Category Archives: wiskundige carrière

wiskundige doorbraken en spionage

Diegenen die de afgelopen weken het nieuws een beetje gevolgd hebben kunnen het niet gemist hebben… Van overal ter wereld duiken er berichten op omtrent afluisterpraktijken van de Amerikaanse geheime dienst NSA. Niet enkel politieke (bijvoorbeeld Duits bondskanselier Angela Merkel) en religieuze (Paus Fransiscus) leiders worden bespioneerd, maar zelfs dagelijks e-mail verkeer van u en ik zou door hen kunnen worden nagelezen… Dit zou allemaal wel eens de oorzaak kunnen zijn van mogelijk de grootste wiskundige doorbraak in jaren.

Afbeelding

Nu we met zijn allen berichten en gegevens versturen over het internet, is het natuurlijk belangrijk om deze informatie te kunnen beschermen. Sommige mails kunnen namelijk geheime of persoonlijke informatie bevatten. Of denk maar aan de miljoenen mensen die hun bankzaken online verrichten! Ook voor bedrijven die miljoenen investeren in onderzoek naar nieuwe producten en niet willen dat concurrenten gratis aan de plannen van hun nieuwe uitvindingen kunnen geraken, is online beveiliging ontzettend belangrijk. Zo kunnen we nog wel even doorgaan met het geven van toepassingen en voorbeelden om het belang van online security te benadrukken. Maar laten we liever eens bekijken hoe deze beveiliging nu juist gebeurt…
Afbeelding
Toen we als tieners een geheime boodschap wilden doorgeven gebruikten we dikwijls makkelijke en zeer snel te kraken codes. De bekendste is allicht het vervangen van een letter door een cijfer… a=1, b=2, c=3, … y=25 en z=26. Op deze manier zal de het woord “blog” dus veranderen in “2 12 15 7”.
Na enkele tijd hadden we door dat dit maar een heel naïeve manier was om onze tekst geheim te houden en bedachten we “een verbetering”. Na het omvormen van letter naar getal, telden we er een constante bij op, bijvoorbeeld +3. met andere woorden “a” wordt eerst “1” en dan doen we +3, en “a” wordt dus gelijk aan “4”, b=5, c=6, … het woord “blog” zal nu dus worden “5 15 18 10”.
Belangrijk is natuurlijk dat diegene voor wie het bericht bestemd is, weet dat je steeds +3 deed! Anders zal hij dit bericht niet kunnen ontcijferen.

Om een bericht veilig te versturen hebben we dus 3 belangrijke stappen nodig.
1. schrijven en coderen van je bericht
(in ons voorbeeld letter-> getal +3)
2. de ontvanger de sleutel geven om de tekst te ontcijferen
(bijvoorbeeld vertellen of smsen)
3. het ontcijferen en lezen van de tekst
(in ons voorbeeld (getal -3)-> letter)

Afbeelding

Het meest gevaarlijke van dit proces is stap 2. Als ik bijvoorbeeld met het bovenstaande systeem met mijn neef berichten wil sturen moet ik hem eerst vertellen hoe een tekst te versleutelen en te ontcijferen. Terwijl ik hem dit vertel kan iemand, bijvoorbeeld mijn zus, ons afluisteren… vanaf nu weet zij dus ook steeds al de geheime berichten ontcijferen! Met andere woorden, ik heb een een doosje met een geheim op slot gedaan, maar ik moet een kopie van de sleutel aan mijn neef kunnen geven zonder dat iemand deze kan afpakken en nog een kopie kan maken!

Afbeelding

Wiskundigen kwamen met het antwoord! Ze bedachten het een nieuw systeem dat ze RSA versleuteling noemden.
We vonden een manier waar we 2 sleutels nodig hebben. Ééntje om de tekst te coderen en ééntje om te decoderen. Wat die systeem speciaal maakt is het feit dat de eerste sleutel geen geheim hoeft te zijn, je kan hem op internet posten zodat iedereen hem kan lezen en gebruiken, deze kan toch enkel gebruikt worden om het versleutelen. belangrijk is dat enkel jij de tweede sleutel bijhoudt. Iedereen kan nu “een doosje met geheime info” op slot doen en versturen, maar enkel jij kan, met de 2de sleutel, deze doos openen. Iemand anders mag zo een doos onderscheppen maar zal ze nooit kunnen open krijgen. Ook al heeft hij de eerste sleutel. Het gevaar van de 2de stap (dat iemand de sleutel om het coderen onderschept) bestaat nog steeds, maar met dit systeem is diegene die de sleutel steelt er toch niets mee.

Je natuurlijk zou kunnen denken dat eens je de versleutelingsmethode kent, je ook kan afleiden hoe deze te ontcijferen. In onze eerste voorbeelden konden we dit ook eenvoudig. Als we weten dat persoon “A” een bericht codeert door x+3 te doen, kunnen we snel afleiden dat we kunnen decoderen door x-3 te doen. Als persoon “A” het moeilijker maakt door (x+3)² doet  kunnen we nog steeds gemakkelijk decoderen door eerst de vierkantswortel te nemen en dan pas -3 te doen… met andere woorden als we de versleuteling weten, doen we gewoon de omgekeerde bewerking om te ontcijferen.
Dat is nu net het knappe aan dit RSA systeem. het versleutelen is heel simpel, we vermenigvuldigen twee priemgetallen p en q met elkaar… om het bericht te ontcijferen moeten we enkel het grote getal weer kunnen opsplitsen in de twee originele delers p en q.
Maar als deze p en q groot zijn is het ontsleutelen wel meteen zeer ingewikkeld! Het vermenigvuldigen kan een computer op enkele milliseconden, terwijl het zoeken van de delers maanden kan duren (zelfs als je tientallen computers tegelijk gebruikt!)

Afbeelding

Bijvoorbeeld als we de volgende willen priemgetallen vermenigvuldigen 11243 x 59009 = 663438187, dan kunnen we dit met gelijk welke rekenmachine berekenen. Maar kan jij met je rekenmachine vinden welke 2 priemgetallen ik hier vermenigvuldigde: 3676042387
Inderdaad, het zoeken van de delers (we noemen dit het factorizeren) is al een pak moeilijker. Zo moeilijk zelfs dat wiskundigen er zelfs nog steeds geen manier voor gevonden hebben om dit effectief te doen. Zo moeilijk zelfs dat zowat alles wat er op het internet beveiligd wordt dit systeem gebruikt. We vertrouwen er dus op dat dit het factorizeren zo ingewikkeld is dat we het nooit effectief zullen kunnen (want anders zou alles wat op deze manier beveiligd is zomaar te lezen zijn).

Nu almaar meer het nieuws opduikt dat de NSA mensen en overheden afluistert, vermoeden sommigen dat de Amerikaans dienst het probleem toch gekraakt heeft! Dit zou de wiskundige doorbraak van de eeuw kunnen zijn, gelijk welke wiskundige zou deze ontdekking op zijn naam willen schrijven. Maar de geheime dienst houdt dit liever stil omdat zij dan de enigen zijn die al de rest kan afluisteren…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

een doos, enkele kogels en veeltermen…

Wiskundigen zijn volgens vele, mensen die het graag moeilijk en lastig maken terwijl er eigenlijk zelfs geen probleem is… Maar hoe vaker je aan wiskunde doet, hoe meer je zal merken dat wiskundigen juist lui zijn en het zichzelf zo makkelijk mogelijk trachten te maken. Dit doen we door moeilijke problemen die lastig op te lossen zijn, op te delen in kleinere meer handelbare taken. Een perfect voorbeeld hiervan zijn de veeltermen.
Laten we eerst enkele veel gebruikte “eenvoudigere toepassingen” zien.
200195865-001
Een belangrijke parameter van een veelterm is zijn graad, ofwel, welke is de hoogst macht van de onbekende…
x² + 3x – 5 is een veelterm van 2de graad want x wordt maximaal tot de tweede macht verhoffen. Zo is x³-5x een veelterm van derde graad, x15+x7-4x6 + π heeft graad 15, enz…
De meesten zullen al wel in contact gekomen zijn met 2de graads vergelijkingen dus laten we daar een veelvoorkomend applicatie van bekijken.

De functie die we gebruiken in verband met afstand, snelheid en acceleratie (versnelling) is een tweede graads vergelijking. In deze (zie onderstaande functie) veelterm van graad 2 is t de onbekende. X0 is het beginpunt, v0 is de beginsnelheid en a is de versnelling. Met deze handige functie kunnen we in fysica en mechanica een enorm stuk ver geraken. Beginnende met eenvoudige oefeningen zoals als een trein Antwerpen (= X0) voorbijrijdt  tegen 100km/h (= v0) en hij versnelt gemiddeld met 1km/h² (= a0), hoever is deze dan na een half uur (= t), of na 2 uur…?
Het lijkt een banale toepassing maar sla de krant maar eens open en je staat verstelt hoeveel klachten de NMBS ontvangt wegens treinen die te laat zijn!
speed
Boeiender kan je het maken wanneer je weet dat ook versnelling en snelheid van bijvoorbeeld kogels hiermee berekend worden, waardoor we dan weer de afstand van schutter tot slachtoffer kunnen vinden en zo de dader kunnen opsporen. Maar dit geldt ook voor raketten, en dat mag je zelfs zeer ruim interpreteren tot en met maanraketten en dergelijke. Inderdaad, vandaag leer jij op school wat astronauten op de maan helpt brengen.
imagesCAB74OY7
Een veelterm van graad 3 komt van pas als we in drie dimensies gaan werken (merk op dat vorige toepassingen zich in 2 dimensies afspelen en dus een veelterm van graad 2 hebben). Neem bijvoorbeeld het eenvoudige voorbeeld van een doos die je wil maken. Je weet dat de doos 2 cm hoger moet zijn dan ze breed is, en nog eens 2 centimeter meer in de diepte. Het volume van je doos moet 48 worden… hoe breed is je doos? … wel het volume is breedte x hoogte x diepte. Stel dat B de breedte is dan hebben we: B x (B+2) x (B+4) = B³ + 6B² + 4B = 48   Voila een veelterm van graad 3. We hadden een vrij makkelijke vraag (gegeven het volume wat is de lengte) en toch komen we al snel aan een veelterm van graad 3.  Ook dit probleem kan je weer uitbreiden, denk maar aan gelijk welk probleem waar volumes in voorkomen: wegpompen van water, opslaan van grote hoeveelheden in opslagplaatsen, vullen van brandstoftanks (ja, ook die van raketten),…
IMG_9172_JPG
Waarom wiskundige zo graag met deze veeltermen werken is omdat ze enkel de basisoperaties omvatten, plus maal en machten. Maar natuurlijk zullen we problemen tegenkomen met moeilijkere bewerkingen zoals sinussen, cosinussen, logaritmen, of gekke dingen zoals eX (Wie komt deze functies tegen??? Ontzettend veel mensen eigenlijk, wegenbouwers, landmeters, economen, ontwerpers van allerlei zoals monumenten tot zelfs rollercoasters……..)

Wel daar komt de gemakzucht van een wiskundigen naar boven. We vervangen deze moeilijkere functies gewoon in diegene waar we graag en makkelijk mee kunnen werken… de simpele veeltermen. Het addertje onder het gras is wel dat deze veeltermen een oneindig hoge graad hebben… (Je moet ze natuurlijk niet oneindig lang opschrijven, je stop gewoon tot je tevreden bent met de nauwkeurigheid. Een beetje zoals bij het getal π, daar blijf je ook niet steeds alle getallen na de komma opschrijven!) Bijvoorbeeld:

Sin (x) = x – (1/6) x³ + (1/120) x5 – (1/5040) x7 + …
Cos (x) = 1 – (1/2) x² + (1/24) x4 – (1/720) x8 + …
ex =  1 + x + (1/2) x² + (1/6) x³ + (1/24) x4 +…

Hoe je dit vervangt zal je leren (of misschien ken je dit reeds) wanneer je leert over Taylor reeksen. Op het eerste zicht lijkt het een beetje willekeurig en moeilijk maar eigenlijk is het slechts 1 regel die je leert hoe je een functie in zulk oneindige veelterm te veranderen.
Velen griezelen bij woorden zoals sinus en logaritmen en voor hen is het dus een troost dat je deze moeilijke functies kan vereenvoudigen in die eenvoudige veeltermen waar je al snel eenvoudig mee kan rekenen omdat deze slechts bestaan uit basisbewerkingen (+, x en machten).

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

NIEUWE SCHOOLJAAR (waarom leer ik wiskunde op school?)

Voor velen van jullie is het alweer zover… je zit terug op de schoolbanken.
Frans, Nederlands, Aardrijkskunde, Geschiedenis,… en voor velen het minst favoriete, Wiskunde.

Waarom leren we dat het getal PI niet als een breuk geschreven kan worden???
Als 2x² + 5x -1 = 41 … dan is x = 3,5 … Wanneer zal ik dit gebruiken in het dagelijkse leven???
Wat maakt het uit dat een functie stijgend of dalend is, en waarom is het nuttig dat ik weet hoe ik een functie moet afleiden???
???

Zo kan ik wel nog even doorgaan, en misschien zit je zelf wel met enkele van deze of soortgelijke vragen.
Wel, in dat geval stuur je ze maar door naar waaromwiskunde@hotmail.com .
Ik zal laten zien dat voor elk, op het eerste zicht nutteloos, concept of onderwerp waarover je in wiskunde leert,
echt wel een nuttige, leuke, verrassende of veelgebruikte toepassing is.

Alle vragen of opmerkingen zijn welkom!
waaromwiskunde@hotmail.com

Leave a comment

Filed under andere, experiment in 3 stappen, Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, wiskunde in de natuur, wiskunde in het casino, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

THE MATRIX

De meesten zullen “the matrix” kennen als een van de bekendste sciencefiction films van eind jaren 90/begin jaren 2000. Sommigen zullen dit schooljaar ook leren over wiskundige matrices en hun toepassingen…

the matrix

Deze (voor sommigen) ‘nieuwe’ objecten zal je voor verrassend veel toepassingen gebruiken. Één van de belangrijkste en meest gebruikte is misschien wel het oplossen van stelsels vergelijkingen met verschillende onbekenden. Stel we hebben volgende gegevens:

5x + 4y – 3z = 53
4x + 9y – 4z = 75
2x + y   – 12z = -37

Wat zijn nu x, y en z zodat de bovenstaande vergelijkingen correct zijn? Het antwoord zal je vinden door gebruik te maken van matrices. Aangezien deze toepassing zoveel gebruikt wordt zal je deze uitgebreid op school bekijken (of reeds geleerd hebben). Daarom zal ik hier niet te diep op ingaan maar laat ik een andere interessante toepassing zien.

Eerst even kort uitleggen wat een matrix is. Het is een rechthoekig getallenschema,… of dus een verzameling van getallen die in de vorm van een rechthoek neergeschreven staan… enkele voorbeelden:
matrices
Hier is A een 2×3 matrix (want ze heeft 2 rijen en 3 kolommen), B is een 3×2 matrix (want ze heeft 3 rijen en 2 kolommen). C en E zijn 3×3 matrices en D een 2×2 matrix. Zoals we regels hebben geleerd om te rekenen met gewone getallen (hoe we ze optellen en vermenigvuldigen met elkaar,…) bestaan er ook regels voor deze matrices. We kunnen verschillende matrices dus ook met elkaar vermenigvuldigen, optellen, … en kunnen met deze wiskundige voorwerpen dus ook rekenen. Aangezien deze voorwerpen iets complexer zijn dan gewone getallen zullen de rekenregels ook ietsje ingewikkelder zijn.

De toepassing die ik wil uitleggen gebruiken onderzoekers voor het ‘voorspellen’ van het gedrag van natuurlijke systemen, mensen, economische ideeën…en zo veel meer.
Laten we bij wijze van voorbeeld eens bekijken hoe we de bevolking van 3 verschillende steden trachten te voorspellen. We bekijken daarom hoeveel procent van de bevolking van Antwerpen, Leuven en Knokke er jaarlijks naar elkaar verhuizen. Om dit probleem op te lossen gebruiken we 2 matrices. Een 1×3 matrix waarin de aantallen van de bevolking staan.
Laat ons stellen [50 000      20 000     30 000] voor [Antwerpen     Leuven     Knokke]. Laten we dit Matrix A noemen.
In de tweede matrix staan de percentages van de bevolkingsverhuizing in. Ik schrijf ze even als decimale getallen… 0.10 is dus 10%,   0.90 = 90% … enzovoort…
transmatrix
Je kan de matrix als volgt lezen. Op het einde van elk jaar verhuist er bijvoorbeeld 25% VAN Leuven, NAAR Antwerpen. Ook 10% Van Knokke, NAAR Leuven. Er blijft 90% Van de Antwerpenaren in Antwerpen…. Zo kan je dus de gehele matrix verder interpreteren.  Deze matrix noemen we Matrix B.

Het voorspellen van de bevolkingsaantallen voor de komende jaren gebeurt dan als volgt. Op het einde van dit jaar zal er verhuist worden volgens matrix B. Aangezien we Matrix A als begintoestand hebben zal de bevolking volgend jaar als volgt verdeeld zijn:

2014
Een matrix met een andere vermenigvuldigen geeft als oplossing (misschien niet zo verrassend) weer een matrix. In ons geval een 3×1 matrix met volgende waarden: [53 000     14 250     32 750]. Of dus in 2014 zal de bevolking in Antwerpen naar 53 000 zijn gestegen. In leuven en Knokke zullen er respectievelijk 14 250 en 32 750 personen wonen.
We willen weten hoe het binnen 10 jaar zit? Makkelijk, we vermenigvuldigen 10 keer met Matrix B of dus als volgt:

2023
Met als uitkomst [56 912.50     9 0572.53     33 514.97].
Als we nu gigantische matrices A en B maken met de informaties van alle Belgische steden, … kunnen we voor heel onze bevolking de toekomstige volksverdeling voorspellen. Dit is interessant voor ontwerpers van snelwegen, voor de bouwsector, prijzen van huizen,…

map_imigration

Zo voorspellen biologen de migratie van grote scholen vissen of vogels. Economen voorspellen het beleggersprofiel van hun klanten,… Of je kan het zelfs gebruiken om de uitkomst van een gezelschapsspel mee te voorspellen… Dat laatste is dan ook de manier waarop ik het Monopoly spel mee geanalyseerd heb, te lezen in een vorig artikel “REKEN uit, of neem een KANSkaart“.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière

Even afgeleid

Integreren en afleiden zijn zowat de belangrijkste bewerkingen die we uitvoeren op functies. Enerzijds gebruiken we afgeleide en geïntegreerde functies om meer informatie te krijgen over de eigenschappen van een functie, en de vorm van zijn grafiek. Maar we gebruiken ze vooral als we de functies gebruiken in toepassingen in de fysica, mechanica, elektriciteit,… funct

Ook deze toepassingen in verschillende wetenschapsvakken zijn weer zeer uiteenlopend maar de belangrijkste is hoogstwaarschijnlijk optimalisatie problemen. Met andere woorden het zoeken naar maximale (of minimale) oplossingen voor verschillende problemen. Laten we enkele voorbeelden bekijken. Hoe gebruiken we juist een afgeleide om dit probleem op te lossen?
Wel, stel we hebben een functie f(x), voor welke waarde is deze functie dan maximaal (of minimaal). Het blijken net die waarden te zijn waarvoor, indien ingevuld in de afgeleide f'(x), we een 0 uitkomen. Of f'(x) = 0 dan is x een maximum van f(x) (en omgekeerd).

Aangezien de wiskunde in zowat alle gebieden in het leven toe te passen zijn, kunnen we misschien ‘sport’ gebruiken als leidraad.

speer

Een speerwerper moet zijn object zo ver mogelijk proberen werpen, en werpt in een boogvorm, meer bepaald een hyperbool (die kennen we nog van “Parabolen wiskunde vs. moord“). Maar onder welke hoek gooit deze nu het best? 20°, 30°, … 90° ? Wel al zeker niet het laatste want dan zou hij rechtop werpen, maar het zal toch ergens tussen 0° en 90° zijn.  Als de hoek groot is gooit hij hoger, de speer blijft wel langer in de lucht maar de horizontale beweging is niet zo groot. Als de hoek te klein is gooit hij wel ver, maar zal de speer niet hoog raken en snel landen….en dus ook niet veel afstand maken.
De functie f(x) waar we in geïnteresseerd zijn is f(x) = V0 . sin (2x) / 9,81 (Hoe we deze formule bekomen is niet zo heel ingewikkeld maar ik verwijs je graag door naar je mechanica/fysica leraar).  De afgeleide wordt dan  f’(x) = V0 . cos (2x) / 4.905. We willen weten voor welke x deze nu wordt dus we stellen gelijk aan nul en rekenen dan uit was x is.
0= V0 . cos (2x) / 4,905
0 . 4,905 / V0 = 0 = cos (2x)
Bgcos (0) = 90° =  2x
90°/2 = x
We vinden dus dat x = 45°. We weten dus dat de afgeleide functie 0 wordt voor x = 45. We weten dus dat de functie f(x) maximaal zal worden voor deze waarde. De speerwerper zal dus op exact 45° werpen om een maximale afstand te behalen.
bochten
Formule 1 teams gebruiken deze afgeleiden ook continu. Bij elke bocht op elk circuit moeten de ingenieurs de keuze maken van hoe een formule 1 piloot een bocht insnijdt. Op de ene manier zal hij met snelheid uit de bocht komen maar voordien moeten remmen, een andere keuze laat hem met snelheid inrijden, maar dan moet hij voor de volgende bocht weer harder op de remmen… ook hier gebruiken we dus weer deze technieken.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

September 1, 2013 · 9:49 am

Rekenregels van het leven

Het lijkt misschien een overdreven titel maar ergens kan je jezelf wel de vraag stellen of we wiskunde kunnen gebruiken om de grootste vragen van ons leven te beantwoorden… Het is een discussie waard, maar indien we zulke moeilijke levensvragen willen kunnen oplossen moeten we het probleem eerst vergemakkelijken en trachten te doorgronden. Maar hoe doen we dit nu?

Afbeelding

De meesten kunnen als ze afstuderen machten verheffen en wortels trekken, maar ooit was dit ook een zeer moeilijke vraag die we eerst niet snapten. En om dit te doorgronden moeten we eerst bekijken hoe de basis van onze rekenkunde werkt.
Ooit leerden we als allereerste wiskundige oefening dat 1+1=2, en later dat 1+2=3 enz….. we leerden dus optellen en kort daarna ook aftrekken. Nadien leerde we dat we 1+1 kunnen bekijken als 2×1 (en gelukkig is dit ook gelijk aan 2).Ook is 4+4+4 = 3×4 =12 en we leerden dus aan de hand van optellen hoe vermenigvuldiging werkt. Later zien we dan eindelijk dat 4x4x4 = 4^3 = 64 en leren we hoe op basis van vermenigvuldigen de machtsverheffing werkt.
[ Bij meetkunde leren bijvoorbeeld ook niet meteen over drie dimensies. We beginnen met het idee van een punt en een rechte (1 dimensie), nadien hoe we vier- en driehoeken maken (2 dilmensies). Dan leren we bijvoorbeeld hoe we met 6 vierkanten een kubus te maken (drie dimensies)…. Alles is dus weer opgebouwd op gemakkelijkere, basisconcepten ]
Afbeelding
De vraag is nu dus of we iets dat zó complex is als het leven, kunnen opschrijven in heel simpele basisregels. En kunnen we dan met die basisregels voorspellingen doen over de toekomst of over de evolutie van de mens? En als alles inderdaad volgt uit die basisregels, is er dan wel vrije wil?

Afbeelding

De wiskundige John Conway brak zijn hoofd ook over dit soort vragen en kwam met het volgende idee op de proppen: Stel we hebben een oneindig groot rooster met vakjes waar een cel op kan leven (levende cel is zwart vakje, een dode cel is een wit vakje). We bekijken deze levende en cellen van dag tot dag en we gaan ervan uit dat ze aan volgende simpele regels voldoen.

1. Als een levende cel 2 of 3 buren heeft (buren zijn aangrenzende vakjes zowel boven/onder, links/rechts of diagonaal… elk vakje heeft dus 8 mogelijke buren) leeft het de volgende dag ook nog.
2. Als een levende cel minder dan 2 of meer dan 3 levende buren heeft sterft ze de volgende dag.
3. als een leeg vakje exact 3 levende buren heeft zal er op dit vakje de volgende dag een nieuwe cel ontstaan.

Afbeelding
Met deze drie makkelijke regels kunnen we dus eenvoudig voorspellen op welke vakjes de volgende dag levende cellen zullen zitten, waar er nieuwe geboren worden en waar ze zullen sterven. Als we bovenstaande rooster bekijken weten we bijvoorbeeld dat morgen  D4 zal sterven (want hij heeft minder dan 2 levende buren). K11 zal blijven leven want hij heeft 2 levende buren, en op D1 zal er een cel geboren worden want het vak grenst aan drie levende cellen…..

Op het net vind je vele site’s waar je simulatie vind van “the game of life” zoals de ontdekker Conway het noemt. http://www.emergentuniverse.org/#/life. Ook op iPad/iPhone https://itunes.apple.com/us/app/conways-game-of-life/id327013151?mt=8 of android https://play.google.com/store/apps/details?id=simon.jeu.LeJeuDeLaVie toestellen kan je apps downloaden die dit spel simuleren.
Het is leuk om te ontdekken hoe sommige begintoestanden evolueren na enkele dagen,… sommige situaties sterven uit, anderen blijven onveranderd, je hebt zelfs situaties die eindigen in een levend systeem dat blijft groeien…
Afbeelding
Toegegeven, het vertelt niet meteen iets over ONS leven, maar het is wel handig om inzicht te krijgen in levende organismen. Zo bestuderen wetenschappers ook ratten en muizen DNA om inzicht te krijgen in menselijk DNA… dit DNA bestaat trouwens ook uit enkele eenvoudige basisregels en maakt de meest complexe levende wezens…
John Conway heeft eigenlijk een systeem ontworpen waarvan we de regels kennen. Dit stelt ons in staat voorspellingen van het systeem te doen en net zoals bij de optelling, vermenigvuldiging en machten, steeds moeilijkere vragen te beantwoorden en te bestuderen.
Uitgevonden door een wiskundige wordt “the game of life” nu gebruikt voor onderzoek door biologen, theologe, economen, computerwetenschappers,…

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière, wiskundigen

parabolen: wiskunde vs. moord

Vele studenten denken bij het woord “wiskunde” meteen aan “bewijzen” van stellingen, kort daarop volgt meestal de vraag “waarom moeten we dit in hemelsnaam kennen?”. Wel daar licht nu net de kracht van de wetenschap, alles wat aangeleerd word is onweerlegbaar bewezen en zal vanaf nu tot het einde der tijden waar zijn. Er zijn geen twijfelgevallen of onzekere aannames die later fout kunnen blijken.
Een logisch gevolg is dan ook om wiskunde te gebruiken in onderzoek naar misdadigers of om het als bewijsmateriaal te gebruiken in rechtszaken. En dat wordt dan ook gedaan… We hebben reeds voorbeelden besproken in verband met fraudeurs (Wiskunde vs. belastingontduikers) maar zouden we wiskunde ook kunnen gebruiken voor andere misdrijven zoals moordzaken?
Afbeelding
Het onderwerp dat we nu zullen bekijken is parabolen. Dit zijn functie van de vorm y= ax²+bx+c.
Deze functies komen veel voor in de natuur en het dagelijkse leven, vooral als we beweging van vallende (of springende) objecten bekijken. Laten we enkele voorbeelden bekijken van sprongen, en meteen valt je een patroon op van de baan die de objecten volgen. (allemaal parabolen)
AfbeeldingAfbeelding

Maar hoe gebruiken we deze parabool (en zijn wiskundige vergelijking) nu als bewijsmateriaal in een rechtszaak? Wel vele zaken in verband met “vallen van hoogte” hebben jammer genoeg een dodelijke afloop. Het is dan enkel nog uit te zoeken of dit “vallen” een spijtig ongeluk is, of zelfmoord… en misschien zelfs moord! We zullen even nader bekijken hoe forensische onderzoekers juist te werk gaan.
Afbeelding
Als we springen, bijvoorbeeld van een bergclip in het water, hebben we 2 snelheden: een voorwaartse springsnelheid v, en een neerwaartse valsnelheid g. Voor de voorwaartse beweging hebben we dus (op de x-as):  x = v.t (met t de tijd) of met andere woorden, voorwaartse afstand is de snelheid maal de tijd. Voor de neerwaartse beweging (op de y-as) hebben we y = -(1/2). g. t² (hier is g de valsnelheid veroorzaakt door de zwaartekracht en deze is ongeveer 9.8 m/s²). De reden van het minteken in deze vergelijking is simpelweg omdat we naar beneden, en dus naar de negatieve kant van het assenstelsel, vallen. We weten dus de vergelijkingen voor x en y. Maar aangezien dat we weten dat de afgelegde weg een parabool vormt en x en y zich dus verhouden als x=y² bekomen we uiteindelijk y = -(1/2). g. (x/v)²  .
Afbeelding
Het enige wat je als onderzoeker nu nog nodig hebt zijn de gegevens van de plaats van de feiten. Stel bijvoorbeeld dat het slachtoffer van een bergclip van ongeveer 30 meter hoog viel en zo een 12 meter ver te neerkwam. Met deze gegevens kunnen we nu de snelheid, waarmee het slachtoffer van de berg viel/sprong/werd geduwd berekenen…  In ons voorbeeld komen we uit op 4,8497 m/s of ongeveer 17,46 km/h. Als we dan weten hoeveel aanloop het slachtoffer had, kunnen we nagaan of het deze snelheid op een natuurlijke manier heeft kunnen halen OF het een extra duw in de rug heeft gekregen…
Op deze manier werden in het verleden al mensen veroordeeld tot moord of eventueel vrijgesproken indien bewezen kon worden dat het over een ongeval ging.

DAAROM WISKUNDE!!!!!
Afbeelding

Giedts Tom

1 Comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

meetkunde in … Hollywood

Ik heb het in dit artikel niet over films met wiskundige thema’s of wiskundigen als personages. Het gaat meer over hoe wiskunde mee aan de grond ligt van een van de grootste evoluties in de filmgeschiedenis, en hoe het een steeds belangrijkere factor speelt in deze industrie. Als we de lijsten met kaskrakers bekijken vinden we steeds meer animatiefilms terug (denk maar aan cars, wall-e, shrek,…). Deze films hadden allemaal veel minder indrukwekkend geweest indien de hoofdpersonage’s niet realistisch zouden overkomen. Het is hier waar de Wiskunde een belangrijke rol begint te spelen.

disney-pixar-compilation-image-1519560

Laten we even bij het begin beginnen. Iedereen meent te denken dat een cirkel geen hoeken heeft…. maar is dat wel zo? Voor een cirkel zoals we ze in de wiskunde beschrijven en gebruiken wel, maar hoe tekent bijvoorbeeld een computer een cirkel? Wel eigenlijk begint deze met een regelmatige veelhoek (een veelhoek met gelijke zijden én gelijke hoeken). Maar gebruikt de computer dan een 3-hoek, 4-hoek, 15-hoek… Wel dat hangt een beetje van de software af natuurlijk, maar hoe meer hoeken je gebruikt hoe meer je veelhoek op een cirkel begint te lijken:
polygons
Inderdaad, we kunnen met het blote oog nog zien dat de 12-hoek inderdaad nog geen cirkel is, maar je begrijpt het idee wel. Indien we een cirkel net naast een regelmatige 100-hoek zouden plaatsen zou het voor ons al veel moeilijker zijn om te onderscheiden welke van de 2 nu de echte cirkel is en de welke de veelhoek. Per definitie kan je eigenlijk zeggen dat de cirkel een regelmatige ∞-hoek (oneindig-hoek) is. Vele benaderingen van het getal π (zowat het belangrijkste wiskundige getal en onlosmakend verbonden met cirkels) zijn gebaseerd op die laatste definitie.

Maar zoals gezegd was dat slechts het begin, in 2 dimensies. Maar de nieuwe generatie tekenfilms brengt ons alles in 3D.
In 2D voegden we hoeken en zijden toe om de figuur tot een vloeiende cirkel te maken, kunnen we dit principe toepassen op 3D figuren? Ja, en wel op verschillende manieren. Deze methoden worden ook wel “oppervlakte onderverdelingen” genoemd (je zal meteen weten waarom).  Laten we even volgende voorbeeld nemen waar een kubus ‘ronder en ronder’ gemaakt wordt tot het een bal is:
catmullclarck

Natuurlijk is dit slechts één voorbeeld van een 3D figuur. Wanneer we complexere figuren bekijken passen we echter steeds hetzelfde systeem toe. Eerst beginnen we met een afgevlakte figuur, die we vrij makkelijk kunnen maken met reeds bestaande computerprogramma’s. Deze afgevlakte figuur is alles behalve realistisch dus we zullen ze moeten afronden… Wel we verdelen van de afgevlakte figuur elke zijde in kleinere deeltjes (In het 2D voorbeeld met de cirkel voegden we zijden (1D) toe aan de veelhoek, in dit 3D voorbeeld voegen we veelhoeken (2D) toe aan de kubus). Het is door deze stap dat we de methodes ook wel “oppervlakte onderverdeling” noemen, omdat we de oppervlakten van de zijdes onderverdelen in kleinere veelhoeken. Die deeltjes kunnen we dan een klein beetje draaien ten opzichte van elkaar waardoor de figuur meer afgerond lijkt. Als we dan met die figuur de stap herhalen lijkt de figuur nog beter afgerond,….. Na vele stappen zal de figuur realistischer lijken, zoals te zien in volgende voorbeeld:

duck
Hier zie je ook nog een mooi voorbeeld, het verschil in de figuren is dat we 60/600/6000 of 60000 driehoeken gebruiken: compose

Er zijn verschillende manieren om dit concept toe te passen. Ze verschillen vooral in de manier waarop we de zijden onderverdelen in kleinere deeltjes. Het ene systeem deelt bijvoorbeeld alle zijden op in driehoeken, de andere in vierhoeken,… Ook de manier waarop de nieuwe deeltjes een beetje gedraaid worden verschilt tussen verschillende systemen. De belangrijkste 3 systemen zijn Catmill-Clarck-systeem,  Doo-Sabin-systeem en de methode van Loop.

Ook in computerspellen merken we deze evolutie natuurlijk!!!
wolf

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskundige carrière, wiskundigen

Wiskunde vs. Nazi-Duitsland

Deze blog tracht het belang van wiskunde in ons dagelijkse leven te tonen. In “kaatsen en nierstenen” toonde ik hoe wiskunde de geneeskunde helpt, maar we toonden ook al beter! “Hoe priemgetallen levens redden” liet zien hoe insecten zelfs “overleven” dankzij wiskunde… Kunnen we nog beter?
Wat dacht je van de 2-de wereldoorlog met 2 jaar inkorten… Hoeveel mensenlevens zouden we daarmee kunnen redden?….. Wel wiskundigen hebben dit voor elkaar gekregen…
Afbeelding
Het verhaal begint eigenlijk in het Duitse kamp. Hun leger gebruikt namelijk een codeermachine om geheime boodschappen en strategieën door te geven aan hun troepen. Aangezien het om zeer gevoelige informatie moet het kraken van de code zo moeilijk mogelijk gemaakt worden. De machine die de Duitsers hiervoor gebruikte was al enkele jaren op de markt. Het toestel heet heel gepast de “enigma” wat Grieks is voor “raadsel”. Het concept voor dit codeertoestel is bedacht door een Nederlander: Hugo Alexander Koch.
De meeste Duitse basissen hadden zo een machine om enerzijds hun bericht te coderen, maar de enigma werd ook gebruikt om eerdere gecodeerde berichten terug te decoderen. De enigma vertaalde dus in de twee richtingen: GEWONE TAAL –> CODE en CODE –> GEWONE TAAL.

Ruwweg is de machine als volgt opgebouwd: Telkens we een letter invoegen, bijvoorbeeld letter T, dan wordt deze op 9 verschillende plaatsen in een nieuwe veranderd! In onderstaand schema kunnen we dit goed volgen. De weg die de letter aflegt is als volgt T >> K >> O >> P >> H >> D >> G >> R >> W >> G. Met andere woorden als ik een T indruk geeft de machine me een G terug… Wat nu zo bijzonder is aan het systeem is dat de middelste wielen (bovenaan de tekening) na elke letter ronddraaien waardoor de machine steeds op een nieuwe manier de letter T zal coderen. zo ziet TTTTT er in code bijvoorbeeld als GXJEC uit… Daarom is het belangrijk dat de Duitsers weten met welke instellingen het bericht gecodeerd is.

Afbeelding

Het is haast onmogelijk om de hele werking van de machine even kort uit te leggen maar ik kan wel meegeven hoeveel verschillende begin instellingen er in de bovenstaande tekening kunnen zijn: 2.649.375.920.297.106.000 (2,6 miljard miljard!!!). Maar de Duitsers beslisten om het nog iets moeilijker te maken… Ze zorgen ervoor de ze de drie middelste wielen (bovenaan de tekening) van plaats konden veranderen,… meer zelfs in plaats van slechts 3 wielen maakte ze er 5 (Ze kozen uit deze 5 dan 3 wielen om in enigma te steken). daardoor verhoogt het aantal mogelijkheden tot maar liefst 158.962.555.217.826.360.000 (158,96 miljard miljard!!!).
Om te weten welke instellingen de officieren moesten gebruiken kregen ze maandelijks een papier met alle nodige info op. (tekening onder)Afbeelding

De code lijkt niet te kraken te zijn. Maar dan kwamen, jawel hoor, wiskundigen op de proppen. Eerder hadden de geallieerden door spionage al wel doorbraken gehad maar telkens de Duitsers de instellingen van de machine veranderden stonden we weer bij 0. Door het spioneren hebben we echter wel geleerd dat de machine een zwakte heeft: De enigma zal als we de letter T intypen, en ze doorheen de machine 9 maal veranderd, nooit een T teruggeven. Met andere woorden als we een T coderen kan deze een A worden, of een B, of een C, … of een Z, maar nooit opnieuw een T! Dit lijkt op het eerste zicht niet meteen een doorbraak, maar het is dit kleine detail die geleid heeft tot het breken van de code.
Afbeelding
Maanden van onderzoek door vele wiskundigen, waarvan Alan Turing (foto), ongetwijfeld de belangrijkste was, leidden tot het steeds sneller en makkelijker kraken van de code. Ze bouwde een enorme machine die met grote snelheid mogelijke instellingen testte en mogelijkheden afging. Eens de machine op punt stond kon ze op slechts 20 minuten tijd de code breken!
Volgens sommigen heeft het kraken van de enigma de oorlog met 2 tot 4 jaar verkort. Wat gelijk staat aan duizenden levens…..

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

Las Vegas, here we come !!!

Las Vegas is dé stad waar je eens een gokje kan wagen in één van de vele casino’s die de stad rijk is. De meeste bezoekers van zulke casino’s komen echter armer buiten dan toen ze er aankwamen. Kunnen we met wiskunde een systeem uitwerken waarmee we zeker zijn dat we zullen winnen? Wel ja en nee … ik leg het even uit…

roulette1

Er bestaan meerdere theorieën of manieren waar je wiskunde zou kunnen gebruiken om je inzet te bepalen. Degene die hier besproken wordt is het martingale-systeem. Stel je gooit een munt op en je gokt erom of deze op kop of munt zal landen… Als je juist raad krijg je het dubbele van je inzet terug, als je verliest krijg je niets. Het idee van martingale is dat we de eerste maal dat we gokken een basisbedrag inzetten, bijvoorbeeld  1€. Als we winnen geeft de bank ons 2€ en hebben we dus 1€ winst gemaakt. In dit geval  is ook de volgende inzet 1€, … zolang we blijven winnen trouwens blijven we dit basisbedrag inzetten.
Als we verliezen moeten we, om het martingale-systeem te volgen, voor de volgende gok onze inzet verdubbelen. Met andere woorden zetten we nu 2€ in. Als we weer verliezen zetten we de keer erna weer het dubbele in, dus 4€….. Zo blijven we bij verlies onze inzet verdubbelen. Bij winst gaan we weer terug naar een inzet van 1 euro.
inzet
Oké, bij winnen 1€ inzet, bij verlies verdubbelen… Hoe komt het dat we nu altijd winnen met dit systeem???
Je kan het makkelijk narekenen, telkens we een gok winnen zal de winst 1 euro zijn! enkele voorbeelden, stel het volgende win/verlies patroon: verlies, verlies, win. de inzet was de eerste keer 1 euro, de tweede maal 2 euro (want we verloren dus moeten het dubbele inzetten), de derde maal zetten we weer het dubbele in, 4 euro. Maar dat spel winnen we dus de bank betaalt ons 8 euro uit. Even kijken wat dit in het totaal is: 1+2+4 = 7 euro inzet, 8 euro gewonnen: resultaat is 1 euro winst!
Een tweede voorbeeld: verlies, verlies, verlies, verlies, verlies, winst. We reken even na hoeveel we steeds moesten inzetten en wat de winst is:  1+2+4+8+16 =31 euro inzet, 32 euro gewonnen (want winnende beurt had een inzet van 16 euro). weer is het resultaat 1 euro winst.

martingale

Het systeem werkt dus aangezien we, hoeveel beurten we ook verliezen, we eens we 1 beurt winnen, al de vorige inzetten terugwinnen en zelfs een euro winst boeken… Waarom zei ik in mijn inleiding dan “ja en nee”? Er zijn enkele problemen met het systeem. Het belangrijkste minpuntje zijn wijzelf, als mensen. Bij het gokken schakelen steeds te veel onze gevoelens en intuïtie in. Als we na 10 keer verliezen al 512 euro moeten inzetten (terwijl we weten dat we maar 1 euro winst maken als we winnen) durven veel mensen het systeem niet meer te volgen en zetten ze liever minder in (waardoor het systeem dus faalt).
Probleem nummer twee is dat we natuurlijk ook genoeg begingeld moeten hebben om dit systeem te kunnen blijven toepassen… als we slechts 100 euro hebben, en we verliezen 6 keer op rij dan hebben we al niet meer genoeg startgeld om voor het 7de spelletje in te zetten. 

winning

Theoretisch gezien, als we onze gevoelens kunnen uitschakelen en genoeg geld hebben om in te blijven zitten, dan werkt het systeem en zullen we telkens we een gok winnen 1€ winst maken.   

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

1 Comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in het casino, wiskundige carrière