallen een speciale symboliek (4 was recht, 5 is huwelijk, 10 is perfectie,…)… Oh ja, misschien een van de vreemdste regels, ze mochten ook geen bonen eten van Pythagoras…
De geleerde stelde getallen boven alles en dacht dat heel het universum met gehele getallen te beschrijven was. Hij zou gek geworden zijn van het feit dat √2, zoals andere irrationale getallen, niet te schrijven is als een breuk van gehele getallen.

Maar zoals gezegd kennen we hem allemaal van zijn alom bekende stelling:
Afbeelding

Nadat Pythagoras ze zelf bewees, is ze nog door honderden andere bewezen op verschillende manieren… Deze stelling is de basis van ALLE meetkunde! Duizenden wiskundige bewijzen maken gebruik van de eigenschap, en de ervan toepassingen zijn ontelbaar. Denk maar aan alles wat met meetkunde te maken heeft… Atlassen, GPS, oppervlakte berekenen, driehoeksmeetkunde, … Een belangrijk, niet zo verrassend, gevolg van de stelling is dat de rechte die 2 punten verbindt, steeds te kortste weg is tussen die 2 punten… In ons voorbeeld is dus de kortste weg tussen de groene en rode ster, de rechte c. We maken altijd een omweg als we eerst via de blauwe ster zouden wandelen (tenzij de blauwe ster op de rechte c ligt natuurlijk). Als onze snelheid overal dezelfde is dan is de kortste weg trouwens ook de snelste…
Afbeelding
Maar daar komt Fermat (1601-1665) op de proppen! Hij was een Franse rechter die zich in zijn vrije tijd bezighield met het oplossen van wiskundige puzzels. Fermat is misschien iets minder bekend dan Pythagoras, maar toch is er een enorm belangrijk probleem naar hem vernoemd. Dit probleem had de naam “de laatste stelling van Fermat”. Het draagt deze naam omdat het de laatste stelling was die Fermat bestudeerde, waar moderne wiskundige geen antwoord op vonden. Maar zo’n 15 jaar geleden is het aloude probleem dan eindelijk opgelost… (Het probleem was 300 jaar onopgelost!!!). De fransman beweerde in één van zijn notitie’s het probleem te hebben opgelost, maar hij heeft wellicht een fout gemaakt. Experts beweren dat de wiskunde van die tijd niet ver genoeg zou gestaan hebben om zulk resultaat te bekomen.
De stelling gaat ongeveer als volgt (let vooral op de overeenkomst met de stelling van Pythagoras): “kan je voor gelijk welke waarde van n, drie getallen x, y en z invullen, zodat de volgende formule klopt?” Afbeelding
Wel we merkten al snel dat dit klopt als n = 1. dit komt dan gewoon overeen met optelling zoals we in de lessen zien. Ook als n = 2 kunnen we getallen vinden die de formule doen kloppen, want dan is ze eigenlijk dezelfde als de stelling van Pythagoras… maar wat nu als n groter is dan 2?
Wel het is dus bewezen dat als n > 2, de formule nooit kan kloppen. Gelijk welke waarden je invult op de plaatsen van x, y en z… de formule zal nooit uitkomen…

Zo zie je hoe Fermat alles een beetje moeilijker maakt dan Pythagoras. Hij past zijn stelling een beetje aan en plots wordt het bewijs aartsmoeilijk… (300 jaar zoekwerk, en een bewijs van meer dan 100 pagina’s !!!). Maar ook wil hij de eigenschap van de kortste weg een beetje moeilijker maken… Stel bijvoorbeeld dat je zo snel mogelijk op een punt moet geraken, maar dat je eerst door zand en daarna door water moet om je bestemming te bereiken. Onze snelheid is op zand niet dezelfde als die van in het water, en de berekening van de kortste weg word dus ingewikkelder…
Afbeelding Wat is nu de snelste weg om van de groene ster in het zand, naar de rode ster in het water te komen? Is de kortste weg (A) dan ook nog gelijk aan de snelste? Moeten we zo snel mogelijk te water en dan zwemmen (B), of eerst zo ver mogelijk lopen en dan pas zwemmen (C). Of is het misschien iets tussenbeide (D).
Ook hierover brak Fermat zijn hoofd, ook dit keer beweerde hij het probleem te hebben opgelost… Maar dit keer beweerde hij dit terecht. Zijn oplossing noemt daarom ook nog steeds “het principe van Fermat”. De snelste manier zal manier (D) zijn. Je moet enkel berekenen waar het punt ligt waar je van land naar water overgaat, (deze berekeningen zijn niet zo moeilijk en leer je zeker nog in het middelbaar) en klaar is kees.
Interessant is dat honden dit principe blijkbaar ook kennen. Als je een bal gooit in een vijver of meer, dan zal de hond deze ook zo snel als hij kan terughalen. Ook hij gebruikt daarom het principe van de snelste weg volgens optie (D)… Honden voelen daarbij blijkbaar vanzelf aan waar hij van land in het water moet springen om zo snel mogelijk aan de bal te geraken!
Afbeelding

Ook mieren gebruiken dit concept en weten blijkbaar (zonder dat ze berekeningen hoeven te doen) waar ze van de ene ondergrond naar de andere (vb. van gras naar modder) moeten om zo snel mogelijk bij hun voedsel te komen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

4 Comments

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundigen