Goed nieuws voor koppels (jonger dan 58)

In “Lang zal hij leven: WIN FOR LIFE” besprak ik hoe je kan berekenen welk win-for-life spel voor jou het beste is.
Wel onlangs lanceerde de nationale loterij een nieuwe variant van het succesvolle krasspel en kwam op de proppen met “win for life for two”. Tijd dus om deze ook even onder de loep te nemen.

winforlifefortwo

De curve van het nieuwe spel word weergegeven door de lichtblauwe rechte (om te weten hoe deze af te lezen, lees mijn originele post over dit topic). En deze schiet duidelijk een stuk boven alle andere uit!
Goed nieuws dus voor koppeltjes die samen het geluk opzoeken.

Vanwaar de leeftijd van 58 jaar in de titel?
Wel zoals je ziet op de grafiek is de nieuwe formule pas de beste vanaf deze x-coördinaat x=21 passeert, want pas vanaf dan ligt deze het hoogst op de grafiek. Met andere woorden moeten we samen minstens 22 jaar lang onze maandelijkse prijs opstrijken alvorens dit spel het meest lucratieve is van alle win-for-life varianten. Ik ga uit van de pessimistische schatting dat we ongeveer 80 jaar worden en dat wil dus zeggen dat iedereen die meespeelt op 58 jarige leeftijd (of jonger) beter voor deze win for life kiest.

Natuurlijk moeten we wel de nuance maken dat we als koppel het geld ontvangen. Als we puur persoonlijk gaan kijken zijn de andere spelen weer interessanter.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

limieten

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere

Stelsels van vergelijkingen… op een leuke manier

Nu het schooljaar nog maar net bezig is zullen we proberen leuk te starten… met nog maar eens een spelletje bijvoorbeeld. Eentje dat bijna iedereen wel zal kennen trouwens. Iedereen heeft namelijk al wel eens een potje mijnveger gespeeld.

Je krijgt de taak om een gebied in de zee (de meeste versies spelen zich af op water) te vrijwaren van gevaarlijke bommen. Jou werkgebied is opgedeeld als een rooster van vakjes. De omvang van dit rooster is meestal recht evenredig met het aantal mijnen die erin verborgen zitten. Wanneer de vakjes in dit rasterwerk aangeklikt worden kom je te weten of hier mijnen verborgen zitten of niet. Zoja, dan ontploft het gevaarte meteen en is je spel meteen afgelopen. Indien er geen mijn verborgen zit achter het aangeklikte vak, dan krijg je een cijfer te zien gaande van 0 tot en met 8. Dit getal geeft aan hoeveel rakende vakken wel een mijn bezitten. Rakende vakjes zijn de 4 buren links, rechts, boven en onder, maar ook de 4 diagonale rakende rasters. Wanneer je een plek selecteert met waarde 0, of dus een plaats waarrond zich geen enkele mijn bevind, dan zullen ook deze aanliggende vakken als ‘aangeklikt’ beschouwd worden en hun achterliggende waarde bekend maken. Deze getallen en het totaal aantal te ontmijnen bommen, zijn ook meteen de enige aanwijzingen die je zal kunnen gebruiken om te reduceren waar de bommen zich bevinden. Wel,… deze cijfers en een klein beetje wiskunde dan. meer bepaald. Je kan deze aangeklikte gegevens namelijk in verrassend eenvoudige vergelijkingen gieten die je een aardig stuk verder kunnen helpen bij het ontmijnen van de rest van de zee. En ik schrijf hier inderdaad dat de vergelijkingen je kunnen helpen. Omwille van de natuur van het speelveld zal de wiskunde van deze vergelijkingen niet altijd een waterdichte oplossing geven. Maar later meer hierover.         

Neem de volgende situatie waarbij de speler, in een speelveld van 9 bij 8 vakken, tweemaal een vierkantje aanvinkte. Bij zijn eerste gok vergaarde de speler weinig info. Hij kreeg een “1” (linksboven op de kaart)te zien en weet dat er achter één van de acht rakende vakken een explosief verdoken zit. Met deze informatie is de speler verder niets en hij moet dus noodgedwongen opnieuw een gokje wagen. Voor zijn tweede poging waagt hij een kans in een hoek helemaal rechts bovenaan. Opnieuw geen bom en deze keer raakte hij een vak met waarde “0”. Zoals gezegd krijg je dan alle waarden van de rakende vakken te zien. Ook deze zijn toevallig “0” en daarom worden op hun beurt ook de getallen achter de buren van deze vakjes geopenbaard.

Het werkveld van de speler zit er op dit moment als volgt uit

 eenVeel blauw, tot nog toe geen mijnen, en 12 gegevens om mee verder te werken. Van het ‘eilandje’ rechts bovenaan krijgen we veel informatie en daarom is het geen slechte idee om daar te starten met het opstellen van vergelijkingen. Omdat we de 13 vakjes die aan dit eiland raken willen gaan onderzoeken, zullen we ze eerst allemaal een naam moeten geven. Misschien wat inspiratieloos noemen we ze x1, x2, … x12 en x13. Het is nu aan jou als speler om te achterhalen welk getal elke onbekende is. Zulk een onbekende x is ofwel gelijk aan 1, in dit geval zit er een mijn achter het desbetreffende vakje. Anders is de x gelijk aan 0. (De tak van de algebra wiskunde waarbij de variabelen 0 of 1 zijn, heet Booleaanse algebra). Hoe stellen we de vergelijkingen op? We weten dat onder de vakjes die een getal raken evenveel mijnen moeten zitten als de waarde aangeeft. Elke vergelijking zal dus niets meer dan een som van nullen en éénen zijn met als uitkomst het getal van ons gegeven. Voor ons stukje landkaart geeft dit de volgende twaalf vergelijkingen.

twee

  drie

De eerste 2 vergelijkingen zijn identiek en één van deze twee zal geen nieuwe informatie geven voor het oplossen van het stelsel. Uit vergelijking (3) weten we dat x2 gelijk is aan 1. Wanneer we dit invullen in vergelijking (2) leren we dat x1=0. We kunnen x2=1 ook invullen in (4) en daaruit volgt dat ook x3=0.

Aangezien alle x-waarden gelijk zijn aan 0 of 1 kunnen we uit vergelijking (11) concluderen dat zowel x12=1 en x13=1 gelijk zijn aan 1. Als we deze waarden in vergelijking (10) steken vinden we x11=0. Deze uitkomst kunnen we op zijn beurt samen met x12 invullen in vergelijking (9) om x10 te vinden, namelijk x10=1. Op analoge manier vinden we via (8) dat x9=0. Nu rest ons nog vergelijkingen (5), (6), (7) en (12) om de nog overgebleven x4, x5, x6, x7 en x8 te vinden.

vier

Uit (12) weten we nu dat x4 en x5 niet beide gelijk aan 1 kunnen zijn want dan zou er staan 1 ≥ 2 wat nergens op slaagt natuurlijk. Ofwel zijn ze dus beide gelijk aan 0, of slechts één van de twee onbekenden stelt een bom voor en is dus gelijk aan 1.

Als we er even van uitgaan dat ze beide gelijk zijn aan 0 en dit invullen in vergelijking (5) bekomen we 3 = 1 + 0 + 0 + x6. om deze gelijkheid te doen slagen moet x6 gelijk zijn aan 2. Maar we weten reeds dat x6 enkel waarden 0 of 1 kan aannemen. De veronderstelling dat beide x4 en x5 nul zijn is dus fout. Het moet dus zijn dat exact één van deze twee onbekende gelijk is aan 0 en de andere gelijk aan 1. Vergelijking (5) kan er dus uitzien als 3 = 1 + 0 + 1 + x6 of 3 = 0 + 1 + 0 + x6. Welke het ook zal zijn, we kunnen steeds concluderen dat x6=1. Deze informatie zullen we invullen in (7). Hier staat nu 2 = 1 + x7 + x8 + 1. Ondertussen zou je nu al snel zelf moeten zien dat daarom x7=0 én x8=0. Wanneer x6 en x7 ingevuld worden in vergelijking (6) komen we ook x5 te weten, namelijk x5=0. Aangezien exact één van x4 of x5 gelijk was aan 1, en we nu weten dat dit niet x5 is hebben we uiteindelijk de laatste onbekende x4=0.Als speler weet je nu met mathematische zekerheid welke, van deze 13 onbekenden, je kan aanvinken als mijnen en welke je kan aanklikken om nieuwe aanwijzingen te winnen om verdere mijnen op te sporen.

 Spelers die het spel dikwijls spelen zullen zeggen dat deze ‘wiskundige omweg’ nog nooit gebruikte om een spel te winnen. Ook als ik zelf het spelletje opstart heb ik nooit pen en papier naast me liggen om stelsels vergelijkingen te gaan neerschrijven. Maar eigenlijk is dit wel wat we doen in ons hoofd. Men denkt dan misschien niet meteen aan x’en, gelijkheden en bewijsvoeringen, het logische denkproces om de locaties van de mijnen te vinden is eigenlijk exact dezelfde. Bij mijnveger moet je soms, en dit zal ook jij indien je het spel ook enkele keren uitprobeerde kunnen beamen, moet je ook tijdens het spel soms een gokje wagen. Dit kan zijn omdat je reeds gevonden gegevens al gebruikt hebt en moet gaan zoeken naar nieuwe data door in het wilde weg een vakje aan te vinken. Maar wat pas echt frustrerend kan zijn bij dit spelletjes is het feit dat je zelfs aan alle bestaande gegevens niet genoeg hebt!

 nog

Bovenstaande grid heeft bijvoorbeeld dit probleem. We zijn bijna klaar met het ontmijnen van het hele gebied, op twee vakjes na zit onze klus er op. Van de 10 mijnen die verspreid zitten in dit gebied hebben we al van 9 bommen de locatie achterhaald die we markeerden met evenveel vlaggen. De 2 plaatsen waar zich de laatste mijn zich nog kan verschuilen, liggen links bovenaan het speelveld. Voor deze laatste mijn te vinden hebben we nog 2 aanwijzingen die gebruikt kunnen worden, namelijk de vakjes met waarden “1” en “3”. Als we deze net zo gebruiken als in de oefening hiervoor krijgen we het volgende stelsel:      
vijfNa een eerste blik op dit stelsels valt je misschien niet meteen iets vreemds op, maar als je de getallen een klein beetje verschuift zal je merken dat beide vergelijkingen (1) en (2) eigenlijk identiek zijn. Je kunt namelijk bij vergelijking (1) zowel het linker- als het rechterlid met 2 vermeerderen, of dus:

zes

Na deze stap valt meteen op dat vergelijking (2) inderdaad niets meer is dan (1). We kunnen de tweede gelijkheid dus weglaten aangezien ze ons geen informatie kan geven die we niet uit (1) kunnen concluderen. De enige wiskundige aanwijzing is dus 1 = x1 + x2
Hoe lang we ook naar deze formule staren, heel wijs gaan we er niet uit worden. Het enige dat we uit (1) kunnen besluiten is dat x1 en x2 niet samen 0 of 1 kunnen zijn. Want ofwel is 1 = 1+0 ofwel 0+1. Maar dit wisten we eigenlijk al.

In dit geval is het erop of eronder, je laatste gok zal bepalen of je het hele spel wint of verliest, en wiskunde zal hier niets aan veranderen.  Dit laatste kan wel eens erg frustrerend zijn wanneer na enkele minuten spelen het spel afhangt van een gelukstreffertje. Ook het feit dat je al bij aanvang van het spel in het wilde weg moet gokken en hopen dat je openingszet niet meteen een mijn is, verveelt soms. Om deze twee redenen hebben al vele spelontwikkelaars het game opnieuw geprogrammeerd of geüpdatet om de geluksfactor tot het minimum te herleiden.

Leraars en Leraressen kunnen dit spel dus misschien wel gebruiken om stelsels van vergelijkingen aan de van dit spel aan te laren. De leerlingen hebben meestal een intuïtieve manier om het spel op te lossen en kunnen zo makkelijker de wiskunde erachter volgen. Voor de vlijtige leerlingen kan je ook een andere cijferpuzzel gebruiken in je lessen. Want ook Kakuro puzzels zijn aan de hand van soortgelijke stelsels op te lossen.

zeven
acht

Op deze manier kan je getallen in jou voordeel gebruiken wanneer je puzzels oplost

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under andere, Info voor leerkrachten en scholen

Schoolvakantie

De blog ligt even stil vanwege de schoolvakantie.
In September worden er weer nieuwe berichten gepost.

Groeten
Tom

Leave a comment

Filed under andere

De Chinese postbode en Pacman

In een eerdere post over de London tube en GPS waarin het allemaal gaat over “de kortste afstand voor een route”, leerde je al over grafentheorie. In deze post hadden we verschillende punten die via verschillende wegen te bereiken zijn. In het geval van ‘het spel’ rond het Londense metro-netwerk, moesten we zo snel mogelijk al deze punten bezoeken. Dit probleem staat bekend als het handelsreizigersprobleem (het is één van dé belangrijkste wiskundige problemen waar onderzoekers nu aan werken).

AfbeeldingEen andere moeilijke kwestie uit de grafentheorie is dat van “het Chinese postbode probleem”. Hierin is het van belang dat we niet enkel elk knooppunt bezoeken, maar ook elke verbinding moet bezocht worden. Je kan het schema, of de graaf, dus een beetje als een platte grond aanzien, waar elke lijn een straat is waarbij de postbode brieven moet posten, en elk knooppunt stelt een kruispunt voor. Bij elke verbinding staat ook een waarde die de lengte van deze straat voorstelt. Hoe hoger de waarde, hoe langer de straat. Iedereen wil zijn post zo snel mogelijk ontvangen dus ook hier is snelheid van belang. Met andere woorden ook nu zoeken we de kortste route. Verder mag de man, indien hij wil of niet anders kan, een straat meermaals bezoeken.
In het onderstaande voorbeeld zijn er dus 8 straten die de Chinese postbode zal moeten bedienen. Hiervoor zal hij 6 kruispunten tegenkomen.
AfbeeldingHoe vinden we nu de kortste route? We kunnen natuurlijk brutal force gebruiken om de oplossing te vinden. Dit wil zeggen, we testen alle mogelijke routes en bereken de lengte van elk van deze. Vanzelfsprekend is dit (zeker met een computerprogramma) voor ons voorbeeld een zeer haalbaar plan. Wanneer het werkgebied groter wordt tot de oppervlakte van een dorp of kleine stad, is het al lang niet meer mogelijk om het zo op te lossen, zelfs niet met de sterkste en snelste computers! We zullen een andere aanpak gebruiken.

Allereerst merken we op dat we voor onze kleine traject, zowel kruispunten hebben waar een even aantal straten op uitkomen (A en F), en we hebben ook een aantal kruispunten van oneven graad (B, C, D en E). Dit is belangrijk om weten omdat, “indien we meer dan 2 kruispunten van oneven graad hebben, we zeker zijn dat we straten meermaals moeten bezoeken”.
Probeer onderstaande voorbeelden maar eens in 1 beweging te tekenen, dus zonder je potlood/pen van het papier te halen, en zonder tweemaal over dezelfde lijn te gaan. Voor de eerste figuren 1,2 en 4 zal dit je na even proberen wel lukken, voor de laatste lukt dit nooit.
Merk ook op dat als, (zoals figuur 4) alle punten van even graad zijn, het niet uitmaakt waar je aan je figuur begint te tekenen. Vanuit elk begin punt zal de opdracht haalbaar zijn. Indien je 2 kruispunten hebt met oneven graad (figuur 1 en 2), kan je deze oefening enkel uitvoeren door te beginnen in een van deze ‘oneven’ kruispunten, en eindigt in het andere ‘oneven’ kruispunt.
AfbeeldingWe weten dus al dat onze postbode één of meer straten, tweemaal zullen moeten bezoeken. Om te weten welke straten hij meer dan eens zal  doorwandelen gaan we als volgt te werk:
Eerst voegen we even denkbeeldig straten toe, waardoor we ervoor zorgen dat punten met oneven graad ook even worden. Dat kunnen we op 3 verschillende manieren. Ofwel verbinden we kruispunten D-E en B-C, ofwel B-D en E-C, ofwel B-E en D-C.  Afbeelding
In elk van de drie gevallen merk je dat al de kruispunten nu van even graad zijn geworden. in poging 1 hebben we 2 straten toegevoegd van lengte 2 en 5, dus een totale toegevoegde waarde van 7. In poging 2 is de extra waarde (5+6)+2 = 13. In de derde en laatste poging werd er (5+3)+7 = 15 toegevoegd. We merken dus dat in de eerste poging het minste aan lengte werd toegevoegd. Deze straten, D-E en B-C, zijn diegene die de postbode meermaals zal moeten bewandelen.
Door deze stappen toe te passen hebben we nu een map gemaakt met allemaal even knooppunten. De postbode kan nu dus kiezen waar hij begint aan zijn dagelijkse ronde. (Zoals gezegd zou een route met 2 oneven kruispunten dus ook gekund hebben, maar dan kan de postbode niet kiezen waar hij begint en eindigt).
Niet enkel postbodes maken gebruik van dit algoritme, maar ook voor het opstellen van het traject voor bijvoorbeeld vuilniswagens kunnen via dit systeem geoptimaliseerd worden.

In de titel vermelde ik ook het spel PacMan. Dit legendarische spelletjes draait om een geel happend figuurtje die zo snel mogelijk een veld met bolletjes moet opeten, zonder op zijn beurt zelf opgepeuzeld te worden door de spoken, Inky, Blinky, Pinky of Clyde. Ook zijn speelveld kan je bekijken als een groot stratenplan. Het is niet zo dat er een tijdslimiet op het spel staat, maar hoe sneller je rond bent, hoe minder risico je loopt om opgegeten te worden natuurlijk. Dus ook hier is een kortste/snelste route interessant.

Afbeelding
Ik heb eenzelfde oefening gemaakt op dit ‘stratenplan’ en heb een resultaat bekomen.
Op de linkse figuur zie je de route die je moet afleggen. Rechts zie je dan in het groen de bollen die je 1 maal passeert. In het rood staan de plaatsen waar je 2 maal voorbij moet. Je ziet dat Pacman ook over 8 zwarte vakken gaat waar geen punten staan (ter hoogte van het rode spookje). In totaal zijn er 240 gewone + 4 Super-bollen te rapen. In principe moet je dus op ‘slechts’ 244 vakjes belanden. In mijn traject passeer je 10 zwarte + 187 groene bollen (die je dus 1 maal passeert) + 57 rode bollen (die je dus 2x passeert) = 311 vakjes.  Zo heb ik ‘slechts’ 67 moves (27,46%) teveel gemaakt.

pacmantom pac-mantom              

Indien je beter kan… alle antwoorden en suggesties zijn welkom!

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere

Word een rekenwonder

In merkwaardig snel rekenen kan je al enkele trucjes leren om sommige vermenigvuldigingen eenvoudiger te maken. Maar aangezien deze hulpjes meestal op school aangeleerd worden zullen de meeste mensen deze trucjes wel kennen. Als je iemand echt wil verbazen kan je misschien het volgende eens proberen. Afbeelding Vraag iemand een rekenmachine te nemen, laten we deze persoon voor de eenvoud een naam geven, “Iris”. Vraag Iris een getal tussen 0 en 100 te kiezen (ze mag dit getal NIET tegen je zeggen), en deze met haar rekenmachine 3 keer met elkaar te vermenigvuldigen. Als zij je dan de uitkomst vertelt zal jij na enkele seconden kunnen vertellen welk getal Iris oorspronkelijk gekozen had. Als ze bijvoorbeeld 45 kiest zal zij dus 45 x 45 x 45 uitrekenen (Met andere woorden 45³). Haar rekenmachine zal tonen dat de uitkomst 91125 is. Nadat ze je de uitkomst vertelt, antwoord jij als rekenwonder: “Het getal dat je 3 keer met zichzelf hebt vermenigvuldigd was … 45!” Afbeelding Wat je dus eigenlijk doet is “uit je hoofd” de derdemachtswortel van het gegeven getal berekenen. Aangezien derdemachtswortels niet altijd heel gemakkelijk te berekenen zijn zal Iris verbaasd opkijken en onder de indruk zijn van je rekenkunst. HOE WERKT DE TRUC? Het eerste wat je eens kan proberen is alle cijfers van 0 – 9 tot de derde macht berekenen. dat wil dus zeggen:
(0 x 0 x 0 = 0)
1 x 1 x 1 = 1
2 x 2 x 2 = 8
3 x 3 x 3 = 27
4 x 4 x 4 = 64
5 x 5 x 5 = 125
6 x 6 x 6 = 216
7 x 7 x 7 = 343
8 x 8 x 8 = 512
9 x 9 x 9 = 729
(Deze 10, of toch de laatste 9, uitkomsten zullen we later nog gebruiken)
De laatste, vetgedrukte, cijfers zijn heel belangrijk! Dit zal je zal je namelijk al de helft van de oplossing geven! Als de oplossing van een derde macht eindigt op een 1. zal ook het originele getal eindigen op een 1! kijk maar naar enkele voorbeelden…
11 x 11 x 11 = 1331
21 x 21 x 21 = 9261
41 x 41 x 41 = 68921
91 x 91 x 91 = 753571

Hetzelfde geldt voor getallen die eindigen op een 4,5,6,9,0.
54 x 54 x 54 = 157464
15 x 15 x 15 = 3375
26 x 26 x 26 = 17576
39 x 39 x 39 = 59319
60 x 60 x 60 = 216000

Met andere woorden: Als een getal eindigt op een 1 (4,5,6,9,0)
dan zal de uitkomst van getal x getal x getal ook eindigen op een 1 (4,5,6,9,0) Afbeelding Voor een getal dat eindigt op een 2 zal de derdemacht eindigen op een 8
en waar een getal eindigt op een 8 zal de derde macht eindigen op een 2.
Voor een getal dat eindigt op een 3 zal de derdemacht eindigen op een 7
en waar een getal eindigt op een 7 zal de derde macht eindigen op een 3.

Bij deze getallen merk je dus dat ze niet op hetzelfde getal eindigen, dit is dus eigenlijk het eerste dat je moet onthouden als je de truc wil uitvoeren. 2 –> 8 en 8 –> 2  en ook  3 –> 7 en 7 –> 3.

Nu komt het (niet al te) moeilijke deel van de truc. We hebben nu wel een eenvoudige manier gevonden om het laatste cijfer te vinden van het te raden getal, maar wat is het eerste cijfer? Hiervoor moeten we 9 getallen onthouden. Dit vergt eventjes oefenen, maar negen getallen zou niet al te moeilijk mogen zijn. De getallen die je moet onthouden zijn deze die we boven uit hebben gerekend. 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,
Wat we nu doen is, we nemen de uitkomst en schrappen de drie laatste cijfers. Enkel wat overblijft is voor ons interessant. We kijken welk van onze 9 getallen het grootste is, dat toch kleiner is dan hetgeen dat overblijft….. Voorbeeldjes!

We krijgen uitkomst 17576:
Het 2de cijfer van het te raden getal zal een 6 zijn, want de uitkomst eindigt op een 6.
Om het 1ste cijfer te vinden schrappen we eerst de laatste 3 cijfers dus 17576 en houden dus getal 17 over. welk van onze 9 is nu het grootste getal dat toch kleiner is dan 17?… inderdaad het getal 8, want al de andere getallen zijn groter dan 17. Dit is het 2de getal dat we moesten onthouden en daarom is het eerste cijfer van het te raden getal een 2.
De oplossing is dus 26.

Stel ik krijg de uitkomst 405224:
Het 2de cijfer van het te raden getal zal een 4 zijn, want de uitkomst eindigt op een 4.
Voor het 1ste cijfer schrappen we de 3 laatste cijfers dus 405224 en we houden dus 405 over. Wat is het grootste van onze 9 getallen dat kleiner is dan 405? Het is 343, of dus het 7de getal dat we moesten onthouden en dus is het eerste cijfer een 7.
De oplossing is dus 74.

Stel de uitkomst is 54872.
Het 2de cijfer zal een 8 zijn, want de uitkomst eindigt op een 2.
Voor het eerste cijfer schrappen we de laatste 3 cijfers dus 54872 en we houden 54 over. Wat is et grootste van onze 9 getallen dat toch kleiner is dan 54? Het is 27, of dus het 3de getal dat we moesten onthouden, dus het eerste cijfer zal een 3 zijn.
De oplossing is dus 38.

Stel de uitkomst is 729.
Het 2de cijfer zal een 9 zijn, want de uitkomst eindigt op een 9.
Dan schrappen we de laatste drie cijfers: 729 en we houden… niets of dus 0 over? Wat nu? Je kan gewoon stellen dat het eerste cijfer dan een 0 is. De oplossing zal dus 09 of gewoonweg 9 zijn.

De reden waarom ik zoveel voorbeelden geef is omdat je dit zelf enkele malen moet proberen. Na een tiental van deze oefeningetjes zal je merken dat je steeds sneller de uitkomst zal vinden. Hoe vlugger je antwoord geeft, hoe meer onder de indruk de kandidaten zullen zijn. Even herhalen: Om het 2de cijfer te vinden kijken we naar het laatste cijfer van de uitkomst.
( 1 –> 1 )         ( 6 –> 6 )
( 2 –> 8 )         ( 7 –> 3 )
( 3 –> 7 )         ( 8 –> 2 )
( 4 –> 4 )         ( 9 –> 9 )
( 5 –> 5 )         ( 0 –> 0 )
Om het eerste cijfer te vinden, schrappen we eerst de laatste drie, en dan kijken we naar wat overblijft. We onthouden de getallen 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 en 729. We kijken welke van deze getallen de grootste is die kleiner is dan het overblijfsel. Als het het 1ste getal is, dan zal het eerste cijfer 1 zijn; Als dit het 2de getal is, dan zal het eerste cijfer een 2 zijn; Als dit het 3de getal is, dan zal het eerste cijfer een 3 zijn; Als dit het 4de getal is, dan zal het eerste cijfer een 4 zijn; ….. Afbeelding Het lijkt heel veel, maar geloof me, als je dit voor een tien of twintigtal getallen zelf even probeert, zal je al snel het systeem doorhebben. Het leuke aan deze truc is dat echt iedereen verrast zal zijn. Een derde macht berekenen is niet eenvoudig maar met deze truc kan jij het alvast voor de eerste 100 getallen! DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under andere

3 driehoeksvragen

In de eerste en tweede graad van het middelbare onderwijs krijgen we naast getallenleer en algebra ook heel veel meetkunde te verwerken. Hierin krijgen we te maken met enorm veel begrippen. Rechten, punten, lijnstukken, evenwijdigheid, veelhoek, bissectrice, loodrechte,… enz. Voor sommige van deze is het zeer logisch en aanvaarbaar dat we ze moeten leren. Andere lijnen en punten lijken dan weer vergezocht en onnuttig.
Onlangs vroeg iemand me wat het nut is van zwaartelijnen, middelloodlijnen en deellijnen. Laten we voor elk van hen even een toepassing zoeken, beginnende met de middelloodlijnen.

“Een middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van dit lijnstuk gaat en loodrecht staat op dat lijnstuk.”
Als we in een driehoek voor elke zijde deze lijn construeren merken we dat deze elkaar in hetzelfde punt snijden. Dit punt blijkt een zeer speciale eigenschap te hebben. Als we namelijk de afstand |MB|, |MA| of |MC| meten merken we op dat deze allemaal gelijk zijn. Daarom kunnen we een cirkel tekenen met middelpunt M, zodat A, B en C op de omtrek van deze cirkel liggen…. WAT IS DAAR NU NUTTIG AAN?

middenloodlijn

Wel stel een radio-station wil uitzenden vanuit een bepaalde studio. De zender wil drie grote steden A, B en C kunnen bereiken en ze vraagt zich af van waaruit ze nu het best kunnen werken. Je zou kunnen zeggen dat ze hun station opzetten in 1 van de 3 steden, bijvoorbeeld A, en hun signaal dan maar heel sterk moeten maken zodat ook de andere bereikt worden. Maar voor een beter en sterker signaal is betere en dus duurdere apparatuur nodig. Om kosten laag te houden willen ze zo goedkoop mogelijk werken en dat is dus met de minimale benodigde signaalsterkte.
Als je op de landkaart de steden A, B en C verbindt (en zo een driehoek schetst) dan blijkt de beste plaats om uit te zenden punt M (het snijpunt van de middelloodlijnen) te zijn. De steden liggen namelijk allemaal even ver van punt M en als je dus 1 van deze kan bereiken, dan kan je ze allemaal voorzien van je muziek. Op deze manier is dat dus met de signaalsterkte die net genoeg en niets teveel is.

“De bissectrice of deellijn van een hoek is in de meetkunde de rechte die deze hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.”
Als we voor elke hoek van onze driehoek deze lijn construeren merken we wederom dat deze elkaar in 1 punt zullen snijden. En wederom blijkt dit een punt met een speciale eigenschap te zijn. Ook dit keer is het een middelpunt van een cirkel. Niet de de kleinste cirkel die net om de driehoek past (zoals we hierboven construeerde) maar net andersom, de grootste cirkel die net in de driehoek past… WAT IS DAAR DAN NUTTIG AAN?

Deellijn
Stel dat de driehoek een tuin voorstelt. De mensen die in deze tuin wonen willen zichzelf een zo groot mogelijk zwembad aankopen maar kunnen enkel tussen ronde exemplaren kiezen. De straal van het grootste zwembad dat zal passen in de tuin zal de straal van deze geconstrueerde cirkel zijn.
Of stel het volgende voorbeeld. De groendienst van Antwerpen wil een sprinkler installeren om zoveel mogelijk van (een driehoekig) grasperkje te besproeien en ze willen hem dan ook hard genoeg laten spuiten. Naast het grasveld loopt (langs de zijden van de driehoek) een voetpad. Omdat het niet de bedoeling is om de voorbijgangers ook water te geven mag de sproeier dus ook niet te hard ingesteld worden. Hoe hard moet de sproeier nu sproeien? En wat is het grootst mogelijk oppervlak dat water zal krijgen? De sproeier moet net zo hard sproeien zodat de waterdruppels maximaal een afstand gelijk aan de straal van de ingeschreven cirkel kunnen vliegen. De maximale oppervlakte zal die van de geconstrueerde cirkel zijn met als middelpunt het snijpunt van de deellijnen.

Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en de overliggende zijde snijdt in het midden van deze zijde.
Als we de drie zwaartelijnen tekenen dan …, inderdaad. Ze zullen een gemeenschappelijk snijpunt, namelijk het zwaartepunt, hebben. Ditmaal is het echter niet het middelpunt van een speciale cirkel… WAT IS DAAR DAN NUTTIG AAN?

zwaartelijn
Dit is wellicht het meest nuttige van alle 3 de snijpunten. Het word onnoemelijk veel gebruikt in zowel wiskunde, mechanica en fysica. Dit omdat het zwaartepunt noodzakelijk is bij berekeningen waar we krachten op een voorwerp gaan bekijken. Bijvoorbeeld ingenieurs die bruggen of buildings bouwen zullen hiermee veel in contact komen. Of als een fysicus wil weten hoeveel druk er op een zeepbel mag staan voor deze springt zal hier veel informatie aan hebben. (Natuurlijk gebruiken zij niet altijd zwaartepuntenvan een direhoek, maar die van een balk of bol. Het principe is echter dezelfde. In de middelbare school leer je dit concept kennen door middel van driehoeken omdat deze gemakkelijke figuren zijn.)

Stel dat je vader of moeder een schommel voor je wil bouwen in de tuin en het frame van de schommel bestaat uit 2 driehoeken die verbonden zijn met een staaf (zie schets).

schommel schetsWaarop dan zeker gelet moet worden is dat de schommel of trapeze ONDER het zwaartepunt van de driehoeken (rode stip) terecht komt. Als je dat niet doet, en je schommel is niet goed in de grond verankerd, zal deze van bij de 1ste keer dat je zwiert, omvallen! Dit omdat als je een te kort touw hebt waardoor je dus ‘boven’ het zwaartepunt zit,
de constructie te onstabiel wordt.
Het zwaartepunt kan je dus ook ook bekijken als een soort evenwichtspunt van je driehoek (of andere vlakke figuur). Als je een driehoek wil laten balanceren op een pen of bijvoorbeeld je vinger, zal je de driehoek dan ook precies op het zwaartepunt moet dragen.
triangle
Laat duidelijk zijn dat dit slechts enkele voorbeelden zijn. Vooral op de laatste begrippen zwaartelijnen en zwaartepunt kan je nog wel even doorgaan. Maar voor sommige toepassingen is meer achtergrond nodig die jullie ongetwijfeld in je verdere studies te zien zal krijgen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

gps

2 Comments

Filed under andere

het dubbele achternaam ‘probleem’

Een hot-topic op dit moment is het wetsvoorstel betreffende de dubbele achternaam die we voor onze kinderen kunnen kiezen (de mogelijkheden zijn de naam van de moeder, de vader, moeder-vader of vader-moeder). Vooral het woordje “kiezen” hierin is belangrijk want velen hebben het foute idee dat dit een verplichting wordt. Nochtans kan je evengoed voor het traditionele gaan en de achternaam van de vader laten doorlopen in de volgende generatie.
Een argument dat sommigen naar voor schuiven tegen het wetsvoorstel, is dat het aantal combinaties van mogelijke namen snel zal stijgen voor komende generaties. Volgens hen zal dit de keuze van de door te geven naam bemoeilijken met discussies en familievetes als gevolg.

Maar hoeveel van deze combinaties zijn er eigenlijk? Kunnen we hier een wiskundige formule voor ontwerpen?
Wel eigenlijk is dit niet zo moeilijk. Laten we eerst even 1 generatie bekijken, of met andere woorden, welke achternamen zouden onze kinderen kunnen krijgen?
!!! We beginnen dus bij het standpunt dat vandaag iedereen nog een enkele achternaam heeft !!!
Laat ons die voor de makkelijkheid even gewoon A, B, C, … noemen. Een kleine stamboom ziet er dan als volgt uit.
1

Je kan zien dat mijn zoon of dochter dus 4 mogelijke achternamen zal kunnen krijgen. Hoe zit het als we een generatie verder kijken?
2
De keuze word al meteen verviervoudigd tot 16 mogelijkheden! Als we weer een generatie opschuiven en naar mijn achterkleinkinderen gaan kijken zullen ze al een keuze hebben tussen 64 namen, weer een viervoud groter dus.
Je hebt allicht door dat dit patroon zich verder zal blijven zetten en de keuze in namen dus steeds een macht van vier zal zijn.

MAAR dan houd je geen rekening met het feit dat enkele van je voorouders een achternaam gemeen zouden kunnen hebben… Neem nu de familienaam Peeters, wat de meest voorkomende achternaam in België is. Maar liefst 33.000 landgenoten dragen deze achternaam. Het is dus mogelijk dat zowel je oma aan vaders kant én je oma aan moeders kant beide mevrouw Peeters zullen heten. Dit heeft echter wel een invloed op de telling want in dit geval ziet je stamboom en de keuze van namen er als volgt uit:
1-2

In dit geval heeft het kind ‘slechts’ keuze tussen 9 familienamen… niet 16 zoals in het vorige geval, en het is al zeker geen macht van 4.
De algemene formule vinden ligt dus ietsje moelijker. Laten we een tweede poging ondernemen.

Eerst merk je op dat je elke naam van je voorouder kan krijgen als je ouders en voorouders kiezen om slechts een enkele naam door te geven en het nieuwe systeem dus links te laten liggen. In stamboom 2 waren er 4 voorouders: A, B, C en D en je ziet dat het kind deze 4 namen kan doorkrijgen. In stamboom 3 zaten er slechts 3 namen (A, B en C) in de mix en het kind kan dus A, B of C heten met zijn achternaam, 3 mogelijkheden dus.
Het aantal ENKELE namen dat je kan krijgen = het aantal namen dat in de ‘begingeneratie’ zit.

Wat is nu het aantal mogelijkheden als je voorouders wel kiezen om dubbele achternamen te beginnen gebruiken?
Hiervoor moet je gaan kijken welke onderlinge combinaties er mogelijk zijn. Voor de makkelijkheid veronderstellen we even dat A-B gelijk is aan de naam B-A zodat we even enkel naar de ‘koppels’ kijken en de volgorde van de namen negeren. In onderstaande tabel zie je hoe het aantal koppels evolueert:

koppels
Als je goed kijkt kan je opmerken met hoeveel het aantal koppels stijgt telkens er een persoon bij komt. Inderdaad, het aantal stijgt met respectievelijk +1, +2, +3, +4, … koppels.
0
0 + 1 = 1
1 + 2 = 3
3 + 3 = 6
6 + 4 = 10
10 + 5 = 15

Deze reeks 1,3,6,10,15,… noemen we de driehoeksgetallen. Deze naam word duidelijk als je de getallen op de volgende manier grafisch voorstelt:
drieh

We kunnen dus zeggen dat het aantal koppels te maken met N personen gelijk is aan Δ(N-1) . Hierij bedoelen we het (N-1)de driehoeksgetal. LET OP, we moeten dit aantal nog wel verdubbelen als we onderscheid maken tussen het koppel A-B en B-A, of met andere woorden als de volgorde wel van belang is (en bij ons namen-probleem speelt die volgorde dus wel degelijk een rol).
Het aantal DUBBELE namen dat je kan krijgen = Δ(N-1) x 2 met N het aantal namen dat in de ‘begingeneratie’ zit.

Als laatste moeten we nog opmerken dat we bij het tellen van de verschillende koppels enkel diegene telde van de vorm A-B waarbij A ≠ B. Maar zoals aangehaald bij stamboom 3 kan het ook zijn dat er namen gedeeld worden waar door je zoals in de figuur kan zien ook achternaam B-B kan erven. We moeten met andere woorden nog een laatste term bijvoegen bij onze formule, namelijk term D. Hierbij zeggen we dat D het aantal namen is dat dubbel voorkomt bij de ‘begingeneratie’.

Zo, nu hoeven we enkel het aantal keuzes van ENKELE namen op te tellen met het aantal mogelijkheden om een DUBBELE naam te kiezen. Het totale aanbod zal dus N + [Δ(N-1) x 2] + D  zijn waarbij N het aantal namen is dat in de begingeneratie zit, en D het aantal namen dat in deze beginsituatie dubbel voorkomt.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere

Wiskunde als 2de taal

Meestal worden studenten in 2 categorieën onderverdeeld. Ofwel word je eerder aangetrokken door getallen, formules en functies, waardoor je de stempel krijgt van een wiskundeknobbel te zijn. De andere groep heeft het meer voor letters, poëzie en talen. 
Maar bestaat er tussen deze 2 groepen geen mooie tussenweg?
Volgens mij alleszins wel.

Ik heb wiskunde namelijk altijd bekeken als een soort taal, misschien wel de belangrijkste die ik ooit geleerd heb. Dit laatste niet enkel omdat ik gepassioneerd ben geraakt door de taal van de getallen, maar vooral omdat deze universeel is. In Vlaanderen krijgen we tijdens een basisopleiding, naast onze moedertaal, ook nog Frans en Engels aangeleerd. Sommige richtingen krijgen hierbij ook nog eens de Duitse taal aangeboden. Later kunnen we dan natuurlijk nog gelijk welke taal bestuderen als we voor bepaalde richtingen kiezen. Ook in Nederland krijgen leerlingen een breed aanbod van talen voorgeschoteld. In andere landen kan je dikwijls voor een vreemde taal kiezen maar maken deze niet perse deel uit van de standaardopleiding. De moedertaal van het betreffende land zal waarschijnlijk wel in elke standaardopleiding zitten.

Wat ongetwijfeld overal ter wereld in je opleiding zal zitten is wiskunde. En deze wiskunde is, anders dan het vak van je moedertaal, voor heel de wereld hetzelfde! Dit verschil valt al op als we naar het schrift kijken. In onderstaande foto zie je een venn-diagram van lettertekens in het Grieks, Westers en Cyrillisch schrift. Zoals het diagram aantoont zijn er wel enkele gelijkenissen maar onze leestekens lopen niet voor de volle 100% gelijk. Om nog maar te zwijgen over het Arabische schrift of de Chinese leestekens, die beide zelfs niet in de verste verte lijken op de onze. 
Afbeelding
Voor wiskunde loopt dit veel meer gelijk. De cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8 en 9 zijn alom bekend en ook met bewerkingen zoals +, -, x en / zal je overal begrepen worden. Als je 0 tot en met 9 bekijkt als de letters van de wiskundige taal, dan kan je grotere getallen als 1235 of 8463245 bekijken als woorden. Door deze met elkaar te verbinden door middel van leestekens als + of – of vierkantswortels,… kan je zinnen maken. Als je deze analogie nog een klein beetje doortrekt kan je dan zelfs een verhaal schrijven wat we in de wiskunde dan bijvoorbeeld een bewijs zouden noemen. Sommigen van deze verhalen leren we allemaal wel in de middelbare school. Hier ‘lees’ je bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras.
Afbeelding
Sommige verhalen worden langer en complexer, zoals je dit ook bij literaire meesterwerken zoals “dr. Jekyll and mr. Hyde” of “Les Misérables”  kan hebben. Je moet voor dit soort boeken ook even de tijd nemen, en je kan niet gewoon middenin een pagina openslaan, het verhaal vanaf dan beginnen lezen, en veronderstellen dat je al de personages leert kennen of het volledige boek begrijpt. Ook in de wiskunde is dit zo het geval voor zulke complexe verhalen….
AfbeeldingInderdaad is het zo dat je deze taal niet meteen onder de knie hebt. En net zoals je je in de Nederlandse of Franse taal aan bepaalde regels moet houden, zijn er in de wiskundige bepaalde wetten en voorschriften die je moet volgen. Het positieve aan dit wiskundige schrift is dan weer dat het veel meer open staat voor verandering en evolutie. Ooit kenden we geen negatieve getallen. De wiskundige grammatica liet dus niet toe dat je -8 kon schrijven. een 2000 jaar geleden definieerden wiskundigen dit soort getallen en sinds die dag kon men ook deze “letters” gebruiken in onze taal. Een andere regel was dat we geen wortel mogen trekken van negatieve getallen. In de 16de eeuw definieerden we het getal i als de vierkantswortel van -1 en voilá, we kunnen weer verder.

Misschien lijkt dit idee van wiskunde te vergelijken met een taal je een beetje vreemd. Maar voor velen doen we net hetzelfde met muziek. Ook hier geldt een universele taal van afspraken en symbolen waarmee muzikanten een verhaal aan elkaar of luisteraars trachten te vertellen. Zelf kan ik geen noot lezen en daardoor zegt de volgende afbeelding mij bitter weinig. Diegene die zich gelukkig kunnen prijzen omdat ze wel in staat zijn een notenbalk te kunnen ontleden, zullen onderstaande prent op een andere manier bekijken.
Afbeelding

En net zoals bovenstaande sommige muziek liefhebbers wel kan ontroeren en sommigen niet, kan een wiskundig bewijs mooi, lelijk, verrassend of elegant zijn. Pas als je deze taal goed onder de knie hebt kan je sommige meesterwerken van schrijvers als Euler en Gauss beter waarden.


Om af te sluiten heb ik nog 2 leuke afbeeldingen die wiskundige symbolen en formules gebruiken om een bepaalde boodschap over te brengen. Kan jij ze lezen? (hint: denk in het Engels)
AfbeeldingAfbeelding

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

 

 

 

 

4 Comments

Filed under andere

ACCES DENIED: je smartphone beveiligen

Een gewone gsm is al langer niet meer uit het straatbeeld te denken maar de moderne smartphones beginnen nu ook steeds meer de standaard te worden. Sinds de Blackberry’s op de markt kwamen proberen technologiegiganten steeds meer gadgets of apps in hun mobiele telefoons te proppen. Ofwel heb je er zelf eentje, ofwel ken je ongetwijfeld wel iemand anders die met een Iphone, Samsung Galaxy of Nokia Lumia telefoneert.

Natuurlijk willen we, nu er steeds meer van onze persoonlijke gegevens in onze smartphones verdwijnen, onze telefoons goed beveiligen. Bij het opzetten van je telefoon moet je natuurlijk allereerst je pin-code ingeven. Maar eens je telefoon aanstaat hebben we nu ook de mogelijkheid om een extra schermbeveiliging in te stellen. Hiervoor geven de producenten ons zelfs enkele mogelijkheden. 

Afbeelding

3 van dit soort mogelijkheden die ik heb op de Samsung Galxy 4S, die ik onlangs kocht, zijn pincode (een tweede pincode naast de originele om de sim-kaart te ontgrendelen), een wachtwoord of een patroon. Er zijn nog enkele andere keuzes zoals gezicht en stem herkenning. Maar aangezien deze technologie nog niet op punt staat geeft ook Samsung aan dat deze slechts een lage beveiliging kunnen garanderen. De 3 keuzes die ik boven noemde zijn volgens de smartphone het veiligste. De volgorde waarin ik ze gaf is volgens Samsung trouwens de volgorde van minst veilig tot meest beveiligend voor mijn gegevens te coderen.
Maar is dat wel zo? Met andere woorden, laten we de drie methodes eens naast elkaar leggen en kijken welke de moeilijkste is om te kraken.

1. PATROON (Volgens Samsung “normale beveiliging”)

Er zijn 9 stippen waarop je een zelfgekozen patroon moet tekenen. Hiermee bedoel ik dat je in een gekozen volgorde de stippen moet doorlopen. Bijvoorbeeld in volgorde 1-5-9-8-6. Dus je begint bij stip 1, je veegt naar stip 5, dan naar stip 9, dan naar stip 8 en dan naar stip 6. Allemaal in 1 beweging zonder je scherm te lossen. In de afbeelding hieronder is de gekozen volgorde dus 7-4-1-6-8-5-2-3-9.AfbeeldingLet wel op, er bestaan enkele voorwaarde voor je patroon. Zo kan je elk getal slechts 1 keer bezoeken. Het patroon 1-5-1-2-3 is dus niet mogelijk want hier bezoek je stip 1 tweemaal. Een andere restrictie is dat de telefoon geen verschil zit tussen de volgorde 7-1 of 7-4-1. Met andere woorden als je van 7 naar 1 schuift ‘denkt’ de smartphone dat je ook stip 4 bezocht hebt omdat deze stip op de verbindingslijn tussen 1 en 7 ligt. Hetzelfde geldt bijvoorbeeld als je van vakje 1 naar vakje 9 beweegt. Dan zal mijn Galaxy ‘denken’ dat ik ook vakje 5 gepasseerd bent. Het patroon van op de foto kan dus even goed 7-1-6-8-2-3-9 zijn. 
De 3de en laatste voorwaarde is dat je in je patroon minstens 4 vakjes moet bezoeken (en maximum 9 maar dit volgt al uit voorwaarde 1).

Stel dat we enkel de voorwaarde hebben dat je combinatie uit minstens 4 en maximum 9 cijfers kan bestaan, hoeveel mogelijkheden hebben we dan? Van een combinatie van lengte 4 zijn er 9*9*9*9 = 9^4 mogelijkheden, van lengte 9^5 mogelijkheden… van cijfercombinaties van lengte 9 zijn er 9^9 mogelijkheden. in totaal hebben we dus 9^4 + 9^5 + … + 9^9 = 435.847.230 mogelijkheden wat best veel is. Maar door de eerste voorwaarde (dat geen enkel cijfer 2 maal mag voorkomen) verkleint dit aantal drastisch.

Als 1ste vakje kunnen we kiezen uit alle 9, Voor het 2de vakje kunnen we nog maar kiezen tussen de 8 overgebleven stippen. Voor het derde cijfer zijn er nog maar slechts 7 mogelijkheden, voor het 4de nog maar 6….
Om een cijfercombinatie van 4 cijfers te kiezen hebben we dus keuze tussen 9*8*7*6 mogelijkheden= 9!/5! = 3.024
Voor een lengte van 5 hebben we de keuze tussen 9*8*7*6*5 = 9!/4! = 15.120.

Voor een lengte van 9 cijfers hebben we de keuze tussen 9*8*7*6*5*4*3*2*1 combinaties = 9!/0! = 362.880
Als we de mogelijkheden van al de lengtes optellen bekomen we een totaal van 985.824. We hebben dus duidelijk een pak minder mogelijkheden nu deze voorwaarde er is.

Als we dan nog eens rekening houden met de restrictie dat de telefoon het verschil niet ziet tussen bijvoorbeeld 1-2-3 of 1-3 zijn er nog eens minder mogelijkheden. Het uiteindelijke aantel slinkt zo tot slechts 389.112 combinaties om je GSM op slot te zetten via het patroon -systeem.
Afbeelding
2. PIN-CODE (Volgens Samsung “normale tot hoge beveiliging”)

Hier hebben we een klassiek voorbeeld van beveiliging. Je moet een cijfercombinatie maken met de cijfers 0-9 (bij de beveiliging met behulp van het patroon kon je 0 niet kiezen). Je moet wel minstens 4 cijfers gebruiken en maximum 16. Merk op dat deze minimum en maximumlengtes de enige restricties zijn. Je mag dus getallen meermaals gebruiken. Er zijn dus 10^4 mogelijke PIN-codes van lengte 4. 10^5 mogelijke codes van lengte 5. … En 10^16 mogelijke codes van lengte 16. In totaal dus 1.111.111.111.111.000 mogelijkheden.
Afbeelding

3. WACHTWOORD (Volgens Samsung “hoge beveiliging”)

Anders dan bij de PIN-code kan je hier buiten cijfers, ook letters (én hoofdletters) en leestekens kiezen. De lengte moet wederom tussen 4 en 16 liggen. Een bijkomende voorwaarde hier is dat er minstens 1 letter in je wachtwoord voorkomt. Hoeveel combinaties zijn er nu? Wel we kunnen telkens kiezen tussen 10 cijfers + 26 letters + 26 hoofdletters + 31 tekens = 93 mogelijke input.
Van lengte 4 zijn er dus 52 * 93^3 mogelijkheden. het zou 93^4 geweest zijn moest de voorwaarde van minstens 1 letter er niet geweest zijn. Deze is er nu wel en dus voor 1 teken kunnen we ‘slechts’ kiezen tussen 52 letters (26 gewone en 26 hoofdletters). voor lengte 5 zijn er 52 * 93^4 mogelijkheden… Voor lengte 16 zijn er 52 * 93^15 mogelijkheden.

Als we al de mogelijkheden van lengte 4, lengte 5, … lengte 16 optellen komen we op een totaal van 17.698.754.009.582.674.592.842.094.110.164 mogelijkheden!!!
Als elke (van de 7 miljard) mens op aarde per seconde 1 miljard combinaties zou kunnen uittesten, zou het de mensheid nog meer dan 80.000 jaar vragen om alle combinaties uit te proberen.
Afbeelding

BESLUIT:
De volgorde die Samsung ons aangeeft van minst naar meest beveiligende code is de correcte.
1. PATROON (normale beveiliging) 389.112 combinaties
2. PIN-CODE (normale tot hoge) 1.111.111.111.111.000 combinaties
3. WACHTWOORD (hoge) 17.698.754.009.582.674.592.842.094.110.164 combinaties

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere

WIE IS HET???

Om in de geest van gezelschapsspelletjes te blijven, spelen zullen we er nog maar eens een oude bekende tussen gooien. Het spel “Wie is het?” is al 35 jaar oud en werd bedacht in Groot-Brittannië door Milton Bradley (van de spelletjes van MB). Zoals het met de meeste tijdloze spelletjes het geval is, heeft ook dit exemplaar een eenvoudige recept.
Het spel wordt gespeeld met 2 spelers. Elke deelnemer trekt 1 van de 24 mogelijke personages (eigenlijk kies je maar uit 23 personages want het is onmogelijk dezelfde persoon te trekken). Dan speelt elke speler om de beurt. Je kan tijdens deze beurt 2 dingen doen. Ofwel stel je een ja-nee vraag aan je tegenstander, om zo zijn personage te weten te komen. Ofwel raad je naar het personage (Je kan dus niet eerst een vraag stellen en het personage gokken tijdens dezelfde beurt). De eerste die juist gokt is de winnaar.
Afbeelding
Bestaat er nu een tactiek om snel en efficiënt het personage van je tegenstander te kiezen? Of rust het spel op puur toeval, en moet je geluk hebben dat je de juiste vragen stelt…? Wel zoals ik het spel bekeken heb, is een klein beetje geluk wel handig, maar door de juiste vragen te stellen kan je wel sneller de mogelijke kandidaten filteren. Het zou geen verrassing mogen zijn als ik zeg dat ik dit ook wiskundig aan kan tonen…
Afbeelding
Zoals gezegd kan je niet zomaar vragen wat je wil. De vraag “welke kleur haar heeft je personage?” kan niet gesteld worden. Enkel JA-NEE vragen zijn toegestaan. Je moet de haarkleur dus te weten komen door “heeft je personage zwart haar?”, “heeft je personage wit haar?”, “heeft je personage blond haar?”…
Vraag je nu best eerst naar het geslacht van je tegenstander’s karakter, of haarkleur, kleur ogen, bril of niet, heeft de persoon een hoed,… Laten we even 2 vragen met elkaar vergelijken (we gaan er even van uit dat wij personage 17 hebben en dat dit dus al zeker niet het personage van je tegenstander is):

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je personage een vrouw Er vallen 18 mensen af Er vallen 5 mensen af
2.) Heeft je personage een smalle mond? Er vallen 11 mensen af Er vallen 12 mensen af

Welke van de 2 was nu de beste vraag? Je kan stellen dat als de tegenstander een vrouw heeft dat dan de eerste vraag de beste was, want er vallen nu maar liefst 18 mensen af? Als hij echter een man heeft als onbekende figuur, was vraag 2 misschien beter?…

Het is hier dat wiskunde een helpende hand kan zijn.
Stel dat we het spel even omzetten naar datgene waar we graag mee werken… getallen. Vraag een vrijwilliger om aan een getal van 1 tot en met 100 te denken. Ook nu mag je enkel ja/nee vragen stellen om zijn getal te raden. We een soortgelijk voorbeeld opstellen:

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je getal een veelvoud van 10? Er vallen 90 getallen af Er vallen 10 getallen af
2.) Is je getal een veelvoud van 4? Er vallen 75 getallen af Er vallen 25 getallen af

Wederom kan je een conclusie proberen te trekken van welke vraag de beste is. Maar we kunnen ook gewoon wiskunde gebruiken, op die manier zijn we zeker! Het antwoord op vraag 1 zal 10% van de gevallen “NEE” zijn, en 90% “JA”. Er is dus 10% kans dat er 90 getallen afvallen en 90% kans dat er slechts 10 wegvallen.

Gemiddeld vallen er dus 0.10 x 90 + 0.90 x 10 = 18 getallen weg.
Hetzelfde verhaal voor vraag 2 levert ons dat er gemiddeld 0.75 x 25 + 0.25 x 75 = 37.5 getallen wegvallen.
De algemene formule zal er altijd als volgt uitzien:
Afbeeldingof herschreven
AfbeeldingDit is dus de formule die je zal vertellen hoeveel getallen er gemiddeld zullen afvallen indien er bij een JA-antwoord a getallen wegvallen. (Je kan de formule narekenen met a=90 en a=75 zoals hierboven uitgeschreven staat). Om na te gaan heoveel we maximaal zullen kunnen schrappen, moeten we van deze functie de afgeleide nemen en gelijkstellen aan 0. (Iets dat we allemaal in de 3de graad secundair leerden, maar sommigen misschien al vergaten).
AfbeeldingWe bekomen 50 als resultaat. Met andere woorden we moeten een vraag stellen waarmee er bij een JA-antwoord 50 getallen wegvallen. Mogelijke vragen die je kan stellen zijn dan “Zit je getal tussen 1 en 50?” of “Is je getal even?”,…
Als je even doorredeneert is dit eigenlijk een logische tactiek. Wat het antwoord ook is, de helft zal wegvallen, terwijl je bij de andere vragen steeds ofwel een grote of een kleine groep kon schrappen. Bij die vragen moest je dus steeds geluk hebben. Meestal zal echter de kleine groep wegvallen omdat het gekozen getal meer kans heeft om in de grote groep te zitten.

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je personage een vrouw Er vallen 18 mensen af Er vallen 5 mensen af
2.) Heeft je personage een smalle mond? Er vallen 11 mensen af Er vallen 12 mensen af

Dit kunnen we nu terug meenemen naar de voorbeeldvraag van ons originele spel “Wie is het?”. Er zijn maar 5 vrouwen die de tegenstander kan getrokken hebben en dus is er een veel grotere kans dat deze een man heeft, en dus een veel grotere kans dat je na deze vraag slechts 5 personen kan schrappen. Terwijl je voor de tweede vraag voor 50% zeker minstens 11 personen zal kunnen schrappen.

Dit is de tactiek die we dus zullen gebruiken: STEEDS DE MOGELIJKE KANDIDATEN TRACHTEN TE HALVEREN!
Ik heb dit idee doorgenomen en heb voor 15 mogelijke vragen gekeken hoe ik de groep telkens het beste kan halveren. Sommige criteria leken helemaal niet nuttig te zijn, en soms kon ik niet perfect halveren, maar probeerde ik een halvering te benaderen.
Dit heb ik dan in volgend schema gegoten:
AfbeeldingJe begint met de vraag of het personage een brede mond heeft. Zoja, volg je “v” en vraag je of hij een bril heeft. Zoniet, volg je “x” en vraag je of de persoon dikke lippen heeft… zo volg je het schema. Kom je op een ovaal met 1, dan wil dit zeggen dat je iedereen op 1 persoon na hebt weggeschrapt, dit is je tegenstander zijn mannetje! Kom je op een kader met 2 dan moet je gokken, indien je fout raadt zal je bij de volgende beurt winnen, anders ben je nu al gewonnen!

Uiteindelijk wil dit zeggen dat je, als je alle verschillende spelletjes speelt (hiermee bedoel ik alle combinaties van getrokken personages), je met gemiddeld 5.27355 vragen de juiste persoon zal vinden. Wie kan beter?

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Als je het spel echt nog sneller wil winnen kan je de groep steeds halveren door vragen te stellen als “zit je personage tussen personen 1-12?”. Zoja, vraag je “Zit je personage tussen personen 1-6?”. Zodat je dus inderdaad telkens halveert. dit zou zoals de wiskunde bewees de puurste en snelste methode zijn. Maar het idee van “wie is het” is dat je vragen om uiterlijke kenmerken gaan. Als je het op deze pure manier speelt heeft het niets meer met de eigenlijke personages te maken maar met hun nummer, waardoor je het spel dus niet meer echt speelt zoals het bedoelt is. Maar voor de volledigheid, op deze manier zal het spel na gemiddeld 5.17391 vragen afgelopen zijn. Merk op dat mijn versie hier niet ver van afwijkt!

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag