Category Archives: Wiskunde vs. Misdaad

Letters raden met rekenkundig trucje

Er komen weer koude dagen aan. Een goede reden om thuis te blijven en de gezelschapsspelen nog eens uit de kast te halen. Maar als je niet meteen een gezelschap hebt liggen, of je hebt geen zin om het te zoeken op zolder… dan bestaan er leuke spelletjes waar je enkel pen en papier voor nodig hebt. OXO, zeeslag, pictionary,… allemaal spellen die je met deze 2 eenvoudige voorwerpen kan spelen. Maar ook Galgje, of Hangman zoals het in sommige regionen genoemd wordt.
galg
Het doel van het spel is eenvoudig, … raad het woord. Nadat de uitdager een willekeurig woord gekozen heeft, en verteld uit hoeveel letters dit woord bestaat, is het aan de andere speler(s) om beurtelings een letter te gokken. Indien de letter in het woord voorkomt vertelt de uitdager op welke positie(s), en worden andere letters geraden… Indien men een letter gokt die niet voorkomt verlies je een leven. Op het begin van het spel spreek je normaal gezien af met hoeveel levens je begint.
De naam galgje of hangman is eigenlijk een knipoog naar de manier waarop het aantal levens wordt weergegeven. Telkens je een leven verliest tekent de uitdager een lijntje meer op zijn tekening van een opgehangen stokmannetje. Als de tekening af voor het woord geraden is, wint de uitdager.
galgje
Inderdaad, je vergist je niet. Dit is een taalspelletje, heeft dit dan wel plaats op een wiskundeblog?
De reden waarom ik dit aanhaal op deze blog is omdat je door wiskunde te gebruiken, een licht voordeel kan hebben in dit spelletje. Zoals het in dit soort spelletjes meestal gaat, moet je een beetje geluk hebben omdat je moet gokken, letters meer bepaald. In dit geval gaat het echter over bestaande woorden waardoor je gericht kan gokken. Stel dat je bijvoorbeeld nog 1 gok mag wagen en je hebt reeds het  S_HOEN. Een berekende gok is dan een C, omdat de lettercombinatie “sch” dikwijls voorkomt in de Nederlandse taal. Zo zal je in dit geval niet snel de letter X gokken, want (zover ik weet) bestaat er geen woord met de lettercombinatie “sxh”. Eigenlijk is het zelden een goed idee om de letter x te gokken aangezien die in zeer weinig Nederlandse woorden voorkomt.

schoen
Wat is dan wel een goede gok? Wel, de klinker E zou een zeer goede eerste keuze zijn aangezien deze het meeste voorkomt… Bijna 19% van de gebruikte letters in onze taal is de letter E.  De rest van de top 3 wordt aangevuld door de letter N op plaats 2 (+/- 10%), en op 3 met ongeveer 7.5% staat letter A. Door deze statistieken te gebruiken kan je dus een berekende gok maken. HIER heb je de volledige lijst van de frequentie van letters in onze taal. Elke letter heeft dus een andere kans om voor te komen, in tegenstelling tot een dobbelsteen waarbij elke waarde van 1 tot en met 6 evenveel namelijk 16.66% kans heeft om voor te komen.

Indien je een krant en tijd te teveel hebt, kan je van één pagina eens de letters tellen. Ongetwijfeld komen de frequenties dichtbij de gegeven tabel. (In het artikel “Wiskunde vs. belastingontduikers” deden we een soortgelijk experiment maar dan met getallen.)
scrabble
Ook Scrabble maakt gebruik van zulke letterfrequentie-lijstjes… Zo zal je merken dat de letters die hoog scoren in deze lijst, een lage puntenwaarde hebben. Minder voorkomende letters zoals Q en X hebben een hogere waarde aangezien het moeilijker is om hier woorden mee te vormen.

Dit idee werd ook gebruikt door codekrakers die in de 19de eeuw de Vigenère code kraakten. Deze code werd reeds gebruikt in de 16de eeuw en werd zeer lang als ‘onbreekbaar’ beschouwd. Maar uiteindelijk werd deze gekraakt met net dezelfde methode als waarmee je je galgje-talent kan verbeteren. De code werkte als volgt: om een tekst te coderen werd elke letter vervangen door een andere letter, de A wordt een H, de B een O, … je kan zelf kiezen in welke letter je welke verandert, zolang er maar een 1 – 1 verband is. Hiermee bedoel ik dat A  steeds verandert in dezelfde gekozen letter, in ons voorbeeld een H, en andersom is er geen ander letter die in een H verandert.  In totaal kan de sleutel er als volgt uitzien:
vigenere
Hoe kunnen we deze code nu kraken? Zoals gezegd maken we wederom gebruik van de frequentie van de letters. Als we met deze versleuteling een tekst schrijven, zal de letter B voor ongeveer 19% voorkomen, want deze letter vergvangde de letter E, de letter I zal 10% voorkomen want deze vergvangde letter N….. Zo werken we al de klinkers en medeklinkers af. Hier en daar moet je wel even logisch nadenken. Het blijft een kansrekening en dus de lijst kan altijd een beetje afwijken. Het is bijvoorbeeld mogelijk dat in de te ontcijferen tekst de verdeling van de letters ietsje anders ligt waardoor het einde van de ranglijst een beetje door elkaar geschud is… maar de top 10 zal zeer waarschijnlijk hetzelfde zijn. Indien je deze ontcijferd hebt zal je al een groot deel van de tekst kunnen lezen.
Als de tekst slechts uit enkele woorden bestaat is het natuurlijk moeilijker om de tekst te ontcijferen aangezien de frequenties dan meer zullen afwijken van de algemene. Hoe groter de tekst, hoe beter ze de tabel zal benaderen.
Dit is net zoals bij de dobbelsteen. Als je 6 keer gooit met een dobbelsteen en opschrijft welke waarden gevallen zijn, zal het niet onwaarschijnlijk zijn dat niet elk getal exact 1 maal (16.66%) voorgekomen is. Als je echter 100 of 10000 keer zal werpen, zal je grafiek al meer naar 16.66% per waarde neigen. Dit noemen we “de wet van de grote getallen” maar dat is weer voer voor een andere tekst.

Leer de top 10 van de tabel van letterfrequenties van buiten (enkel de volgorde, de procenten hoef je niet uit je hoofd te kennen), en gebruik hem bij het raden van letters bij je volgende galgje spel.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad

wiskundige doorbraken en spionage

Diegenen die de afgelopen weken het nieuws een beetje gevolgd hebben kunnen het niet gemist hebben… Van overal ter wereld duiken er berichten op omtrent afluisterpraktijken van de Amerikaanse geheime dienst NSA. Niet enkel politieke (bijvoorbeeld Duits bondskanselier Angela Merkel) en religieuze (Paus Fransiscus) leiders worden bespioneerd, maar zelfs dagelijks e-mail verkeer van u en ik zou door hen kunnen worden nagelezen… Dit zou allemaal wel eens de oorzaak kunnen zijn van mogelijk de grootste wiskundige doorbraak in jaren.

Afbeelding

Nu we met zijn allen berichten en gegevens versturen over het internet, is het natuurlijk belangrijk om deze informatie te kunnen beschermen. Sommige mails kunnen namelijk geheime of persoonlijke informatie bevatten. Of denk maar aan de miljoenen mensen die hun bankzaken online verrichten! Ook voor bedrijven die miljoenen investeren in onderzoek naar nieuwe producten en niet willen dat concurrenten gratis aan de plannen van hun nieuwe uitvindingen kunnen geraken, is online beveiliging ontzettend belangrijk. Zo kunnen we nog wel even doorgaan met het geven van toepassingen en voorbeelden om het belang van online security te benadrukken. Maar laten we liever eens bekijken hoe deze beveiliging nu juist gebeurt…
Afbeelding
Toen we als tieners een geheime boodschap wilden doorgeven gebruikten we dikwijls makkelijke en zeer snel te kraken codes. De bekendste is allicht het vervangen van een letter door een cijfer… a=1, b=2, c=3, … y=25 en z=26. Op deze manier zal de het woord “blog” dus veranderen in “2 12 15 7”.
Na enkele tijd hadden we door dat dit maar een heel naïeve manier was om onze tekst geheim te houden en bedachten we “een verbetering”. Na het omvormen van letter naar getal, telden we er een constante bij op, bijvoorbeeld +3. met andere woorden “a” wordt eerst “1” en dan doen we +3, en “a” wordt dus gelijk aan “4”, b=5, c=6, … het woord “blog” zal nu dus worden “5 15 18 10”.
Belangrijk is natuurlijk dat diegene voor wie het bericht bestemd is, weet dat je steeds +3 deed! Anders zal hij dit bericht niet kunnen ontcijferen.

Om een bericht veilig te versturen hebben we dus 3 belangrijke stappen nodig.
1. schrijven en coderen van je bericht
(in ons voorbeeld letter-> getal +3)
2. de ontvanger de sleutel geven om de tekst te ontcijferen
(bijvoorbeeld vertellen of smsen)
3. het ontcijferen en lezen van de tekst
(in ons voorbeeld (getal -3)-> letter)

Afbeelding

Het meest gevaarlijke van dit proces is stap 2. Als ik bijvoorbeeld met het bovenstaande systeem met mijn neef berichten wil sturen moet ik hem eerst vertellen hoe een tekst te versleutelen en te ontcijferen. Terwijl ik hem dit vertel kan iemand, bijvoorbeeld mijn zus, ons afluisteren… vanaf nu weet zij dus ook steeds al de geheime berichten ontcijferen! Met andere woorden, ik heb een een doosje met een geheim op slot gedaan, maar ik moet een kopie van de sleutel aan mijn neef kunnen geven zonder dat iemand deze kan afpakken en nog een kopie kan maken!

Afbeelding

Wiskundigen kwamen met het antwoord! Ze bedachten het een nieuw systeem dat ze RSA versleuteling noemden.
We vonden een manier waar we 2 sleutels nodig hebben. Ééntje om de tekst te coderen en ééntje om te decoderen. Wat die systeem speciaal maakt is het feit dat de eerste sleutel geen geheim hoeft te zijn, je kan hem op internet posten zodat iedereen hem kan lezen en gebruiken, deze kan toch enkel gebruikt worden om het versleutelen. belangrijk is dat enkel jij de tweede sleutel bijhoudt. Iedereen kan nu “een doosje met geheime info” op slot doen en versturen, maar enkel jij kan, met de 2de sleutel, deze doos openen. Iemand anders mag zo een doos onderscheppen maar zal ze nooit kunnen open krijgen. Ook al heeft hij de eerste sleutel. Het gevaar van de 2de stap (dat iemand de sleutel om het coderen onderschept) bestaat nog steeds, maar met dit systeem is diegene die de sleutel steelt er toch niets mee.

Je natuurlijk zou kunnen denken dat eens je de versleutelingsmethode kent, je ook kan afleiden hoe deze te ontcijferen. In onze eerste voorbeelden konden we dit ook eenvoudig. Als we weten dat persoon “A” een bericht codeert door x+3 te doen, kunnen we snel afleiden dat we kunnen decoderen door x-3 te doen. Als persoon “A” het moeilijker maakt door (x+3)² doet  kunnen we nog steeds gemakkelijk decoderen door eerst de vierkantswortel te nemen en dan pas -3 te doen… met andere woorden als we de versleuteling weten, doen we gewoon de omgekeerde bewerking om te ontcijferen.
Dat is nu net het knappe aan dit RSA systeem. het versleutelen is heel simpel, we vermenigvuldigen twee priemgetallen p en q met elkaar… om het bericht te ontcijferen moeten we enkel het grote getal weer kunnen opsplitsen in de twee originele delers p en q.
Maar als deze p en q groot zijn is het ontsleutelen wel meteen zeer ingewikkeld! Het vermenigvuldigen kan een computer op enkele milliseconden, terwijl het zoeken van de delers maanden kan duren (zelfs als je tientallen computers tegelijk gebruikt!)

Afbeelding

Bijvoorbeeld als we de volgende willen priemgetallen vermenigvuldigen 11243 x 59009 = 663438187, dan kunnen we dit met gelijk welke rekenmachine berekenen. Maar kan jij met je rekenmachine vinden welke 2 priemgetallen ik hier vermenigvuldigde: 3676042387
Inderdaad, het zoeken van de delers (we noemen dit het factorizeren) is al een pak moeilijker. Zo moeilijk zelfs dat wiskundigen er zelfs nog steeds geen manier voor gevonden hebben om dit effectief te doen. Zo moeilijk zelfs dat zowat alles wat er op het internet beveiligd wordt dit systeem gebruikt. We vertrouwen er dus op dat dit het factorizeren zo ingewikkeld is dat we het nooit effectief zullen kunnen (want anders zou alles wat op deze manier beveiligd is zomaar te lezen zijn).

Nu almaar meer het nieuws opduikt dat de NSA mensen en overheden afluistert, vermoeden sommigen dat de Amerikaans dienst het probleem toch gekraakt heeft! Dit zou de wiskundige doorbraak van de eeuw kunnen zijn, gelijk welke wiskundige zou deze ontdekking op zijn naam willen schrijven. Maar de geheime dienst houdt dit liever stil omdat zij dan de enigen zijn die al de rest kan afluisteren…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

een doos, enkele kogels en veeltermen…

Wiskundigen zijn volgens vele, mensen die het graag moeilijk en lastig maken terwijl er eigenlijk zelfs geen probleem is… Maar hoe vaker je aan wiskunde doet, hoe meer je zal merken dat wiskundigen juist lui zijn en het zichzelf zo makkelijk mogelijk trachten te maken. Dit doen we door moeilijke problemen die lastig op te lossen zijn, op te delen in kleinere meer handelbare taken. Een perfect voorbeeld hiervan zijn de veeltermen.
Laten we eerst enkele veel gebruikte “eenvoudigere toepassingen” zien.
200195865-001
Een belangrijke parameter van een veelterm is zijn graad, ofwel, welke is de hoogst macht van de onbekende…
x² + 3x – 5 is een veelterm van 2de graad want x wordt maximaal tot de tweede macht verhoffen. Zo is x³-5x een veelterm van derde graad, x15+x7-4x6 + π heeft graad 15, enz…
De meesten zullen al wel in contact gekomen zijn met 2de graads vergelijkingen dus laten we daar een veelvoorkomend applicatie van bekijken.

De functie die we gebruiken in verband met afstand, snelheid en acceleratie (versnelling) is een tweede graads vergelijking. In deze (zie onderstaande functie) veelterm van graad 2 is t de onbekende. X0 is het beginpunt, v0 is de beginsnelheid en a is de versnelling. Met deze handige functie kunnen we in fysica en mechanica een enorm stuk ver geraken. Beginnende met eenvoudige oefeningen zoals als een trein Antwerpen (= X0) voorbijrijdt  tegen 100km/h (= v0) en hij versnelt gemiddeld met 1km/h² (= a0), hoever is deze dan na een half uur (= t), of na 2 uur…?
Het lijkt een banale toepassing maar sla de krant maar eens open en je staat verstelt hoeveel klachten de NMBS ontvangt wegens treinen die te laat zijn!
speed
Boeiender kan je het maken wanneer je weet dat ook versnelling en snelheid van bijvoorbeeld kogels hiermee berekend worden, waardoor we dan weer de afstand van schutter tot slachtoffer kunnen vinden en zo de dader kunnen opsporen. Maar dit geldt ook voor raketten, en dat mag je zelfs zeer ruim interpreteren tot en met maanraketten en dergelijke. Inderdaad, vandaag leer jij op school wat astronauten op de maan helpt brengen.
imagesCAB74OY7
Een veelterm van graad 3 komt van pas als we in drie dimensies gaan werken (merk op dat vorige toepassingen zich in 2 dimensies afspelen en dus een veelterm van graad 2 hebben). Neem bijvoorbeeld het eenvoudige voorbeeld van een doos die je wil maken. Je weet dat de doos 2 cm hoger moet zijn dan ze breed is, en nog eens 2 centimeter meer in de diepte. Het volume van je doos moet 48 worden… hoe breed is je doos? … wel het volume is breedte x hoogte x diepte. Stel dat B de breedte is dan hebben we: B x (B+2) x (B+4) = B³ + 6B² + 4B = 48   Voila een veelterm van graad 3. We hadden een vrij makkelijke vraag (gegeven het volume wat is de lengte) en toch komen we al snel aan een veelterm van graad 3.  Ook dit probleem kan je weer uitbreiden, denk maar aan gelijk welk probleem waar volumes in voorkomen: wegpompen van water, opslaan van grote hoeveelheden in opslagplaatsen, vullen van brandstoftanks (ja, ook die van raketten),…
IMG_9172_JPG
Waarom wiskundige zo graag met deze veeltermen werken is omdat ze enkel de basisoperaties omvatten, plus maal en machten. Maar natuurlijk zullen we problemen tegenkomen met moeilijkere bewerkingen zoals sinussen, cosinussen, logaritmen, of gekke dingen zoals eX (Wie komt deze functies tegen??? Ontzettend veel mensen eigenlijk, wegenbouwers, landmeters, economen, ontwerpers van allerlei zoals monumenten tot zelfs rollercoasters……..)

Wel daar komt de gemakzucht van een wiskundigen naar boven. We vervangen deze moeilijkere functies gewoon in diegene waar we graag en makkelijk mee kunnen werken… de simpele veeltermen. Het addertje onder het gras is wel dat deze veeltermen een oneindig hoge graad hebben… (Je moet ze natuurlijk niet oneindig lang opschrijven, je stop gewoon tot je tevreden bent met de nauwkeurigheid. Een beetje zoals bij het getal π, daar blijf je ook niet steeds alle getallen na de komma opschrijven!) Bijvoorbeeld:

Sin (x) = x – (1/6) x³ + (1/120) x5 – (1/5040) x7 + …
Cos (x) = 1 – (1/2) x² + (1/24) x4 – (1/720) x8 + …
ex =  1 + x + (1/2) x² + (1/6) x³ + (1/24) x4 +…

Hoe je dit vervangt zal je leren (of misschien ken je dit reeds) wanneer je leert over Taylor reeksen. Op het eerste zicht lijkt het een beetje willekeurig en moeilijk maar eigenlijk is het slechts 1 regel die je leert hoe je een functie in zulk oneindige veelterm te veranderen.
Velen griezelen bij woorden zoals sinus en logaritmen en voor hen is het dus een troost dat je deze moeilijke functies kan vereenvoudigen in die eenvoudige veeltermen waar je al snel eenvoudig mee kan rekenen omdat deze slechts bestaan uit basisbewerkingen (+, x en machten).

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

NIEUWE SCHOOLJAAR (waarom leer ik wiskunde op school?)

Voor velen van jullie is het alweer zover… je zit terug op de schoolbanken.
Frans, Nederlands, Aardrijkskunde, Geschiedenis,… en voor velen het minst favoriete, Wiskunde.

Waarom leren we dat het getal PI niet als een breuk geschreven kan worden???
Als 2x² + 5x -1 = 41 … dan is x = 3,5 … Wanneer zal ik dit gebruiken in het dagelijkse leven???
Wat maakt het uit dat een functie stijgend of dalend is, en waarom is het nuttig dat ik weet hoe ik een functie moet afleiden???
???

Zo kan ik wel nog even doorgaan, en misschien zit je zelf wel met enkele van deze of soortgelijke vragen.
Wel, in dat geval stuur je ze maar door naar waaromwiskunde@hotmail.com .
Ik zal laten zien dat voor elk, op het eerste zicht nutteloos, concept of onderwerp waarover je in wiskunde leert,
echt wel een nuttige, leuke, verrassende of veelgebruikte toepassing is.

Alle vragen of opmerkingen zijn welkom!
waaromwiskunde@hotmail.com

Leave a comment

Filed under andere, experiment in 3 stappen, Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, wiskunde in de natuur, wiskunde in het casino, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

Misdaad loont niet, … tenzij je een beetje “Speltheorie” kent…

Je zou het niet zeggen aan de naam, maar dit is wel degelijk een bestaande tak in de wiskunde. Het gaat niet zozeer om de wiskunde waarmee je spelletjes kan analyseren zoals we reeds deden in het artikel over de wiskunde van monopoly, of de getallen achter het cafe-spel pietjesbak… Hetgeen dit deel van de wiskunde bestudeerd is het nemen van beslissingen. En al doet de titel van het vak vermoeden dat dit enkel om spelletjes gaat, wordt “speltheorie” vooral in economie en sociologie gebruikt.

Afbeelding

De eenvoudigste manier om deze tak van de wetenschap te bespreken is aan de hand van enkele voorbeelden. Laten we maar meteen met het bekendste beginnen, het gevangenendilemma. Stel er werd een overval gepleegd en de politie heeft de 2 daders gevat. Ze missen echter staalharde bewijzen en hopen dat de boeven elkaar verraden. Ze stellen het volgende voor aan de gevangenen, die we voor de makkelijkheid even A en B noemen. Naargelang ze elkaar verraden of niet, krijgen ze de volgende straffen..AfbeeldingStel nu dat je persoon A bent en je bekijkt even je twee opties, B verraden of niet… Als B loyaal is en je dus niet verraadt krijg je 2 jaar als je ook loyaal bent, maar slechts 1 als je hem verraadt. Als B niet loyaal is en jij wel krijg je 5 jaar, maar als je hem verraadt krijg je slechts 4 jaar… Met andere woorden, ongeacht wat B doet, je zal steeds een jaar winnen als je B verraadt!
Als B deze redenatie maakt zal ook blijken dat het voor hem in het voordeel is om verraadt te plegen… Op deze manier gebruikt de politie speltheorie tegen de misdadigers…

Afbeelding

Laten we een ander voorbeeld bekijken… en om in ‘de sector’ te blijven, eentje met piraten… Piraten A, B en C (inderdaad ik ben niet erg origineel met namen) hebben een schat met duizend goudstukken te verdelen. Er is wel een duidelijke machtsverdeling want A heeft het meeste te zeggen ,gevolgd door B, en C heeft het minste macht van alle drie. Aangezien hij het meeste aanzien heeft mag A eerst een voorstel doen van hoe de schat verdeeld wordt… bijvoorbeeld 500 voor A, 200 voor B en 300 voor C. Na A’s voorstel word er gestemd, ofwel wordt de verdeling aanvaard (waarna de schat volgens het voorstel verdeeld wordt), ofwel wordt ze afgewezen (waarna de piraat die het voorstel deed, overboord gekieperd word!). Als het 2de gebeurt, mag de nu oppermachtige B op zijn beurt een voorstel doen, dan wordt er weer gestemd, met dezelfde mogelijke afloop als het eerste voorstel. Extra detail: als de stemming gelijk is (evenveel stemmen voor het voorstel, als tegen) is de stem van de machtigste piraat doorslaggevend.

Afbeelding
Ook hier kan speltheorie gebruikt worden om de afloop van het conflict te exact voorspellen… Laat ons even veronderstellen dat A’s voorstel wordt afgekeurd, en deze piraat dus overboord gekieperd wordt… B is dan de machtigste piraat en mag het volgende voorstel indienen. Deze kan nu zo eerlijk of (veel waarschijnlijker) oneerlijk te werk gaan als hij wil. Hoeveel hij ook aan zichzelf geeft (desnoods de volle duizend munten), C kan hier niets tegenin brengen. Want ook al gaat C niet akkoord, aangezien B’s stem doorslaggevend is, krijgt hij toch z’n gelijk! 
C zal, al krijgt hij slechts enkele goudstukken, dus best het voorstel van A aanvaarden (anders krijgt hij zoiezo 0 munten). Maar ook A weet dat natuurlijk!!! Hij verdeelt de schat dus als volgt: 999 stukken voor A, 0 voor B en 1 voor C… Door het gebruik van getaltheorie is piraat A nu dus een rijk man!

Afbeelding

Er zijn nog ontzettend veel verschillende leuke toepassingen van het probleem. Vele daarvan komen ook voor in dagelijkse toepassingen… Maar wat misschien ook een leuk voorbeeld van speltheorie is ,is het probleem dat wordt voorgesteld in de Batman-film: The Dark Knight. In deze film krijgen 2, met bommen volgestouwde boten, een afstandsbediening. Boot 1 kan met zijn afstandsbediening boot 2 doen ontploffen en omgekeerd. Pittig detail… als binnen bepaalde tijd niemand de andere boot tot zinken brengt, ontploffen beide vaartuigen… Om het probleem nóg complexer te maken zitten op de eerste boot allemaal onschuldige burgers (op deze boot mag bovendien iedereen op de knop duwen). Op de tweede boot vaart zo goed al 99% aan gevangenen, vergezeld met enkele bewakers (hier kan enkel de hoofdbewaker de knop bedienen)… Ook hier kan je eventueel de beslissingen tegen elkaar afwegen en bepalen wat de beste strategie is…

DAAROM WISKUNDE


Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, Wiskunde vs. Misdaad

parabolen: wiskunde vs. moord

Vele studenten denken bij het woord “wiskunde” meteen aan “bewijzen” van stellingen, kort daarop volgt meestal de vraag “waarom moeten we dit in hemelsnaam kennen?”. Wel daar licht nu net de kracht van de wetenschap, alles wat aangeleerd word is onweerlegbaar bewezen en zal vanaf nu tot het einde der tijden waar zijn. Er zijn geen twijfelgevallen of onzekere aannames die later fout kunnen blijken.
Een logisch gevolg is dan ook om wiskunde te gebruiken in onderzoek naar misdadigers of om het als bewijsmateriaal te gebruiken in rechtszaken. En dat wordt dan ook gedaan… We hebben reeds voorbeelden besproken in verband met fraudeurs (Wiskunde vs. belastingontduikers) maar zouden we wiskunde ook kunnen gebruiken voor andere misdrijven zoals moordzaken?
Afbeelding
Het onderwerp dat we nu zullen bekijken is parabolen. Dit zijn functie van de vorm y= ax²+bx+c.
Deze functies komen veel voor in de natuur en het dagelijkse leven, vooral als we beweging van vallende (of springende) objecten bekijken. Laten we enkele voorbeelden bekijken van sprongen, en meteen valt je een patroon op van de baan die de objecten volgen. (allemaal parabolen)
AfbeeldingAfbeelding

Maar hoe gebruiken we deze parabool (en zijn wiskundige vergelijking) nu als bewijsmateriaal in een rechtszaak? Wel vele zaken in verband met “vallen van hoogte” hebben jammer genoeg een dodelijke afloop. Het is dan enkel nog uit te zoeken of dit “vallen” een spijtig ongeluk is, of zelfmoord… en misschien zelfs moord! We zullen even nader bekijken hoe forensische onderzoekers juist te werk gaan.
Afbeelding
Als we springen, bijvoorbeeld van een bergclip in het water, hebben we 2 snelheden: een voorwaartse springsnelheid v, en een neerwaartse valsnelheid g. Voor de voorwaartse beweging hebben we dus (op de x-as):  x = v.t (met t de tijd) of met andere woorden, voorwaartse afstand is de snelheid maal de tijd. Voor de neerwaartse beweging (op de y-as) hebben we y = -(1/2). g. t² (hier is g de valsnelheid veroorzaakt door de zwaartekracht en deze is ongeveer 9.8 m/s²). De reden van het minteken in deze vergelijking is simpelweg omdat we naar beneden, en dus naar de negatieve kant van het assenstelsel, vallen. We weten dus de vergelijkingen voor x en y. Maar aangezien dat we weten dat de afgelegde weg een parabool vormt en x en y zich dus verhouden als x=y² bekomen we uiteindelijk y = -(1/2). g. (x/v)²  .
Afbeelding
Het enige wat je als onderzoeker nu nog nodig hebt zijn de gegevens van de plaats van de feiten. Stel bijvoorbeeld dat het slachtoffer van een bergclip van ongeveer 30 meter hoog viel en zo een 12 meter ver te neerkwam. Met deze gegevens kunnen we nu de snelheid, waarmee het slachtoffer van de berg viel/sprong/werd geduwd berekenen…  In ons voorbeeld komen we uit op 4,8497 m/s of ongeveer 17,46 km/h. Als we dan weten hoeveel aanloop het slachtoffer had, kunnen we nagaan of het deze snelheid op een natuurlijke manier heeft kunnen halen OF het een extra duw in de rug heeft gekregen…
Op deze manier werden in het verleden al mensen veroordeeld tot moord of eventueel vrijgesproken indien bewezen kon worden dat het over een ongeval ging.

DAAROM WISKUNDE!!!!!
Afbeelding

Giedts Tom

1 Comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

Wiskunde vs. Nazi-Duitsland

Deze blog tracht het belang van wiskunde in ons dagelijkse leven te tonen. In “kaatsen en nierstenen” toonde ik hoe wiskunde de geneeskunde helpt, maar we toonden ook al beter! “Hoe priemgetallen levens redden” liet zien hoe insecten zelfs “overleven” dankzij wiskunde… Kunnen we nog beter?
Wat dacht je van de 2-de wereldoorlog met 2 jaar inkorten… Hoeveel mensenlevens zouden we daarmee kunnen redden?….. Wel wiskundigen hebben dit voor elkaar gekregen…
Afbeelding
Het verhaal begint eigenlijk in het Duitse kamp. Hun leger gebruikt namelijk een codeermachine om geheime boodschappen en strategieën door te geven aan hun troepen. Aangezien het om zeer gevoelige informatie moet het kraken van de code zo moeilijk mogelijk gemaakt worden. De machine die de Duitsers hiervoor gebruikte was al enkele jaren op de markt. Het toestel heet heel gepast de “enigma” wat Grieks is voor “raadsel”. Het concept voor dit codeertoestel is bedacht door een Nederlander: Hugo Alexander Koch.
De meeste Duitse basissen hadden zo een machine om enerzijds hun bericht te coderen, maar de enigma werd ook gebruikt om eerdere gecodeerde berichten terug te decoderen. De enigma vertaalde dus in de twee richtingen: GEWONE TAAL –> CODE en CODE –> GEWONE TAAL.

Ruwweg is de machine als volgt opgebouwd: Telkens we een letter invoegen, bijvoorbeeld letter T, dan wordt deze op 9 verschillende plaatsen in een nieuwe veranderd! In onderstaand schema kunnen we dit goed volgen. De weg die de letter aflegt is als volgt T >> K >> O >> P >> H >> D >> G >> R >> W >> G. Met andere woorden als ik een T indruk geeft de machine me een G terug… Wat nu zo bijzonder is aan het systeem is dat de middelste wielen (bovenaan de tekening) na elke letter ronddraaien waardoor de machine steeds op een nieuwe manier de letter T zal coderen. zo ziet TTTTT er in code bijvoorbeeld als GXJEC uit… Daarom is het belangrijk dat de Duitsers weten met welke instellingen het bericht gecodeerd is.

Afbeelding

Het is haast onmogelijk om de hele werking van de machine even kort uit te leggen maar ik kan wel meegeven hoeveel verschillende begin instellingen er in de bovenstaande tekening kunnen zijn: 2.649.375.920.297.106.000 (2,6 miljard miljard!!!). Maar de Duitsers beslisten om het nog iets moeilijker te maken… Ze zorgen ervoor de ze de drie middelste wielen (bovenaan de tekening) van plaats konden veranderen,… meer zelfs in plaats van slechts 3 wielen maakte ze er 5 (Ze kozen uit deze 5 dan 3 wielen om in enigma te steken). daardoor verhoogt het aantal mogelijkheden tot maar liefst 158.962.555.217.826.360.000 (158,96 miljard miljard!!!).
Om te weten welke instellingen de officieren moesten gebruiken kregen ze maandelijks een papier met alle nodige info op. (tekening onder)Afbeelding

De code lijkt niet te kraken te zijn. Maar dan kwamen, jawel hoor, wiskundigen op de proppen. Eerder hadden de geallieerden door spionage al wel doorbraken gehad maar telkens de Duitsers de instellingen van de machine veranderden stonden we weer bij 0. Door het spioneren hebben we echter wel geleerd dat de machine een zwakte heeft: De enigma zal als we de letter T intypen, en ze doorheen de machine 9 maal veranderd, nooit een T teruggeven. Met andere woorden als we een T coderen kan deze een A worden, of een B, of een C, … of een Z, maar nooit opnieuw een T! Dit lijkt op het eerste zicht niet meteen een doorbraak, maar het is dit kleine detail die geleid heeft tot het breken van de code.
Afbeelding
Maanden van onderzoek door vele wiskundigen, waarvan Alan Turing (foto), ongetwijfeld de belangrijkste was, leidden tot het steeds sneller en makkelijker kraken van de code. Ze bouwde een enorme machine die met grote snelheid mogelijke instellingen testte en mogelijkheden afging. Eens de machine op punt stond kon ze op slechts 20 minuten tijd de code breken!
Volgens sommigen heeft het kraken van de enigma de oorlog met 2 tot 4 jaar verkort. Wat gelijk staat aan duizenden levens…..

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

telsystemen en het (niet) drinken van vergif…

Stel we hebben het volgende probleem… Er worden ons 4 bekertjes met water aangeboden. Bij 1 van deze bekers is echter een kleurloos, chemisch vergif toegevoegd. De vraag is of we te weten kunnen komen welke van de vier bekers aangelengd is met het dodelijke gif.

Om dit op te lossen hebben we 2 testbuisjes gekregen die onder een speciale lamp staan. Als de lamp schijnt op een vergiftigde vloeistof, dan zal het mengsel groen oplichten. We kunnen de lamp echter maar één keer aanzetten, en enkel nadat we de testbuisjes hebben gevuld met vloeistof… kunnen we dit raadsel met zekerheid oplossen?Afbeelding

Het experiment dat we kunnen uitvoeren ziet er dus als volgt uit:
1. We kappen vloeistof van de bekertjes in de testbuizen…
2. We schakelen de speciale lamp aan (deze laat indien er gif in de vloeistof zit het mengsel verkleuren)…
3. We moeten nu met zekerheid kunnen zeggen of het gif in beker A,B,C of D zit…

Als je eerst wat wil nadenken om er zelf achter te komen lees dan niet verder!!!

Afbeelding

Voor diegenen die er niet uit geraken, (of hun oplossing willen controleren) leg ik hier even uit hoe we dit wiskundig kunnen benaderen… Je zou het misschien niet meteen zeggen dat de oplossing voor dit raadsel met wiskunde te maken kan hebben, en al zeker niet met een getallensysteem dat door computers gebruikt wordt, maar toch is dit de zaak… Het getallen systeem gebruikt door computers is het binaire systeem. Het bestaat uit slechts twee cijfers: namelijk ééntjes en nulletjes (het systeem dat wij mensen gebruiken bestaat uit 10 cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8 en 9 en heet het decimale systeem).

