Category Archives: wiskundigen

NIEUWE SCHOOLJAAR (waarom leer ik wiskunde op school?)

Voor velen van jullie is het alweer zover… je zit terug op de schoolbanken.
Frans, Nederlands, Aardrijkskunde, Geschiedenis,… en voor velen het minst favoriete, Wiskunde.

Waarom leren we dat het getal PI niet als een breuk geschreven kan worden???
Als 2x² + 5x -1 = 41 … dan is x = 3,5 … Wanneer zal ik dit gebruiken in het dagelijkse leven???
Wat maakt het uit dat een functie stijgend of dalend is, en waarom is het nuttig dat ik weet hoe ik een functie moet afleiden???
???

Zo kan ik wel nog even doorgaan, en misschien zit je zelf wel met enkele van deze of soortgelijke vragen.
Wel, in dat geval stuur je ze maar door naar waaromwiskunde@hotmail.com .
Ik zal laten zien dat voor elk, op het eerste zicht nutteloos, concept of onderwerp waarover je in wiskunde leert,
echt wel een nuttige, leuke, verrassende of veelgebruikte toepassing is.

Alle vragen of opmerkingen zijn welkom!
waaromwiskunde@hotmail.com

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, experiment in 3 stappen, Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, wiskunde in de natuur, wiskunde in het casino, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

Rekenregels van het leven

Het lijkt misschien een overdreven titel maar ergens kan je jezelf wel de vraag stellen of we wiskunde kunnen gebruiken om de grootste vragen van ons leven te beantwoorden… Het is een discussie waard, maar indien we zulke moeilijke levensvragen willen kunnen oplossen moeten we het probleem eerst vergemakkelijken en trachten te doorgronden. Maar hoe doen we dit nu?

Afbeelding

De meesten kunnen als ze afstuderen machten verheffen en wortels trekken, maar ooit was dit ook een zeer moeilijke vraag die we eerst niet snapten. En om dit te doorgronden moeten we eerst bekijken hoe de basis van onze rekenkunde werkt.
Ooit leerden we als allereerste wiskundige oefening dat 1+1=2, en later dat 1+2=3 enz….. we leerden dus optellen en kort daarna ook aftrekken. Nadien leerde we dat we 1+1 kunnen bekijken als 2×1 (en gelukkig is dit ook gelijk aan 2).Ook is 4+4+4 = 3×4 =12 en we leerden dus aan de hand van optellen hoe vermenigvuldiging werkt. Later zien we dan eindelijk dat 4x4x4 = 4^3 = 64 en leren we hoe op basis van vermenigvuldigen de machtsverheffing werkt.
[ Bij meetkunde leren bijvoorbeeld ook niet meteen over drie dimensies. We beginnen met het idee van een punt en een rechte (1 dimensie), nadien hoe we vier- en driehoeken maken (2 dilmensies). Dan leren we bijvoorbeeld hoe we met 6 vierkanten een kubus te maken (drie dimensies)…. Alles is dus weer opgebouwd op gemakkelijkere, basisconcepten ]
Afbeelding
De vraag is nu dus of we iets dat zó complex is als het leven, kunnen opschrijven in heel simpele basisregels. En kunnen we dan met die basisregels voorspellingen doen over de toekomst of over de evolutie van de mens? En als alles inderdaad volgt uit die basisregels, is er dan wel vrije wil?

Afbeelding

De wiskundige John Conway brak zijn hoofd ook over dit soort vragen en kwam met het volgende idee op de proppen: Stel we hebben een oneindig groot rooster met vakjes waar een cel op kan leven (levende cel is zwart vakje, een dode cel is een wit vakje). We bekijken deze levende en cellen van dag tot dag en we gaan ervan uit dat ze aan volgende simpele regels voldoen.

1. Als een levende cel 2 of 3 buren heeft (buren zijn aangrenzende vakjes zowel boven/onder, links/rechts of diagonaal… elk vakje heeft dus 8 mogelijke buren) leeft het de volgende dag ook nog.
2. Als een levende cel minder dan 2 of meer dan 3 levende buren heeft sterft ze de volgende dag.
3. als een leeg vakje exact 3 levende buren heeft zal er op dit vakje de volgende dag een nieuwe cel ontstaan.

Afbeelding
Met deze drie makkelijke regels kunnen we dus eenvoudig voorspellen op welke vakjes de volgende dag levende cellen zullen zitten, waar er nieuwe geboren worden en waar ze zullen sterven. Als we bovenstaande rooster bekijken weten we bijvoorbeeld dat morgen  D4 zal sterven (want hij heeft minder dan 2 levende buren). K11 zal blijven leven want hij heeft 2 levende buren, en op D1 zal er een cel geboren worden want het vak grenst aan drie levende cellen…..

Op het net vind je vele site’s waar je simulatie vind van “the game of life” zoals de ontdekker Conway het noemt. http://www.emergentuniverse.org/#/life. Ook op iPad/iPhone https://itunes.apple.com/us/app/conways-game-of-life/id327013151?mt=8 of android https://play.google.com/store/apps/details?id=simon.jeu.LeJeuDeLaVie toestellen kan je apps downloaden die dit spel simuleren.
Het is leuk om te ontdekken hoe sommige begintoestanden evolueren na enkele dagen,… sommige situaties sterven uit, anderen blijven onveranderd, je hebt zelfs situaties die eindigen in een levend systeem dat blijft groeien…
Afbeelding
Toegegeven, het vertelt niet meteen iets over ONS leven, maar het is wel handig om inzicht te krijgen in levende organismen. Zo bestuderen wetenschappers ook ratten en muizen DNA om inzicht te krijgen in menselijk DNA… dit DNA bestaat trouwens ook uit enkele eenvoudige basisregels en maakt de meest complexe levende wezens…
John Conway heeft eigenlijk een systeem ontworpen waarvan we de regels kennen. Dit stelt ons in staat voorspellingen van het systeem te doen en net zoals bij de optelling, vermenigvuldiging en machten, steeds moeilijkere vragen te beantwoorden en te bestuderen.
Uitgevonden door een wiskundige wordt “the game of life” nu gebruikt voor onderzoek door biologen, theologe, economen, computerwetenschappers,…

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière, wiskundigen

meetkunde in … Hollywood

Ik heb het in dit artikel niet over films met wiskundige thema’s of wiskundigen als personages. Het gaat meer over hoe wiskunde mee aan de grond ligt van een van de grootste evoluties in de filmgeschiedenis, en hoe het een steeds belangrijkere factor speelt in deze industrie. Als we de lijsten met kaskrakers bekijken vinden we steeds meer animatiefilms terug (denk maar aan cars, wall-e, shrek,…). Deze films hadden allemaal veel minder indrukwekkend geweest indien de hoofdpersonage’s niet realistisch zouden overkomen. Het is hier waar de Wiskunde een belangrijke rol begint te spelen.

disney-pixar-compilation-image-1519560

Laten we even bij het begin beginnen. Iedereen meent te denken dat een cirkel geen hoeken heeft…. maar is dat wel zo? Voor een cirkel zoals we ze in de wiskunde beschrijven en gebruiken wel, maar hoe tekent bijvoorbeeld een computer een cirkel? Wel eigenlijk begint deze met een regelmatige veelhoek (een veelhoek met gelijke zijden én gelijke hoeken). Maar gebruikt de computer dan een 3-hoek, 4-hoek, 15-hoek… Wel dat hangt een beetje van de software af natuurlijk, maar hoe meer hoeken je gebruikt hoe meer je veelhoek op een cirkel begint te lijken:
polygons
Inderdaad, we kunnen met het blote oog nog zien dat de 12-hoek inderdaad nog geen cirkel is, maar je begrijpt het idee wel. Indien we een cirkel net naast een regelmatige 100-hoek zouden plaatsen zou het voor ons al veel moeilijker zijn om te onderscheiden welke van de 2 nu de echte cirkel is en de welke de veelhoek. Per definitie kan je eigenlijk zeggen dat de cirkel een regelmatige ∞-hoek (oneindig-hoek) is. Vele benaderingen van het getal π (zowat het belangrijkste wiskundige getal en onlosmakend verbonden met cirkels) zijn gebaseerd op die laatste definitie.

Maar zoals gezegd was dat slechts het begin, in 2 dimensies. Maar de nieuwe generatie tekenfilms brengt ons alles in 3D.
In 2D voegden we hoeken en zijden toe om de figuur tot een vloeiende cirkel te maken, kunnen we dit principe toepassen op 3D figuren? Ja, en wel op verschillende manieren. Deze methoden worden ook wel “oppervlakte onderverdelingen” genoemd (je zal meteen weten waarom).  Laten we even volgende voorbeeld nemen waar een kubus ‘ronder en ronder’ gemaakt wordt tot het een bal is:
catmullclarck

Natuurlijk is dit slechts één voorbeeld van een 3D figuur. Wanneer we complexere figuren bekijken passen we echter steeds hetzelfde systeem toe. Eerst beginnen we met een afgevlakte figuur, die we vrij makkelijk kunnen maken met reeds bestaande computerprogramma’s. Deze afgevlakte figuur is alles behalve realistisch dus we zullen ze moeten afronden… Wel we verdelen van de afgevlakte figuur elke zijde in kleinere deeltjes (In het 2D voorbeeld met de cirkel voegden we zijden (1D) toe aan de veelhoek, in dit 3D voorbeeld voegen we veelhoeken (2D) toe aan de kubus). Het is door deze stap dat we de methodes ook wel “oppervlakte onderverdeling” noemen, omdat we de oppervlakten van de zijdes onderverdelen in kleinere veelhoeken. Die deeltjes kunnen we dan een klein beetje draaien ten opzichte van elkaar waardoor de figuur meer afgerond lijkt. Als we dan met die figuur de stap herhalen lijkt de figuur nog beter afgerond,….. Na vele stappen zal de figuur realistischer lijken, zoals te zien in volgende voorbeeld:

duck
Hier zie je ook nog een mooi voorbeeld, het verschil in de figuren is dat we 60/600/6000 of 60000 driehoeken gebruiken: compose

Er zijn verschillende manieren om dit concept toe te passen. Ze verschillen vooral in de manier waarop we de zijden onderverdelen in kleinere deeltjes. Het ene systeem deelt bijvoorbeeld alle zijden op in driehoeken, de andere in vierhoeken,… Ook de manier waarop de nieuwe deeltjes een beetje gedraaid worden verschilt tussen verschillende systemen. De belangrijkste 3 systemen zijn Catmill-Clarck-systeem,  Doo-Sabin-systeem en de methode van Loop.

Ook in computerspellen merken we deze evolutie natuurlijk!!!
wolf

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskundige carrière, wiskundigen

Wiskunde vs. Nazi-Duitsland

Deze blog tracht het belang van wiskunde in ons dagelijkse leven te tonen. In “kaatsen en nierstenen” toonde ik hoe wiskunde de geneeskunde helpt, maar we toonden ook al beter! “Hoe priemgetallen levens redden” liet zien hoe insecten zelfs “overleven” dankzij wiskunde… Kunnen we nog beter?
Wat dacht je van de 2-de wereldoorlog met 2 jaar inkorten… Hoeveel mensenlevens zouden we daarmee kunnen redden?….. Wel wiskundigen hebben dit voor elkaar gekregen…
Afbeelding
Het verhaal begint eigenlijk in het Duitse kamp. Hun leger gebruikt namelijk een codeermachine om geheime boodschappen en strategieën door te geven aan hun troepen. Aangezien het om zeer gevoelige informatie moet het kraken van de code zo moeilijk mogelijk gemaakt worden. De machine die de Duitsers hiervoor gebruikte was al enkele jaren op de markt. Het toestel heet heel gepast de “enigma” wat Grieks is voor “raadsel”. Het concept voor dit codeertoestel is bedacht door een Nederlander: Hugo Alexander Koch.
De meeste Duitse basissen hadden zo een machine om enerzijds hun bericht te coderen, maar de enigma werd ook gebruikt om eerdere gecodeerde berichten terug te decoderen. De enigma vertaalde dus in de twee richtingen: GEWONE TAAL –> CODE en CODE –> GEWONE TAAL.

Ruwweg is de machine als volgt opgebouwd: Telkens we een letter invoegen, bijvoorbeeld letter T, dan wordt deze op 9 verschillende plaatsen in een nieuwe veranderd! In onderstaand schema kunnen we dit goed volgen. De weg die de letter aflegt is als volgt T >> K >> O >> P >> H >> D >> G >> R >> W >> G. Met andere woorden als ik een T indruk geeft de machine me een G terug… Wat nu zo bijzonder is aan het systeem is dat de middelste wielen (bovenaan de tekening) na elke letter ronddraaien waardoor de machine steeds op een nieuwe manier de letter T zal coderen. zo ziet TTTTT er in code bijvoorbeeld als GXJEC uit… Daarom is het belangrijk dat de Duitsers weten met welke instellingen het bericht gecodeerd is.

Afbeelding

Het is haast onmogelijk om de hele werking van de machine even kort uit te leggen maar ik kan wel meegeven hoeveel verschillende begin instellingen er in de bovenstaande tekening kunnen zijn: 2.649.375.920.297.106.000 (2,6 miljard miljard!!!). Maar de Duitsers beslisten om het nog iets moeilijker te maken… Ze zorgen ervoor de ze de drie middelste wielen (bovenaan de tekening) van plaats konden veranderen,… meer zelfs in plaats van slechts 3 wielen maakte ze er 5 (Ze kozen uit deze 5 dan 3 wielen om in enigma te steken). daardoor verhoogt het aantal mogelijkheden tot maar liefst 158.962.555.217.826.360.000 (158,96 miljard miljard!!!).
Om te weten welke instellingen de officieren moesten gebruiken kregen ze maandelijks een papier met alle nodige info op. (tekening onder)Afbeelding

De code lijkt niet te kraken te zijn. Maar dan kwamen, jawel hoor, wiskundigen op de proppen. Eerder hadden de geallieerden door spionage al wel doorbraken gehad maar telkens de Duitsers de instellingen van de machine veranderden stonden we weer bij 0. Door het spioneren hebben we echter wel geleerd dat de machine een zwakte heeft: De enigma zal als we de letter T intypen, en ze doorheen de machine 9 maal veranderd, nooit een T teruggeven. Met andere woorden als we een T coderen kan deze een A worden, of een B, of een C, … of een Z, maar nooit opnieuw een T! Dit lijkt op het eerste zicht niet meteen een doorbraak, maar het is dit kleine detail die geleid heeft tot het breken van de code.
Afbeelding
Maanden van onderzoek door vele wiskundigen, waarvan Alan Turing (foto), ongetwijfeld de belangrijkste was, leidden tot het steeds sneller en makkelijker kraken van de code. Ze bouwde een enorme machine die met grote snelheid mogelijke instellingen testte en mogelijkheden afging. Eens de machine op punt stond kon ze op slechts 20 minuten tijd de code breken!
Volgens sommigen heeft het kraken van de enigma de oorlog met 2 tot 4 jaar verkort. Wat gelijk staat aan duizenden levens…..

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière, wiskundigen

golven en cocktailfeestjes

Ik heb het in mijn artikels al over veel takken van de wiskunde gehad. Meetkunde (Pythagoras vs. Fermat), groepentheorie (groepentheorie), getaltheorie (Hoe priemgetallen levens redden),… Dit tekstje gaat over analyse. Het is de wiskunde die veranderingen in functies (krommen, parabolen, …) bestudeerd. Ik geef toe dat dit nooit mijn lievelingsgebied was toen ik op de schoolbanken zat, maar toch zijn hier ook weer leuke toepassingen voor te vinden.

Nog niet iedereen zal al functies gezien hebben en daarom zal ik niet te diep op de leerstof ingaan. Het enige wat je eigenlijk moet weten is hoe de sinus en cosinus functies eruitzien. Deze zullen worden aangeleerd in het derde en vierde middelbaar, maar ik heb een mooi fotootje voor diegenen die nog niet ze ver raakten: Op de grafiek volgt de blauwe golf de sinusfunctie en de rode golf de cosinusfunctie (ze zijn identiek maar een beetje opgeschoven ten opzichte van elkaar). En wees gerust dat je deze woorden nog wel enkele keren gaat tegenkomen in je wiskundige carrière 🙂 . Het lijkt bij het begin een beetje moeilijk, maar je gebruikt ze zoveel dat ook zij vanzelfsprekend worden, net zoals de tafels van vermenigvuldiging.

cossin
Ook wanneer je over elektriciteit (of elektronica) leert kom je deze golven tegen. Zelfs mensen die muziek spelen zullen de golven ooit wel eens ontmoeten. Sterker nog, … eigenlijk is al het geluid, zoals muziek maar ook al het lawaai, praten, verkeer,… dat we horen een combinatie van sinus en cosinusfuncties… Je merkt al snel dat ze onnoemelijk veel zullen voorkomen en dus een héél belangrijk thema zijn. Zo belangrijk zelfs dat er een aparte tak van de analyse bestaat, die zich uitsluitend bezighoudt met dit soort dingen: de Fourieranalyse (genoemd naar de Fransman Jean-Baptiste Joseph Fourier). Maar wat is nu het nut van deze kromme?

Wel, de functies die we boven zagen waren nog vrij eenvoudig. Ze hadden een gemakkelijke vorm en je zou ze met een even groot gemak kunnen verder tekenen. Maar stel je krijgt de volgende functie op je bord:
noise

Deze is al iets moeilijker te verteren… Welk geluid zouden we hier horen?….Dit is het punt waar wiskunde Fourieranalyse gaan gebruiken. Het klinkt als een heel moeilijk woord (je spreekt het uit als foerjee-analieze), maar wat het inhoudt is eigenlijk vrij eenvoudig.
Het zegt dat al deze moeilijke geluidsgolven eigenlijk de som zijn van de gemakkelijke sinus (en cosinus) functies… Het is alsof we een heel groot en moeilijk probleem opsplitsen in een paar kleinere én gemakkelijke probleempjes. Hieronder zie je een voorbeeld van een ‘opgesplitst’ probleem. A is moeilijk om meteen te snappen, maar al we dit geluid opsplitsen in enkele kleintjes, namelijk B,C,D en E dan kunnen we het al wat gemakkelijker bestuderen. B,C,D en E hebben namelijk allemaal de vorm van de gemakkelijke sinus:

somsin
Oké, dus we kunnen blijkbaar geluiden opsplitsen (We kunnen natuurlijk ook omgekeerd B+C+D+E doen om weer A te krijgen) en terug samenstellen… en dan? Met andere woorden wat is nu het nut van dit alles? 
Denk maar aan je radio of lange afstandsgesprekken. Dikwijls zit er storing op je verbinding, of ruis op je radio. Deze worden gelukkig voor een groot deel weggefilterd worden door het apparaat. Maar hoe weet dit apparaat of hij nu de storing weg laat vallen in de plaats van muziek of iemand zijn stem? –> Fourieranalyse! Dus elke dag dat je met je gsm belt of naar je radio luistert gebruik je deze vreemde golven!

cocktail_party_by_kebikun-d3hru4e
Het cocktailfeestje-probleem. Jawel het is echt een naam van een bestaand probleem:
Stel je bevindt je op een feest waar honderden mensen door elkaar praten, er staat luide muziek op, hier en daar valt een glas… Kortom langs alle kanten komen er geluidsgolven binnen. Maar jij wil nu net het gesprek afluisteren van iemand die een 10 meter verder staat… Kan je zoveel wegfilteren dat je enkel dit gesprek hoort?
Sinds kort hebben wiskundigen het probleem opgelost. Ze hebben de Fourieranalse zo geperfectioneerd dat ze in theorie alles kunnen wegfilteren wat ze maar willen. Ze hebben dit probleem opgelost met een grote interesse van de CIA (Amerikaanse spionage dienst) die het enorm leuk vinden om mensen af te luisteren om hun plannen te weten te komen…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundigen

Pythagoras vs. Fermat

Afbeelding
Ik denk dat ik de eerste persoon niet meer hoef voor te stellen… Deze wiskundige (572 – 500 v.Chr.) ontdekte de bekende verhouding tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Naast deze ontdekking kan er nog ontzettend veel over de man verteld worden. Zo leidde hij zelfs een sekte waar geloofd werd in zielsverhuizing, ze gaven verschillende getallen een speciale symboliek (4 was recht, 5 is huwelijk, 10 is perfectie,…)… Oh ja, misschien een van de vreemdste regels, ze mochten ook geen bonen eten van Pythagoras…
De geleerde stelde getallen boven alles en dacht dat heel het universum met gehele getallen te beschrijven was. Hij zou gek geworden zijn van het feit dat √2, zoals andere irrationale getallen, niet te schrijven is als een breuk van gehele getallen.

Maar zoals gezegd kennen we hem allemaal van zijn alom bekende stelling:
Afbeelding

Nadat Pythagoras ze zelf bewees, is ze nog door honderden andere bewezen op verschillende manieren… Deze stelling is de basis van ALLE meetkunde! Duizenden wiskundige bewijzen maken gebruik van de eigenschap, en de ervan toepassingen zijn ontelbaar. Denk maar aan alles wat met meetkunde te maken heeft… Atlassen, GPS, oppervlakte berekenen, driehoeksmeetkunde, … Een belangrijk, niet zo verrassend, gevolg van de stelling is dat de rechte die 2 punten verbindt, steeds te kortste weg is tussen die 2 punten… In ons voorbeeld is dus de kortste weg tussen de groene en rode ster, de rechte c. We maken altijd een omweg als we eerst via de blauwe ster zouden wandelen (tenzij de blauwe ster op de rechte c ligt natuurlijk). Als onze snelheid overal dezelfde is dan is de kortste weg trouwens ook de snelste…
Afbeelding
Maar daar komt Fermat (1601-1665) op de proppen! Hij was een Franse rechter die zich in zijn vrije tijd bezighield met het oplossen van wiskundige puzzels. Fermat is misschien iets minder bekend dan Pythagoras, maar toch is er een enorm belangrijk probleem naar hem vernoemd. Dit probleem had de naam “de laatste stelling van Fermat”. Het draagt deze naam omdat het de laatste stelling was die Fermat bestudeerde, waar moderne wiskundige geen antwoord op vonden. Maar zo’n 15 jaar geleden is het aloude probleem dan eindelijk opgelost… (Het probleem was 300 jaar onopgelost!!!). De fransman beweerde in één van zijn notitie’s het probleem te hebben opgelost, maar hij heeft wellicht een fout gemaakt. Experts beweren dat de wiskunde van die tijd niet ver genoeg zou gestaan hebben om zulk resultaat te bekomen.
De stelling gaat ongeveer als volgt (let vooral op de overeenkomst met de stelling van Pythagoras): “kan je voor gelijk welke waarde van n, drie getallen x, y en z invullen, zodat de volgende formule klopt?” Afbeelding
Wel we merkten al snel dat dit klopt als n = 1. dit komt dan gewoon overeen met optelling zoals we in de lessen zien. Ook als n = 2 kunnen we getallen vinden die de formule doen kloppen, want dan is ze eigenlijk dezelfde als de stelling van Pythagoras… maar wat nu als n groter is dan 2?
Wel het is dus bewezen dat als n > 2, de formule nooit kan kloppen. Gelijk welke waarden je invult op de plaatsen van x, y en z… de formule zal nooit uitkomen…

Zo zie je hoe Fermat alles een beetje moeilijker maakt dan Pythagoras. Hij past zijn stelling een beetje aan en plots wordt het bewijs aartsmoeilijk… (300 jaar zoekwerk, en een bewijs van meer dan 100 pagina’s !!!). Maar ook wil hij de eigenschap van de kortste weg een beetje moeilijker maken… Stel bijvoorbeeld dat je zo snel mogelijk op een punt moet geraken, maar dat je eerst door zand en daarna door water moet om je bestemming te bereiken. Onze snelheid is op zand niet dezelfde als die van in het water, en de berekening van de kortste weg word dus ingewikkelder…
Afbeelding Wat is nu de snelste weg om van de groene ster in het zand, naar de rode ster in het water te komen? Is de kortste weg (A) dan ook nog gelijk aan de snelste? Moeten we zo snel mogelijk te water en dan zwemmen (B), of eerst zo ver mogelijk lopen en dan pas zwemmen (C). Of is het misschien iets tussenbeide (D).
Ook hierover brak Fermat zijn hoofd, ook dit keer beweerde hij het probleem te hebben opgelost… Maar dit keer beweerde hij dit terecht. Zijn oplossing noemt daarom ook nog steeds “het principe van Fermat”. De snelste manier zal manier (D) zijn. Je moet enkel berekenen waar het punt ligt waar je van land naar water overgaat, (deze berekeningen zijn niet zo moeilijk en leer je zeker nog in het middelbaar) en klaar is kees.
Interessant is dat honden dit principe blijkbaar ook kennen. Als je een bal gooit in een vijver of meer, dan zal de hond deze ook zo snel als hij kan terughalen. Ook hij gebruikt daarom het principe van de snelste weg volgens optie (D)… Honden voelen daarbij blijkbaar vanzelf aan waar hij van land in het water moet springen om zo snel mogelijk aan de bal te geraken!
Afbeelding

Ook mieren gebruiken dit concept en weten blijkbaar (zonder dat ze berekeningen hoeven te doen) waar ze van de ene ondergrond naar de andere (vb. van gras naar modder) moeten om zo snel mogelijk bij hun voedsel te komen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

4 Comments

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundigen

Hoe wiskunde, Google rijk maakte.

Ik denk dat ik zonder enige twijfel kan zeggen dat iedereen die op het net zit, wel bekend is met het machtige Google. De bekende zoekmachine is nog steeds de meest bezochte website. Waarom is nu net deze zoekrobot zo groot geworden tegenover kleinere concurrenten als Bing, AltaVista of Hotbot? Wel het antwoord is het algoritme (systeem)  dat ze gebruiken om websites te zoeken. Een algoritme dat gebruik maakt van … wiskunde.

Hoe werkt een zoekrobot? stel je gebruikt de vzoekterm: “wiskunde”. Je zou kunnen denken dat de robot gewoon al de sites afgaat, telt op elke site hoeveel het woord “wiskunde” voorkomt, en geeft dan die webpagina mee met het hoogste aantal hits. Ergens is dit een logische benadering maar het we hebben dan het volgende probleem. Stel bijvoorbeeld dat er iemand honderdduizend keer het woord “wiskunde” typt en dit online zet als website. Niemand is verder geholpen met deze site, en toch zal hij bovenaan de zoekresultaten staan, want er zal geen site zijn waar het woord “wiskunde” dan nog meer voorkomt… Hoe vermijden we dit?

Afbeelding

Larry Page en Sergey Brin (grondleggers en eigenaars van Google) dachten de oplossing te hebben gevonden. Ze bepalen de waardering van webpagina XXX met behulp van twee regels. 
De eerste regel zegt dat hoe meer websites een hyperlink maken naar pagina XXX, hoe hoger hij gewaardeerd wordt. Bijvoorbeeld als 20 websites de link “https://waaromwiskunde.wordpress.com/” posten, zal de waardering van mijn blog hoger zijn dan als slechts 5 sites dit doen. Afbeelding

Deze 20 sites, die een link posten naar mijn blog krijgen natuurlijk zelf ook een waardering gekregen via het algoritme. De kans is dus groot dat deze 20 niet allemaal even veel ‘waard’ zijn. Daaruit volgt de tweede regel: Als site A een link post naar een website B, dan hangt de waarde van B ook af van de waarde van site A. Om terug naar mijn voorbeeld te gaan: het is beter dat 3 sites zoals Google, Facebook of Wikipedia een link leggen naar mijn blog, dan wanneer drie kleine (onbelangrijke) websites dat doen… Afbeelding

Kort samengevat, je bent meer waard als er veel websites naar jou doorlinken. En het wordt nog beter als die websites zelf al een hoge waardering hebben.
Het idee is dus eenvoudig maar het uitrekenen van een waardering kan al snel ingewikkeld worden:

Afbeelding 

D ontvangt de meeste pijlen en is dus volgens de eerste regel de belangrijkste. Maar volgens de tweede regel zou B de belangrijkste zijn. Site D krijgt immers enkel doorverwijzingen van onbekende site, terwijl B een doorverwijzing kreeg van een heel bekende site….  Hoe berekenen we nu welke de belangrijkste is? (Hou in het achterhoofd dat dit een eenvoudig voorbeeld is en het probleem enkel moeilijker wordt als je de miljarden links indenkt tussen alle internetsites van het web…) 

Wel met volgende “eenvoudige” formule:Afbeelding

De wiskunde hierachter is echt niet zo ingewikkeld (hier moet je letterlijk geen universiteit voor hebben gedaan). Het is leerstof die jullie al zullen zien in de komende jaren secundair onderwijs!!! Misschien gebruik jij ook de wiskunde die je daar leert om een nieuw algoritme te ontwikkelen, en word je mogelijk groter dan Google…
Misschien een beetje motivatie: De wiskundige formule die je hierboven ziet, zorgde ervoor dat de 2 uitvinders ervan, de 24ste plaats delen op de lijst van rijkste mensen ter wereld…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskundige carrière, wiskundigen

Wiskundige en romanticus

Het jaar is 1811, en we bevinden ons in Bourg La Reine, een dikke 10 kilometer van dé hoofdstad van de romantiek, Parijs. Om een idee te geven in welke periode we ons juist bevinden, Napoleon beleeft zijn hoogjaren (zijn heerschappij liep echter wel 4 jaar later af te Waterloo). 1811 Is het jaar waarop een opmerkelijke wiskundige geboren werd,… meer bepaald op 25 oktober. Ik heb het over Evariste Galois.

Afbeelding

In zijn eerste levensjaren is er voor Evariste geen vuiltje aan de lucht. Hij wordt geboren in een goed milieu, en zijn vader schopt het zelfs tot burgemeester van z’n stad. Ook wiskundig is het nog windstil de eerste jaren. Hij krijgt tot zijn twaalfde thuis les van zijn moeder, ze leert hem voornamelijk  filosofie, religie en de talen Grieks en Latijns. Pas als hij Op 12 jarige leeftijd naar school gaat begint zijn intelligentie op te vallen en wint hij op diezelfde school zelfs enkele prijzen. En het tij begint al helemaal te keren als hij op 16-jarige leeftijd zijn eerste les wiskunde krijgt. Hij raakt echt geobsedeerd door het vak en verslindt wiskundeboeken alsof het niets is. 2 Jaar nadat zijn 1ste wiskunde les volgde, publiceert Galois zelfs al een eerste paper (over kettingbreuken, zie foto) in een heel belangrijk ‘wiskundig magazine’. 

Afbeelding

Maar dan begint het allemaal een beetje mis te lopen. Hij verliest zijn vader op dramatische wijze en kan maar niet slagen in het toelatingsexamen voor de universiteit van Parijs. Hij stuurt massa’s brieven, met wiskundige inzichten en ideeën naar hoogstaande wiskundigen (zoals Cauchy en Fourier), in de hoop dat iemand zijn geniale theorieën opmerkt. Tevergeefs, Galois heeft dan wel briljante ingevingen maar hij heeft problemen om die ideeën te verwoorden. De belangrijke wiskundigen leggen de opgestuurde teksten naast zich neer, soms gewoon omdat ze denken dat hij fout zit, maar meestal omdat ze hem niet snappen! Enerzijds was het onderwerp waarover hij schreef nieuw, maar Galois was ook heel slecht met woorden, en had een vreselijk geschrift… (volgende foto is een pagina van één van Galois’ laatste notities)

Afbeelding

Komt er nog eens boven op dat er in het land een revolutie heerst tegen het koningshuis. Galois is van thuis uit sterk republikein (en dus ook tegen het koningshuis), zo sterk dat hij meevecht in deze revolutie en daardoor belandt hij uiteindelijk zelfs tweemaal in de cel. Weinig die de titel van wiskundigen en bad-boy combineren 🙂 …

Het meest bekende van het leven van Galois is de manier waarop hij omkwam. Op vrij jonge leeftijd (21 jaar) daagt hij zijn aartsrivaal uit tot een duel. Ze duelleren om het hart van Stephanie-Felice du Motel. Ondanks dat hij wist dat zijn tegenstander een veel beter schutter was, had Galois een te grote vechtersmentaliteit en een te hevige liefde voor Stephanie. 

Afbeelding

De dag voor het fatale duel stond Galois er bij stil, dat een groot deel van zijn wiskundige ideeën nog niet uitgeschreven was. Hij had er dan maar niets anders op gevonden om de avond voor het duel al zijn stellingen en theorieën neer te pennen. Zijn ingevingen waren echter zo uitgebreid dat hij hiervoor tot in de hele vroege uurtjes moest doorpennen. Maar net zoals voordien was zijn geschrift en verwoording zo slecht, dat er tot lang na zijn dood uitgepuzzeld werd wat Galois eigenlijk allemaal bedoelde. Zelfs tot op de dag van vandaag zijn wiskundigen bezig met het uitdokteren van sommige nota’s uit zijn ‘afscheidsbrief’.
Om je een idee te geven van het belang van sommige van zijn doorbraken: Hij bedacht bijna eigenhandig een hele nieuwe tak van de wiskunde, namelijk de “Galois-theorie” (straf voor iemand die nog geen 22 jaar is geworden). Galois theorie is trouwens nog steeds een belangrijk en is zelfs verplichte leerstof bij universitaire studies wiskunde!

Afbeelding

Het is door de liefde voor een meisje, dat Galois in een doodsgevaarlijk duel terecht kwam. En het is zijn liefde voor wiskunde die er voor zorgde dat hij er doodmoe aan deelnam…

DAAROM (misschien voor Galois beter even geen) WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under wiskundigen

Bijverdienen met wiskunde op de moeilijke manier

Toegegeven, in het artikel over het bijverdienen op de gemakkelijke manier, komt veel toeval kijken. Enkel als het toevallig jou pc is, die het nieuwe grootste priemgetal ontdekt, ontvang je van het GIMPS een geldprijs. Er bestaan ook andere manieren om stevig te verdienen aan wiskunde waar je niet van het toeval afhangt! Het enige dat je te doen staat is één van de 6 millennium-problemen op te lossen. Nadeel is wel dat het ontzettend moeilijk is. Grofweg gezegd doe je het zo.

stap 1: Surf naar de site http://www.claymath.org/index.php

stap 2: Los een van de prijsvragen op

stap 3: Suur je oplossing op en verdien 1.000.000 dollar!

Image

Zoals gezegd staan er nu nog 6 vragen open. Op de oplossing van elk van deze 6 vraagstukken staat een geld prijs van niets minder dan 1.000.000$ (776.337€)! Deze prijs wordt uitgereikt door het “Clay mathematics institute”, een onderneming die mensen tracht te motiveren om wiskundig onderzoek te voeren. De vragen werden door in het jaar 2000 (vandaar de naam ‘millennium’-prijs) opgesteld tijdens een bijeenkomst in Parijs. Een groep straffe wiskundeknobbels staken hun hoofden bij elkaar en beslisten wat de belangrijkste wiskundige problemen zijn.

De vragen zijn zoals je wel kan verwachten ontzettend moeilijk en zijn voor een amateur wiskunde zo goed als onoplosbaar. Zelfs om de vraag zelf te begrijpen (laat staan ze op te lossen) heb je enige kennis en/of studies wiskunde nodig. Maar laat je niet ontmoedigen, na genoeg inspanning lijken ze toch oplosbaar te zijn! Oorspronkelijk waren er namelijk 7 problemen, maar sinds 2010 is er één van de originele zeven opgelost. Deze eer is weggelegd voor de ontzettend slimme, maar minstens even gekke, wiskundige Grigoriy Perelman.

Image

En dat gekke kan je bijna letterlijk nemen. Toen Grigoriy zijn antwoord bekend maakte deed hij dit niet via een wiskundig tijdschrijft (Dit is verplicht om recht te maken op de prijs van 1 miljoen dollar), maar wel gewoon op het internet gepost. Volgens de regels van de wedstrijd maakt hij dus eigenlijk geen kans meer op de prijs.
Gelukkig zijn de organisatoren hem goed gezind, en gunnen hem toch de prijs…. Maar zelfs dan weigert de man deze te aanvaarden! Indien je denkt dat de man al geld genoeg heeft ben je eveneens mis want hij woont nog steeds samen met zijn moeder op een superklein appartementje (slechts enkele vierkante meter) te Rusland. Snappen wie het snappen kan…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under experiment in 3 stappen, wiskundige carrière, wiskundigen