Category Archives: wiskunde in het casino

NIEUWE SCHOOLJAAR (waarom leer ik wiskunde op school?)

Voor velen van jullie is het alweer zover… je zit terug op de schoolbanken.
Frans, Nederlands, Aardrijkskunde, Geschiedenis,… en voor velen het minst favoriete, Wiskunde.

Waarom leren we dat het getal PI niet als een breuk geschreven kan worden???
Als 2x² + 5x -1 = 41 … dan is x = 3,5 … Wanneer zal ik dit gebruiken in het dagelijkse leven???
Wat maakt het uit dat een functie stijgend of dalend is, en waarom is het nuttig dat ik weet hoe ik een functie moet afleiden???
???

Zo kan ik wel nog even doorgaan, en misschien zit je zelf wel met enkele van deze of soortgelijke vragen.
Wel, in dat geval stuur je ze maar door naar waaromwiskunde@hotmail.com .
Ik zal laten zien dat voor elk, op het eerste zicht nutteloos, concept of onderwerp waarover je in wiskunde leert,
echt wel een nuttige, leuke, verrassende of veelgebruikte toepassing is.

Alle vragen of opmerkingen zijn welkom!
waaromwiskunde@hotmail.com

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, experiment in 3 stappen, Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, wiskunde in de natuur, wiskunde in het casino, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

Wanneer moet ik meespelen om te winnen?

We hebben hier reeds bekeken hoe het juist zit met je kansen voor het spel Euromillions. Maar we kunnen ons natuurlijk afvragen vanaf welke jackpot het interessant is om mee te spelen….. Sommige Jackpots stijgen namelijk voor de volgende trekking, indien ze niet gewonnen zijn door een deelnemer.
Het feit dat een jackpot stijgt zorgt er niet voor dat je kans op een winnende combinatie zal verbeteren, maar de gemiddelde waarde van je winst stijgt wel…. Hmmm dit lijkt wat vreemd, laten we het aantonen met een voorbeeld van een ander kansspel van de Nationale Loterij… JOKER+

Afbeelding

De spelregels zijn als volgt: Voor 1,5€ kan je een ticket kopen, dan kies je voor zes vakjes een cijfer tussen 0 en 9, en in het laatste vakjes kies je 1 van de 12 sterrenbeelden. Er zijn dus 10x10x10x10x10x10x12 = 12.000.000 mogelijke combinaties. De winstverdeling kan je aflezen uit de volgende tabel, die je terug kan vinden op de site van de Nationale Loterij:Afbeelding

Ook is het bij dit spel interessant om te weten dat je met 1 ticket meerdere prijzen kan winnen… Als je bijvoorbeeld het eerste cijfer, de laatste 2 cijfer én sterrenbeeld juist raadde, dan win je 2€ + 5€ +1.5€ = 8.5€ enzovoort.
Wat is nu je gemiddelde winst indien je een ticket koopt, of met andere woorden, hoeveel is je ticket eigenlijk waard? Een manier waarop je dit na kan gaan, is door te stellen dat we elke mogelijke combinatie spelen (en dus 12.000.000 te moeten kopen). We zullen nu 100% zeker alle prijzen winnen! Als we dan onze totale winst delen door het totale aantal biljetten (12.000.000), krijgen we de gemiddelde waarde van 1 ticket. In de volgende tabel heb ik even alle mogelijke combinaties neergeschreven: (met de notatie 2*3 bedoel ik dat de eerste 2 getallen en de 3 laatste getallen kloppen,… enzovoort…). Merk ook op dat als je bijvoorbeeld enkel het sterrenbeeld juist hebt, je winst 0 euro zal zijn in plaats van 1,5€… (je wint wel 1,5€ maar je ticket kostte 1,5€)

AfbeeldingOmgerekend is dus elk ticket, (dat ons 1,5 euro kost per stuk kost!) slechts 0.7499 of ongeveer 0.75€ waard, wat slechts de helft is van de aankoopprijs!!!
Nu is het wel zo, dat als de jackpot (sterrenbeeld + 6 juiste cijfers) van 200.000€ niet gewonnen word tegen het einde van de week, dan wordt deze met 75.000€ verhoogt. Telkens deze pot niet wordt uitbetaald, zal je dus meer kunnen winnen… en dus de gemiddelde winst zal stijgen, … en dus ook de gemiddelde waarde van je ticket.

We kunnen zelfs uitrekenen met hoeveel de jackpot moet stijgen vooraleer we winst maken! Het blijkt dat de pot moet groeien tot meer dan 9.200.000€ ! Pas als hij dit bedrag zou halen is ons ticket dat we 1,5€ betalen ook 1.5€ waard, indien het over de 9.200.000€ uitgroeit, zal ons ticket meer waard zijn dan we ervoor betaalden. Dit gebeurt echter pas na 120 weken…..
Nogmaals, dit zijn 120 weken waarbij Jackpot stijgt, en dus niet gewonnen mag worden…

Afbeelding

Je kan dit volledige proces ook overnemen voor het spel Euromillions (2€ inzet). Hier is het echter moeilijker dan bij het vorige spel. Bij JOKER liggen de meeste winstbedragen vast (enkel de Jackpot is variabel…), terwijl bij Euromillions de prijzen afhangen van de gespeelde inzet voor die trekking. Ook hangt je gewonnen winst af van het aantal winnaars, want je zal hier je winst moeten delen (als er bijvoorbeeld 3 mensen winnen met een jackpot van 90 miljoen, zal elke speler ‘slechts’ 30 miljoen ontvangen). Het wordt dus al snel ingewikkeld, en vrij onmogelijk om correcte voorspellingen doen over de waarde van je ticket.

Wat we wel kunnen doen is eens kijken naar vorige trekkingen… Ik heb even de spelen met grootste jackpots op een rijtje gezet: Als de jackpot stijgt, spelen er meer spelers mee, waardoor de speelpot stijgt… waardoor de gemiddelde winst stijgt,… zodat de gemiddelde waarde van je ticket stijgt… Je ziet bijvoorbeeld dat bij de trekking van 12 juli (toen er ruim 185 miljoen euro te winnen was) je een ticket kon kopen voor 2€ terwijl het eigenlijk 2.57€ waard was!

Afbeelding

Je zal nooit honderd procent zeker zijn dat je met een deelnemend ticket de een grote geldprijs zal winnen, maar je kan altijd wel de wiskunde gebruiken om je beste winstkansen af te wachten om mee te spelen. Bij Euromillions kan je best wachten tot een heel grote pot, omdat er dan meer mensen hun kans wagen, en zo de prijzenpot verhogen, terwijl je bij joker perfect kan voorspellen wat je ticket-waarde zal zijn.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Afbeelding

2 Comments

July 27, 2013 · 4:47 pm

het televisieshow-probleem

Je zou het (zoals bij vele benamingen voor bekende wiskundige problemen) niet meteen linken met het vak, maar toch is dit weer een wiskundig op te lossen probleem. Het is een van de bekendste problemen en de kans is groot dat je er op een of andere manier al van hoorde. De reden waarom dit probleem zo dikwijls wordt besproken of uitgelegd, is dat ze weer zo tegen ons gezond verstand inspeelt.
Het probleem gaat als volgt:

Stel je komt op een televisieprogramma en je schopt het tot in de finale en slaagt er zelf in te winnen! De presentator stelt je nu voor de keuze om je hoofdprijs in ontvangst te nemen. Je mag kiezen tussen 3 deuren… Achter 1 deur zit een peperdure sportwagen, achter de andere 2 een geit. Het is aan jou om nu een keuze te maken… Je moet gokken en je kiest bijvoorbeeld voor deur 3.
Nu helpt de presentator je een beetje! Nadat je (in ons voorbeeld) deur 3 gekozen hebt toont de presentator een van de deuren waarvoor je niet koos. Hij weet natuurlijk al vanaf het begin achter welke deur de auto en geiten staan, en hij zal je steeds een verliezende deur (dus met een geit) tonen. Nadat hij deze verliezende deur opende (bijvoorbeeld deur 1) geeft hij je de kans om nog van mening te veranderen…. je mag nu dus nog veranderen naar deur 2, of blijven bij je eerste keuze namelijk deur 3.
En dan komt dus de hamvraag… ??? Wat is nu wiskundig het interessantste, blijf je bij je eerste keuze (deur 3) of verander je van gedacht (je neemt deur 2) ???

cups

Wel we kunnen wiskundig aantonen dat we van keuze moeten veranderen! In 2/3 van de gevallen zullen we beter zijn met het wisselen van deur, dan dat we bij ons originele idee zouden blijven (wat slechts in 1/3 van de gevallen een winnende keuze zou zijn). We kunnen dit heel eenvoudig tonen door de drie situatie af te gaan… Stel dat de prijzen zijn verdeeld zoals in bovenstaande afbeelding:

Hier zijn de drie verschillende situaties, en we bespelen ze met onze wiskundig interessante strategie. namelijk die waarbij we steeds van keuze zullen veranderen!
winnend

We merken dat we van de drie situaties dus 2 keer de wagen zullen winnen!
Om mensen die nog niet overtuigd zijn toch over de streep te helpen, laat ik je nog even de andere situatie zien. Met andere woorden hier volgt de strategie waarbij we bij onze eerste keuze zullen blijven:

verliezen

Hier hebben we slechts 1 maal de auto gewonnen! Indien je nog niet overtuigd bent moet je thuis maar eens een rollenspel spelen en de
situatie een 30 keer uitvoeren… Je zal merken dat je bij afloop (als je de juiste strategie gebruikt!) meer auto’s zal gewonnen hebben.

monty hall
Dit is trouwens allemaal gebaseerd op een echt bestaand televisie programma (Let’s make a deal)  van de jaren 1970-1991 dat gepresenteerd werd door Monty Hall (vandaar dat het probleem ook wel eens het Monty-Hall-probleem genoemd wordt). Vele deelnemers hebben destijds een wagen aan hun neus zien voorbijgaan omdat ze de wiskunde achter het probleem niet kende!!!

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

 

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in het casino

Las Vegas, here we come !!!

Las Vegas is dé stad waar je eens een gokje kan wagen in één van de vele casino’s die de stad rijk is. De meeste bezoekers van zulke casino’s komen echter armer buiten dan toen ze er aankwamen. Kunnen we met wiskunde een systeem uitwerken waarmee we zeker zijn dat we zullen winnen? Wel ja en nee … ik leg het even uit…

roulette1

Er bestaan meerdere theorieën of manieren waar je wiskunde zou kunnen gebruiken om je inzet te bepalen. Degene die hier besproken wordt is het martingale-systeem. Stel je gooit een munt op en je gokt erom of deze op kop of munt zal landen… Als je juist raad krijg je het dubbele van je inzet terug, als je verliest krijg je niets. Het idee van martingale is dat we de eerste maal dat we gokken een basisbedrag inzetten, bijvoorbeeld  1€. Als we winnen geeft de bank ons 2€ en hebben we dus 1€ winst gemaakt. In dit geval  is ook de volgende inzet 1€, … zolang we blijven winnen trouwens blijven we dit basisbedrag inzetten.
Als we verliezen moeten we, om het martingale-systeem te volgen, voor de volgende gok onze inzet verdubbelen. Met andere woorden zetten we nu 2€ in. Als we weer verliezen zetten we de keer erna weer het dubbele in, dus 4€….. Zo blijven we bij verlies onze inzet verdubbelen. Bij winst gaan we weer terug naar een inzet van 1 euro.
inzet
Oké, bij winnen 1€ inzet, bij verlies verdubbelen… Hoe komt het dat we nu altijd winnen met dit systeem???
Je kan het makkelijk narekenen, telkens we een gok winnen zal de winst 1 euro zijn! enkele voorbeelden, stel het volgende win/verlies patroon: verlies, verlies, win. de inzet was de eerste keer 1 euro, de tweede maal 2 euro (want we verloren dus moeten het dubbele inzetten), de derde maal zetten we weer het dubbele in, 4 euro. Maar dat spel winnen we dus de bank betaalt ons 8 euro uit. Even kijken wat dit in het totaal is: 1+2+4 = 7 euro inzet, 8 euro gewonnen: resultaat is 1 euro winst!
Een tweede voorbeeld: verlies, verlies, verlies, verlies, verlies, winst. We reken even na hoeveel we steeds moesten inzetten en wat de winst is:  1+2+4+8+16 =31 euro inzet, 32 euro gewonnen (want winnende beurt had een inzet van 16 euro). weer is het resultaat 1 euro winst.

martingale

Het systeem werkt dus aangezien we, hoeveel beurten we ook verliezen, we eens we 1 beurt winnen, al de vorige inzetten terugwinnen en zelfs een euro winst boeken… Waarom zei ik in mijn inleiding dan “ja en nee”? Er zijn enkele problemen met het systeem. Het belangrijkste minpuntje zijn wijzelf, als mensen. Bij het gokken schakelen steeds te veel onze gevoelens en intuïtie in. Als we na 10 keer verliezen al 512 euro moeten inzetten (terwijl we weten dat we maar 1 euro winst maken als we winnen) durven veel mensen het systeem niet meer te volgen en zetten ze liever minder in (waardoor het systeem dus faalt).
Probleem nummer twee is dat we natuurlijk ook genoeg begingeld moeten hebben om dit systeem te kunnen blijven toepassen… als we slechts 100 euro hebben, en we verliezen 6 keer op rij dan hebben we al niet meer genoeg startgeld om voor het 7de spelletje in te zetten. 

winning

Theoretisch gezien, als we onze gevoelens kunnen uitschakelen en genoeg geld hebben om in te blijven zitten, dan werkt het systeem en zullen we telkens we een gok winnen 1€ winst maken.   

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

1 Comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in het casino, wiskundige carrière