De oplossing van het raadsel gaat als volgt: We kappen wat van beker A in testbuis 1, wat van beker B in testbuis 2, van beker C kappen we zowel wat in testbuis 1 én 2. Beker D laten we onaangeraakt staan. Als we nu het licht inschakelen hebben we de volgende situaties:
Afbeelding

Als we dit nu wiskundig (binair) bekijken komt dit eigenlijk overeen met het volgende. De blauwe buizen kan je voorstellen als een 0 (geen gif aanwezig) en de groene testbuis wordt dan een 1 (gif aanwezig). We hebben met onze 2 testbuizen dus 4 verschillende situaties, net zoals een computer met 2 cijfers (0 én 1), 4 verschillende situaties kan weergeven: 00, 10, 01 en 11 (merk op dat dit overeenkomt met onze 4 situaties)!

Zo zie je maar dat je met slechts 2 verschillende buisjes, eigenlijk 4 verschillende situaties kan voorstellen. Als we dit verder uitbreiden wil dit zeggen dat we met 2 vingers tot 4 kunnen tellen… indien we echter ook de nul willen uitbeelden met onze vinger door een vuist te maken en dus geen vingers op te steken kunnen we met 2 vingers tot 3 tellen (0,1,2,3). Als we 3 vingers gebruiken geraken we zelfs aan 8 combinaties (0,1,2,3,4,5,6,7) en kunnen we dus tot 7 tellen…
Met al onze 10 vingers kunnen we zo tot 1023 tellen!!!
Afbeelding

(HINT: Het is zeer onbeleefd om iemand binaire het getal 4 te tonen… of nog erger het getal 132!)

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

1 Comment

Filed under experiment in 3 stappen, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad

hoe oud, hoe koud, en hoeveel beestjes?

“”Ik rond in deze tekst veel getallen af, en laat veel details ongemoeid omdat anders alles te ingewikkeld zou worden. Maar door de grote lijnen uit te leggen zie je toch maar weer waarom wiskundige ideeën zo belangrijk zijn in het dagelijkse gebruik!””

De meeste bewerkingen zijn gemakkelijk om te keren. Als we de vermenigvuldiging om willen keren krijgen we een deling. Stel we weten dat A*B=C. Hoe kunnen we nu als B en C gegeven zijn, de waarde van A te weten komen? … We veranderen de gegeven vermenigvuldiging in een deling namelijk C/B=A.
Ook bij de optelling is het makkelijk de bewerking om te keren. Stel A+B=C. Hoe kunnen we nu als weer B en C gegeven zijn, de waarde van A terugvinden? … Wel C-B=A

Maar hoe zit het met een formule zoals B= C. Stel nu dat B en C gegeven zijn… hoe vinden we nu het getal A? Wel daar bestaat natuurlijk ook een bewerking voor, namelijk de logaritmen… Hmmm, vreemd woord. Wat wil dit nu eigenlijk zeggen???
Stel we hebben nog steeds B= C. Dan zouden we om A te vinden het volgende kunnen doen Log(C) = A (Dit lees je eigenlijk als “tot welke macht moet ik B heffen om C uit te komen?“). Zo zal bijvoorbeeld   Log10 (1000) = 3, want we moeten 10 tot de 3de macht heffen om 1000 te  bekomen. Log2 (32) = 5, want we moeten 2 tot de 5de macht heffen om 32 te  bekomen….
Net zoals bij andere bewerkingen gelden er voor de logaritmen nog meerdere rekenregels… Maar dat is voer voor een ander artikel.
Afbeelding

Worden deze dingen (logaritmen) nu wel gebruikt? Met andere woorden: is de vraag “tot welke macht moet ik B heffen om C uit te komen?” een vraag die we ons als wiskundigen veel stellen?
Eigenlijk komt de vraag veel meer voor dan we zouden denken. In vele uiteenlopende situaties maken we gebruik van logaritmen.

Ik begin even met een heel eenvoudig voorbeeld. Stel ik neem 2 beestjes en zet ze in een afgesloten omgeving (bijvoorbeeld 2 sprinkhanen in een schoendoos). Stel dat de sprinkhanen zich enorm snel voortplanten en elke dag verdubbelen in aantal! Vandaag zijn het er 2, morgen 4, overmorgen 8, op dag vier zijn het er 16, op dag vijf zijn het er 32… We merken dus dat we na dag X precies 2beestjes hebben.
Afbeelding
Stel nu, ik kijk op een gegeven dag in mijn schoendoos en ik vind 256 sprinkhanen… hoeveel dagen heeft dit geduurd?  OPLOSSING: GEBRUIK LOGARITMEN
Log2 (256) = 8. Als we 1024 beestjes vinden dan zijn we Log2 (1024) = 10 dagen verder…
Afbeelding
Oké, ik geef het toe dit was misschien een heel eenvoudige toepassing en het is onwaarschijnlijk dat deze situatie zich echt zou voordoen… Welke toepassingen gebruiken we nu echt?

Wel archeologen gebruiken logaritmen ook als ze willen bepalen hoe oud sommige opgravingen zijn…In alles en iedereen die je tegenkomt zit namelijk een bepaalde stof die stilletjes aan afneemt… En de snelheid waarmee ze afneemt of zelfs halveert wordt uitgedrukt in een aantal jaar
Bijvoorbeeld de aanwezigheid van de hoeveelheid chemische stof “strontium” zal elke 28 jaar halveren. Als er vandaag 1 kilo in mijn beenderen zit, dan zit er 28 jaar later maar een halve kilo, en binnen 56 (2×28) jaar maar 250 gram. Binnen 84 (3×28) jaar 125 gram…
Afbeelding

Stel een archeoloog vind mijn lichaam en in mijn beenderen meet hij 31,25 gram (1/32 van een kilo) strontium. Hoe oud zijn mijn beenderen nu? OPLOSSING: GEBRUIK LOGARITMEN
Ik zal precies  28 x  Log(1/2) (1/32) = 140 jaar zijn.

Afbeelding
Ook politie-inspecteurs gebruiken de logaritmen als ze willen bepalen hoelang een persoon overleden is! Elke persoon heeft een lichaamstemperatuur van ongeveer 37°C. Als we sterven neemt onze temperatuur af. Bijvoorbeeld: Elk uur halveert onze temperatuur. na 1 uur zijn we bijvoorbeeld 17,5°C. Na 2 uur ongeveer 8,25°C,…
Ze gebruiken deze technieken natuurlijk niet altijd. Maar bijvoorbeeld bij moordzaken worden de logaritmen gebruikt om te weten te komen hoelang de misdaad gepleegd is en hoever de dader mogelijk al kon vluchten…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

golven en cocktailfeestjes

Ik heb het in mijn artikels al over veel takken van de wiskunde gehad. Meetkunde (Pythagoras vs. Fermat), groepentheorie (groepentheorie), getaltheorie (Hoe priemgetallen levens redden),… Dit tekstje gaat over analyse. Het is de wiskunde die veranderingen in functies (krommen, parabolen, …) bestudeerd. Ik geef toe dat dit nooit mijn lievelingsgebied was toen ik op de schoolbanken zat, maar toch zijn hier ook weer leuke toepassingen voor te vinden.

Nog niet iedereen zal al functies gezien hebben en daarom zal ik niet te diep op de leerstof ingaan. Het enige wat je eigenlijk moet weten is hoe de sinus en cosinus functies eruitzien. Deze zullen worden aangeleerd in het derde en vierde middelbaar, maar ik heb een mooi fotootje voor diegenen die nog niet ze ver raakten: Op de grafiek volgt de blauwe golf de sinusfunctie en de rode golf de cosinusfunctie (ze zijn identiek maar een beetje opgeschoven ten opzichte van elkaar). En wees gerust dat je deze woorden nog wel enkele keren gaat tegenkomen in je wiskundige carrière 🙂 . Het lijkt bij het begin een beetje moeilijk, maar je gebruikt ze zoveel dat ook zij vanzelfsprekend worden, net zoals de tafels van vermenigvuldiging.

cossin
Ook wanneer je over elektriciteit (of elektronica) leert kom je deze golven tegen. Zelfs mensen die muziek spelen zullen de golven ooit wel eens ontmoeten. Sterker nog, … eigenlijk is al het geluid, zoals muziek maar ook al het lawaai, praten, verkeer,… dat we horen een combinatie van sinus en cosinusfuncties… Je merkt al snel dat ze onnoemelijk veel zullen voorkomen en dus een héél belangrijk thema zijn. Zo belangrijk zelfs dat er een aparte tak van de analyse bestaat, die zich uitsluitend bezighoudt met dit soort dingen: de Fourieranalyse (genoemd naar de Fransman Jean-Baptiste Joseph Fourier). Maar wat is nu het nut van deze kromme?

Wel, de functies die we boven zagen waren nog vrij eenvoudig. Ze hadden een gemakkelijke vorm en je zou ze met een even groot gemak kunnen verder tekenen. Maar stel je krijgt de volgende functie op je bord:
noise

Deze is al iets moeilijker te verteren… Welk geluid zouden we hier horen?….Dit is het punt waar wiskunde Fourieranalyse gaan gebruiken. Het klinkt als een heel moeilijk woord (je spreekt het uit als foerjee-analieze), maar wat het inhoudt is eigenlijk vrij eenvoudig.
Het zegt dat al deze moeilijke geluidsgolven eigenlijk de som zijn van de gemakkelijke sinus (en cosinus) functies… Het is alsof we een heel groot en moeilijk probleem opsplitsen in een paar kleinere én gemakkelijke probleempjes. Hieronder zie je een voorbeeld van een ‘opgesplitst’ probleem. A is moeilijk om meteen te snappen, maar al we dit geluid opsplitsen in enkele kleintjes, namelijk B,C,D en E dan kunnen we het al wat gemakkelijker bestuderen. B,C,D en E hebben namelijk allemaal de vorm van de gemakkelijke sinus:

somsin
Oké, dus we kunnen blijkbaar geluiden opsplitsen (We kunnen natuurlijk ook omgekeerd B+C+D+E doen om weer A te krijgen) en terug samenstellen… en dan? Met andere woorden wat is nu het nut van dit alles? 
Denk maar aan je radio of lange afstandsgesprekken. Dikwijls zit er storing op je verbinding, of ruis op je radio. Deze worden gelukkig voor een groot deel weggefilterd worden door het apparaat. Maar hoe weet dit apparaat of hij nu de storing weg laat vallen in de plaats van muziek of iemand zijn stem? –> Fourieranalyse! Dus elke dag dat je met je gsm belt of naar je radio luistert gebruik je deze vreemde golven!

cocktail_party_by_kebikun-d3hru4e
Het cocktailfeestje-probleem. Jawel het is echt een naam van een bestaand probleem:
Stel je bevindt je op een feest waar honderden mensen door elkaar praten, er staat luide muziek op, hier en daar valt een glas… Kortom langs alle kanten komen er geluidsgolven binnen. Maar jij wil nu net het gesprek afluisteren van iemand die een 10 meter verder staat… Kan je zoveel wegfilteren dat je enkel dit gesprek hoort?
Sinds kort hebben wiskundigen het probleem opgelost. Ze hebben de Fourieranalse zo geperfectioneerd dat ze in theorie alles kunnen wegfilteren wat ze maar willen. Ze hebben dit probleem opgelost met een grote interesse van de CIA (Amerikaanse spionage dienst) die het enorm leuk vinden om mensen af te luisteren om hun plannen te weten te komen…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundigen