Letters raden met rekenkundig trucje

Er komen weer koude dagen aan. Een goede reden om thuis te blijven en de gezelschapsspelen nog eens uit de kast te halen. Maar als je niet meteen een gezelschap hebt liggen, of je hebt geen zin om het te zoeken op zolder… dan bestaan er leuke spelletjes waar je enkel pen en papier voor nodig hebt. OXO, zeeslag, pictionary,… allemaal spellen die je met deze 2 eenvoudige voorwerpen kan spelen. Maar ook Galgje, of Hangman zoals het in sommige regionen genoemd wordt.
galg
Het doel van het spel is eenvoudig, … raad het woord. Nadat de uitdager een willekeurig woord gekozen heeft, en verteld uit hoeveel letters dit woord bestaat, is het aan de andere speler(s) om beurtelings een letter te gokken. Indien de letter in het woord voorkomt vertelt de uitdager op welke positie(s), en worden andere letters geraden… Indien men een letter gokt die niet voorkomt verlies je een leven. Op het begin van het spel spreek je normaal gezien af met hoeveel levens je begint.
De naam galgje of hangman is eigenlijk een knipoog naar de manier waarop het aantal levens wordt weergegeven. Telkens je een leven verliest tekent de uitdager een lijntje meer op zijn tekening van een opgehangen stokmannetje. Als de tekening af voor het woord geraden is, wint de uitdager.
galgje
Inderdaad, je vergist je niet. Dit is een taalspelletje, heeft dit dan wel plaats op een wiskundeblog?
De reden waarom ik dit aanhaal op deze blog is omdat je door wiskunde te gebruiken, een licht voordeel kan hebben in dit spelletje. Zoals het in dit soort spelletjes meestal gaat, moet je een beetje geluk hebben omdat je moet gokken, letters meer bepaald. In dit geval gaat het echter over bestaande woorden waardoor je gericht kan gokken. Stel dat je bijvoorbeeld nog 1 gok mag wagen en je hebt reeds het  S_HOEN. Een berekende gok is dan een C, omdat de lettercombinatie “sch” dikwijls voorkomt in de Nederlandse taal. Zo zal je in dit geval niet snel de letter X gokken, want (zover ik weet) bestaat er geen woord met de lettercombinatie “sxh”. Eigenlijk is het zelden een goed idee om de letter x te gokken aangezien die in zeer weinig Nederlandse woorden voorkomt.

schoen
Wat is dan wel een goede gok? Wel, de klinker E zou een zeer goede eerste keuze zijn aangezien deze het meeste voorkomt… Bijna 19% van de gebruikte letters in onze taal is de letter E.  De rest van de top 3 wordt aangevuld door de letter N op plaats 2 (+/- 10%), en op 3 met ongeveer 7.5% staat letter A. Door deze statistieken te gebruiken kan je dus een berekende gok maken. HIER heb je de volledige lijst van de frequentie van letters in onze taal. Elke letter heeft dus een andere kans om voor te komen, in tegenstelling tot een dobbelsteen waarbij elke waarde van 1 tot en met 6 evenveel namelijk 16.66% kans heeft om voor te komen.

Indien je een krant en tijd te teveel hebt, kan je van één pagina eens de letters tellen. Ongetwijfeld komen de frequenties dichtbij de gegeven tabel. (In het artikel “Wiskunde vs. belastingontduikers” deden we een soortgelijk experiment maar dan met getallen.)
scrabble
Ook Scrabble maakt gebruik van zulke letterfrequentie-lijstjes… Zo zal je merken dat de letters die hoog scoren in deze lijst, een lage puntenwaarde hebben. Minder voorkomende letters zoals Q en X hebben een hogere waarde aangezien het moeilijker is om hier woorden mee te vormen.

Dit idee werd ook gebruikt door codekrakers die in de 19de eeuw de Vigenère code kraakten. Deze code werd reeds gebruikt in de 16de eeuw en werd zeer lang als ‘onbreekbaar’ beschouwd. Maar uiteindelijk werd deze gekraakt met net dezelfde methode als waarmee je je galgje-talent kan verbeteren. De code werkte als volgt: om een tekst te coderen werd elke letter vervangen door een andere letter, de A wordt een H, de B een O, … je kan zelf kiezen in welke letter je welke verandert, zolang er maar een 1 – 1 verband is. Hiermee bedoel ik dat A  steeds verandert in dezelfde gekozen letter, in ons voorbeeld een H, en andersom is er geen ander letter die in een H verandert.  In totaal kan de sleutel er als volgt uitzien:
vigenere
Hoe kunnen we deze code nu kraken? Zoals gezegd maken we wederom gebruik van de frequentie van de letters. Als we met deze versleuteling een tekst schrijven, zal de letter B voor ongeveer 19% voorkomen, want deze letter vergvangde de letter E, de letter I zal 10% voorkomen want deze vergvangde letter N….. Zo werken we al de klinkers en medeklinkers af. Hier en daar moet je wel even logisch nadenken. Het blijft een kansrekening en dus de lijst kan altijd een beetje afwijken. Het is bijvoorbeeld mogelijk dat in de te ontcijferen tekst de verdeling van de letters ietsje anders ligt waardoor het einde van de ranglijst een beetje door elkaar geschud is… maar de top 10 zal zeer waarschijnlijk hetzelfde zijn. Indien je deze ontcijferd hebt zal je al een groot deel van de tekst kunnen lezen.
Als de tekst slechts uit enkele woorden bestaat is het natuurlijk moeilijker om de tekst te ontcijferen aangezien de frequenties dan meer zullen afwijken van de algemene. Hoe groter de tekst, hoe beter ze de tabel zal benaderen.
Dit is net zoals bij de dobbelsteen. Als je 6 keer gooit met een dobbelsteen en opschrijft welke waarden gevallen zijn, zal het niet onwaarschijnlijk zijn dat niet elk getal exact 1 maal (16.66%) voorgekomen is. Als je echter 100 of 10000 keer zal werpen, zal je grafiek al meer naar 16.66% per waarde neigen. Dit noemen we “de wet van de grote getallen” maar dat is weer voer voor een andere tekst.

Leer de top 10 van de tabel van letterfrequenties van buiten (enkel de volgorde, de procenten hoef je niet uit je hoofd te kennen), en gebruik hem bij het raden van letters bij je volgende galgje spel.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad

speelgoedzakprobleem (voor de Sint en de Kerstman)

Het zijn weer hoogdagen voor deze weldoeners. Vannacht hebben de Sint en zijn pieten de daken van de lage landen bewandeld, en binnen enkele weken is het de beurt aan de kerstman om alle schoorstenen te bezoeken. Soms moeten ze natuurlijk even hun grote zak met speelgoed bijvullen. Daarom moeten ze dikwijls af en op de daken klimmen, heen en weer naar hun stoomboot of slede,… Tijd en energie rovend dus. Misschien eens een goede moment om te kijken hoe deze kindervrienden wiskunde in hun voordeel kunnen gebruiken…
Image
Het speelgoedzakprobleem is eigenlijk een breder bekend probleem dat normaal door het leven gaat als “het knapzak-probleem”. Het probleem is zoals vaak met moeilijke wiskundige problemen, heel gemakkelijk te definiëren:
Je hebt een grote (knap)zak die een bepaald gewicht kan dragen, en een verzameling goederen met bepaald gewicht en een toegekende waarde. Welke goederen steek ik in de zak zodat hij de meeste waarde bezit (zonder dat je het maximum gewicht van de (knap)zak overschrijdt).
Meestal wordt er een voorbeeld gegeven met een dief die juwelen wil stelen, … maar laten we het gezien de tijd van het jaar, even bekijken met de Sint die zijn speelgoedzak vult.

ImageStel dat de Sint een zak heeft waar hij (of zijn paard) 20 kg mee kan sleuren. Het speelgoed waartussen hij kan kiezen is een spelbord, een voetbaltafel, een pop, een spelconsole, een puzzel, en een breinbreker…(gewichten en prijzen kunnen afwijken… het is slechts een voorbeeld). Hij kan alvast de hele dure voetbaltafel van 250€ meenemen, zo heeft hij meteen het voorwerp met de meeste waarde én hij heeft het maximum gewicht niet overschreden. Maar hij kon natuurlijk ook voor 2 spelconsoles kiezen… zo heeft hij voor een gewicht van 20 kg, een waarde van 400€ mee de daken op. 
Als je de definitie van het knapzak probleem iets strenger maakt kan je kijken naar het 0-1-knapzak probleem. Het enige verschil met het originele is dat voorwerpen niet 2 maal mogen voorkomen in de zak. De Sint kan dus weer stellen dat zijn originele idee met de voetbaltafel de betere keuze is. Maar nog steeds zou hij mis zijn, want hij kan ook de combinatie: 1 spelbord + 1 breinbreker + 1 spelconsole + 1 puzzel kiezen! Zo heeft hij een waarde van 256€ bij elkaar gesprokkeld, en dat voor slechts 19 kg!
Image
Natuurlijk hebben de pieten en hulp-elven van de weldoeners gezorgd voor een veel ruimere keuze aan speelgoed… Voor slechts 6 speeltjes zoals hierboven is het probleem snel op te lossen, maar het wordt wederom snel moeilijker tot zelfs nagenoeg onoplosbaar, als je keuze groter wordt. Het feit dat dit zo moeilijk wordt is zelfs de aanleiding geweest om de wiskunde achter dit probleem te gebruiken als codeersysteem. Aangezien de wiskunde hierachter moeilijk is, komt dit namelijk overeen met een moeilijk te breken code. 

Er zijn wel enkele manieren waarop je het probleem kan benaderen, je kan eerst de goederen rangschikken op
1. gewicht (van klein naar groot)
2. waarde (van groot naar klein)
3. op verhouding waarde/gewicht (van groot naar klein).

Oplossingsmethode 1 zal je zak zoveel mogelijk vullen met alle kleine spullen. Dit heeft als effect dat je heel veel zult kunnen meenemen. Hoe meer spullen hoe meer waarde zou je denken, dus waarom zou dit niet de beste techniek zijn? Wel doorgaans zijn kleinere dingen ook minder waard dan grotere… bijvoorbeeld 20 breinbrekers van 1 kg (kleinste gewicht) wegen evenveel als de voetbaltafel, maar 20 x 6€ = 120€ wat nog steeds een pak minder is dan de voetbaltafel van 250€.
Oplossingsmethode 2 is diegene die de Sint eerst toepaste wanneer hij enkel de voetbaltafel meenam. We zagen eerder al dat dit in bovenstaande voorbeeld niet de beste methode was.
Oplossingsmethode 3 is in ons geval de beste. Je neemt steeds het voorwerp met de beste verhouding en stopt het in je zak, daarna zoek je 2de beste verhouding, … enzovoort, zolang je het maximum gewicht niet overschrijdt. Voor ons zijn de verhoudingen in €/kg: spelbord 6, voetbaltafel 12,5, pop 3, spelconsole 20, puzzel 6.66 en breinbreker 6. We nemen eerst de spelconsole met verhouding 20, dan de puzzel met verhouding 6.66 (niet de voetbaltafel met verhouding 6.66 want dan overschrijden we ons gewicht), dan het spelbord, en dan de breinbreker.
Zoals je kan zien heb ik in bovenstaande methodes enkele woorden in het vet getypt. Deze moeten erop nadrukken dat elke oplossingsmethode de beste kan zijn… het hangt gewoon van geval tot geval af. Zelfs voor oplossingsmethode 3 bestaan er situaties waarin deze niet de beste is! Bijvoorbeeld in het geval je slechts 6 kg kan meenemen en je hebt de keuze tussen een spelbord en 2 poppen… de derde oplossingsmethode zal je de verkeerde keuze laten maken.
Image
Moraal van het verhaal is dat voor kleine aantallen speeltjes en pleziertjes de goede mannen door eens diep na te denken, te tellen en te rekenen, de juiste keuze kunnen maken. Voor grotere aantallen heeft zelfs de wiskunde nog niet de juiste antwoorden… Sommige kinderen hechten natuurlijk ook andere waarden aan speelgoed. niet zozeer de prijs maar het plezier is voor hen meer waard. Maar de oude wijze mannen zullen hier met hun jarenlange ervaring wel een antwoord op hebben denk ik…

Daarom de Sint, de Pieten en de Kerstman

Giedts Tom

 

 

Leave a comment

Filed under andere

London tube en GPS

De meesten kennen of gebruiken wel eens een GPS-navigatie systeem. De toepassing waarover dit artikel zal gaan is die van “plan je route”. Met deze applicatie kan je een reis plannen waarbij je verschillende punten moet passeren. Bijvoorbeeld je vertrekt in Antwerpen, je rijdt naar Brussel en wil het postkantoor van Wilrijk bezoeken én Technopolis in Mechelen. Je GPS zal nu een optimale route voorstellen, … met behulp van wiskunde.

AfbeeldingDe tak van de wiskunde die hier gebruikt wordt is de grafentheorie. Het voorbeeld dat ik hierboven gaf heeft natuurlijk een zeer logische oplossing en vergt geen hogere wiskunde. Je passeert eerst even het postkantoor in Wilrijk, en springt binnen in technopolis te Mechelen, waar je toch moet passeren om in Brussel te raken. Het zou nogal gek zijn dat je GPS je eerst naar Technopolis laat rijden, om dan terug te komen tot Wilrijk, waarna je van daar naar Brussel rijdt. Dit zou je veel meer tijd en brandstof kosten dan het logische, eerste plan. Maar als je enkele tientallen tussenstops moet maken is het al wat moeilijker om de kortste/snelste reisroute te berekenen.

Denk maar aan bedrijven zoals DHL of UPS. Zij hebben elke dag vele mensen op de baan die her en der pakjes moeten leveren. Als je elke werknemer elke dag enkele minuten sneller kan laten leveren door een optimale reisweg, kan je dit op enkele jaren miljoenen euro’s besparen. Dit wederom door besparing op brandstof en slijtage aan de banden door minder kilometers en omdat je dagelijks meer klanten kan bedienen natuurlijk.
De route die de chauffeurs moeten berekenen kan je zien als een wiskundige graaf. Hierbij beeld je elke bestemming af met een punt of cirkel, en elke weg tussen deze bestemmingen geven we weer als de lijnen die de cirkels verbinden.
AfbeeldingStel dat we bijvoorbeeld aan al de posten (“a” tot en met “i”) moeten leveren. Hoe weten we nu in welke volgorde dit het snelste zal gebeuren? Veronderstel dat ons startpunt in a ligt. Vertrekt onze bestelwagen richting punt b gevolgd door c of e, of doen we eerst d, om van daar naar i te rijden….., er zijn onnoemelijk veel opties. Ze allemaal 1 voor 1 afgaan kan letterlijk jaren duren. Eind jaren 90 berekenden wiskundigen de snelste manier om alle Duitse steden te bezoeken, 15.112 in totaal. Met behulp van computers vonden ze de oplossing, maar dit duurde geen uren, dagen of weken, maar liefst 22.6 jaar de tijd! Ze deden dit niet met zomaar een pc. Het klusje werd geklaard door meer dan 100 processors.

Een eerste stap richting de oplossing is de wegen een waarde geven. Deze waarde kan toegekend worden aan het aantal kilometers van de verbindingen… een weg met een waarde 20 is bijvoorbeeld 20 kilometer lang, één met waarde 10 is maar de helft zolang enz…. Als tijd je belangrijkste zorg is kan je bijvoorbeeld autosnelwegen een waarde 5 geven (ze nemen weinig tijd in beslag), en straten in drukke centra geef je een waarde van bijvoorbeeld 20 (hier ben je 4 maal zoveel tijd kwijt dan op de snelweg)…
Je kan ook een combinatie maken van tijd en afstand efficiëntie natuurlijk…
AfbeeldingNu kan je een wiskundig algoritme gebruiken om te bepalen welke route te nemen. Er zijn meerdere van deze algoritmes in de omgang, maar het bekendste zal Dijkstra’s algoritme zijn (dit wordt door de meeste GPS-systemen gebruikt). Indien je het algoritme in zijn werk wil zien kan je deze of deze site eens bezoeken. Simpel opgelost toch?…
Het probleem is dat het voor oefeningen met een groot aantal steden zelfs voor een computer zeer lang kan duren om de meest efficiënte volgorde te zoeken. Verder hebben we ook nog geen bewijs gevonden dat het wiskundige algoritme wel degelijk dé beste oplossing biedt. Het sluit vele oplossingen uit, en geeft je een van de betere antwoorden, maar het is dus nog steeds niet wiskundig bewezen dat het de allerbeste oplossing is.
Dit probleem is gekend als het handelsreizigersprobleem en een van de meest bekende en moeilijkste openstaande problemen in de wiskunde.

AfbeeldingIndien je denkt een systeem te hebben gevonden om dit raadsel te ontrafelen (of toch ook een heel goede benadering) kan je je misschien eens wagen aan de tube-challenge. Het is een wedstrijd rond het bekende metro systeem van Londen. Het hele ondergrondse tramnet telt er nu al 270 stations. De opzet van de wedstrijd is heel makkelijk: hoe snel kan jij alle stations bezoeken door enkel gebruik te maken van de trams die ertussen pendelen. Als je van de figuur van de leveranciers tracht te achterhalen hoeveel mogelijkheden er zijn, of de inspanningen leest rond het berekenen van het handelsreizigersprobleem, zal je ondervinden hoe immens moeilijk deze wedstrijd wel is. (voor de geïnteresseerden, het record staat nu op 13 uur, 20 minuten en 27 seconden).
De kaart van “the tube” zoals ze het hele ondergrondse tram-net (met het beroemde “mind the gap”) daar noemen wordt trouwens meestal weergegeven als een graaf. de bolletjes zijn de stations en de tramlijnen die ze verbinden zijn de gekleurde lijnen (zie boven).
Ook het Antwerpse openbare vervoersplan heeft nu zulk een weergave (zie onder).
Afbeelding
Misschien kunnen we de stad Antwerpen en de lijn wel warm maken voor een gelijkaardig idee. Wie kan er het snelst alle Antwerpse stations bezoeken? Een leuk idee om stad, openbaar vervoer én wiskunde te promoten.

DAAROM WISKUNDE
(lees ook Wiskunde en camerabewaking)

Giedts Tom

1 Comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

lotto in perspectief

Dit is niet mijn eerste artikel over de lotto en zal zeker ook niet het laatste zijn. In de vorige schrijfsels vertelde ik over de kans om bijvoorbeeld het spel Euromillions te winnen. Dit kwam neer op een kans van 1 op 116.531.800… 
Je zal dus meer dan honderdzestienmiljoen loten moeten kopen om zeker te zijn om de jackpot te winnen. Een enorm kleine kans dus… omdat het misschien moeilijk is een beeld te scheppen bij 1 op 116.531.800 (0.000000858%) zal ik het even in perspectief zetten.
Afbeelding
Stel je voor dat ik je gedachten probeer te lezen. Om dit te bewijzen moet je aan een getal tussen 1 en 100 denken…
Het getal waaraan je dacht was 39! … niet? Wel voor ongeveer 1 op de 100 lezers zal ik dit toevallg juist hebben gegokt. Stel nu dat we het moeilijker maken, … je denk nu aan een getal tussen 1 en 1000, een letter, een kaart uit een gewoon kaartspel, een sterrenbeeld én 1 van de 7 kleuren van de regenboog. 
Je denkt dan bijvoorbeeld aan [124, A, ♥7, boogschutter en de kleur geel]… Ik kan nu weer een gok doen, en de kans dat ik nu juist zal raden is net iets groter dan dat ik de Euromillions-jackpot win. Ongeveer 0,000000881%.
Afbeelding
Misschien kan je gewoon beter gaan werken en rijk worden? Begin je eigen zaak en bouw een bedrijf zoals Microsoft, Porsche of Facebook uit… Als we tellen hoeveel miljardairs er bestaan op de wereld, en delen door het aantal mensen vinden we de kans dat een mens miljardair is. Deze kans is ongeveer 0.0000173%. Een pakje hoger dus dan de kans op winst bij het lottospel. Je kan dan natuurlijk zeggen dat deze mensen geluk hebben gehad en geld erfden…
Maar uit onderzoek blijkt dat 7 van de 10 van deze superrijken verdiende zelf hun fortuin (dus eigenlijk is de kans dat je een ‘selfmade-miljardair’ wordt is 0.0000121%.)
Afbeelding
Indien je jezelf al eens waagt aan een spel pokeren zal je ook met kansen geconfronteerd worden. De combinatie met minste waarschijnlijkheid (en dus met hoogste waarde) is de “Royal Flush”. Hiervoor moet je van 1 soort, zowel de 10, boer, dame, koning en aas hebben. 
De kans op deze combinatie? 0.000154%
Afbeelding
Als laatste en misschien meest schokkende vergelijking, kan je eens nagaan wat de kans is dat je zal sterven dit jaar. In 2012 stierven in België 10.63 mensen per 1000 inwoners. Met andere woorden is er een kans van 1.063% dat je binnen het jaar aan je einde zal komen… Dit wetende kan je eenvoudig nagaan hoe waarschijnlijk het is dat je de komende 24 uur zelfs niet meer zal halen… dit is ongeveer 0.00004466% (merk op dat deze kans nog steeds veel hoger ligt dan die van winst bij Euromillions). Reken even verder en je zal merken dat met 0.00000186% zekerheid het volgende uur niet meer onder ons bent (nog steeds hoger dan de kans op winst). als je zo verder gaat bekom je de verontrustende conclusie dat winnen op Euromillions even waarschijnlijk is als het feit dat je er binnen een 17 seconden niet meer bent…
Om je maar een idee te geven…

Afbeelding

Als je dus toch beslist een lot te kopen, doe dit dan enkele seconden voordat de pot getrokken wordt, anders is de kan dat je de trekking niet overleeft, groter dan hem te winnen

DAAROM WISKUNDE
(lees ook Waarom gebruikt EuroMillions sterretjes?Lang zal hij leven: WIN FOR LIFEWanneer moet ik meespelen om te winnen?)

Giedts T.

Afbeelding
 

Leave a comment

Filed under andere

wiskundige doorbraken en spionage

Diegenen die de afgelopen weken het nieuws een beetje gevolgd hebben kunnen het niet gemist hebben… Van overal ter wereld duiken er berichten op omtrent afluisterpraktijken van de Amerikaanse geheime dienst NSA. Niet enkel politieke (bijvoorbeeld Duits bondskanselier Angela Merkel) en religieuze (Paus Fransiscus) leiders worden bespioneerd, maar zelfs dagelijks e-mail verkeer van u en ik zou door hen kunnen worden nagelezen… Dit zou allemaal wel eens de oorzaak kunnen zijn van mogelijk de grootste wiskundige doorbraak in jaren.

Afbeelding

Nu we met zijn allen berichten en gegevens versturen over het internet, is het natuurlijk belangrijk om deze informatie te kunnen beschermen. Sommige mails kunnen namelijk geheime of persoonlijke informatie bevatten. Of denk maar aan de miljoenen mensen die hun bankzaken online verrichten! Ook voor bedrijven die miljoenen investeren in onderzoek naar nieuwe producten en niet willen dat concurrenten gratis aan de plannen van hun nieuwe uitvindingen kunnen geraken, is online beveiliging ontzettend belangrijk. Zo kunnen we nog wel even doorgaan met het geven van toepassingen en voorbeelden om het belang van online security te benadrukken. Maar laten we liever eens bekijken hoe deze beveiliging nu juist gebeurt…
Afbeelding
Toen we als tieners een geheime boodschap wilden doorgeven gebruikten we dikwijls makkelijke en zeer snel te kraken codes. De bekendste is allicht het vervangen van een letter door een cijfer… a=1, b=2, c=3, … y=25 en z=26. Op deze manier zal de het woord “blog” dus veranderen in “2 12 15 7”.
Na enkele tijd hadden we door dat dit maar een heel naïeve manier was om onze tekst geheim te houden en bedachten we “een verbetering”. Na het omvormen van letter naar getal, telden we er een constante bij op, bijvoorbeeld +3. met andere woorden “a” wordt eerst “1” en dan doen we +3, en “a” wordt dus gelijk aan “4”, b=5, c=6, … het woord “blog” zal nu dus worden “5 15 18 10”.
Belangrijk is natuurlijk dat diegene voor wie het bericht bestemd is, weet dat je steeds +3 deed! Anders zal hij dit bericht niet kunnen ontcijferen.

Om een bericht veilig te versturen hebben we dus 3 belangrijke stappen nodig.
1. schrijven en coderen van je bericht
(in ons voorbeeld letter-> getal +3)
2. de ontvanger de sleutel geven om de tekst te ontcijferen
(bijvoorbeeld vertellen of smsen)
3. het ontcijferen en lezen van de tekst
(in ons voorbeeld (getal -3)-> letter)

Afbeelding

Het meest gevaarlijke van dit proces is stap 2. Als ik bijvoorbeeld met het bovenstaande systeem met mijn neef berichten wil sturen moet ik hem eerst vertellen hoe een tekst te versleutelen en te ontcijferen. Terwijl ik hem dit vertel kan iemand, bijvoorbeeld mijn zus, ons afluisteren… vanaf nu weet zij dus ook steeds al de geheime berichten ontcijferen! Met andere woorden, ik heb een een doosje met een geheim op slot gedaan, maar ik moet een kopie van de sleutel aan mijn neef kunnen geven zonder dat iemand deze kan afpakken en nog een kopie kan maken!

Afbeelding

Wiskundigen kwamen met het antwoord! Ze bedachten het een nieuw systeem dat ze RSA versleuteling noemden.
We vonden een manier waar we 2 sleutels nodig hebben. Ééntje om de tekst te coderen en ééntje om te decoderen. Wat die systeem speciaal maakt is het feit dat de eerste sleutel geen geheim hoeft te zijn, je kan hem op internet posten zodat iedereen hem kan lezen en gebruiken, deze kan toch enkel gebruikt worden om het versleutelen. belangrijk is dat enkel jij de tweede sleutel bijhoudt. Iedereen kan nu “een doosje met geheime info” op slot doen en versturen, maar enkel jij kan, met de 2de sleutel, deze doos openen. Iemand anders mag zo een doos onderscheppen maar zal ze nooit kunnen open krijgen. Ook al heeft hij de eerste sleutel. Het gevaar van de 2de stap (dat iemand de sleutel om het coderen onderschept) bestaat nog steeds, maar met dit systeem is diegene die de sleutel steelt er toch niets mee.

Je natuurlijk zou kunnen denken dat eens je de versleutelingsmethode kent, je ook kan afleiden hoe deze te ontcijferen. In onze eerste voorbeelden konden we dit ook eenvoudig. Als we weten dat persoon “A” een bericht codeert door x+3 te doen, kunnen we snel afleiden dat we kunnen decoderen door x-3 te doen. Als persoon “A” het moeilijker maakt door (x+3)² doet  kunnen we nog steeds gemakkelijk decoderen door eerst de vierkantswortel te nemen en dan pas -3 te doen… met andere woorden als we de versleuteling weten, doen we gewoon de omgekeerde bewerking om te ontcijferen.
Dat is nu net het knappe aan dit RSA systeem. het versleutelen is heel simpel, we vermenigvuldigen twee priemgetallen p en q met elkaar… om het bericht te ontcijferen moeten we enkel het grote getal weer kunnen opsplitsen in de twee originele delers p en q.
Maar als deze p en q groot zijn is het ontsleutelen wel meteen zeer ingewikkeld! Het vermenigvuldigen kan een computer op enkele milliseconden, terwijl het zoeken van de delers maanden kan duren (zelfs als je tientallen computers tegelijk gebruikt!)

Afbeelding

Bijvoorbeeld als we de volgende willen priemgetallen vermenigvuldigen 11243 x 59009 = 663438187, dan kunnen we dit met gelijk welke rekenmachine berekenen. Maar kan jij met je rekenmachine vinden welke 2 priemgetallen ik hier vermenigvuldigde: 3676042387
Inderdaad, het zoeken van de delers (we noemen dit het factorizeren) is al een pak moeilijker. Zo moeilijk zelfs dat wiskundigen er zelfs nog steeds geen manier voor gevonden hebben om dit effectief te doen. Zo moeilijk zelfs dat zowat alles wat er op het internet beveiligd wordt dit systeem gebruikt. We vertrouwen er dus op dat dit het factorizeren zo ingewikkeld is dat we het nooit effectief zullen kunnen (want anders zou alles wat op deze manier beveiligd is zomaar te lezen zijn).

Nu almaar meer het nieuws opduikt dat de NSA mensen en overheden afluistert, vermoeden sommigen dat de Amerikaans dienst het probleem toch gekraakt heeft! Dit zou de wiskundige doorbraak van de eeuw kunnen zijn, gelijk welke wiskundige zou deze ontdekking op zijn naam willen schrijven. Maar de geheime dienst houdt dit liever stil omdat zij dan de enigen zijn die al de rest kan afluisteren…

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

!!! 9000 VIEWS !!! (puzzel)

Het is weer zover, we zijn weer enkele duizendtallen verder dus hoog tijd voor een raadsel.

Bedankt alvast aan iedereen die een bezoek bracht, een artikel ge-liked heeft of die erover doorvertelde…Naar aanleiding van de vorige x-duizend bezoekers gaf ik ook telkens 3 kleine raadseltjes: !!! 1000 VIEWS !!! (puzzel),  !!! 2000 VIEWS !!! (puzzel),  !!! 3000 VIEWS !!! (puzzel) en !!! 4000 VIEWS !!! (puzzel).
Het volgende raadsel gaat om Draken en hun hoofden:

Stel, je hebt een groep draken die meerdere hoofden kunnen hebben. Draken met 1 hoofd, draken met 2 hoofden, draken met 3 hoofden, draken met 4 hoofden,… zo loopt dit op tot zelfs draken met 1000 hoofden. Van elk soort (n-hoofdige draak) zijn er zo duizend draken. M.a.w. 1000 draken met 1 hoofd, 1000 met 2 hoofden, … 1000 met 1000 hoofden.

Afbeelding

a.) Hoeveel draken bestaan er, en hoeveel hoofden hebben ze in totaal?

b.) Stel dat we een kasteel hebben waar verschillende draken inpassen. Let wel, op het aantal hoofden staat wel een maximum! Zo krijg je slechts 1000 hoofden binnen. De groep draken die in het kasteel komen moeten een plan bedenken en hebben dus zoveel mogelijk wijsheid nodig als ze kunnen verzamelen. De wijsheid van een groep wordt als volgt gemeten: vermenigvuldig het aantal hoofden van de draken met elkaar.
We kunnen bijvoorbeeld 2 draken nemen met 500 hoofden: 500×500 = wijsheid van 250000.
Of 5 draken van 200 hoofden= 200x200x200x200x200 = wijsheid van 320000000000
Of 1 draak met 1000 hoofden =wijsheid van 1000…

Je mag natuurlijk ook drakensoorten combineren! Bijvoorbeeld 1 draak met 100 hoofden en 3 met 300 hoofden… Of 2 draken met 50 hoofden , 2 met 200 hoofden en 50 met 10 hoofden… Zolang er maar 1000 hoofden in totaal zijn…
Wat is de beste samenstelling van de groep?

c.) Het aantal hoofden van de draken is natuurlijk steeds een geheel getal, er is geen draak met bijvoorbeeld anderhalf, hoofd. Of een pi-draak met 3,14159… hoofden.
Maar stel nu even dat dit wel kan… stel dat het aantal draken en hun aantal hoofden irrationale getallen kunnen zijn… wat is dan de beste samenstelling van 1000 hoofden (op 2 cijfers na de komma)?

Afbeelding

(Antwoorden mag je mailen naar waaromwiskunde@hotmail.com met als onderwerp PUZZEL)
Veel succes, en nogmaals bedankt iedereen!

Leave a comment

Filed under andere

wiskunde en religie

Hoewel het gevaarlijk is om over deze 2 totaal verschillende dingen in één topic te schrijven, ga ik toch een poging doen.
(Laten we maar meteen duidelijk stellen dat ik geen discussie wil aanwakkeren tussen wetenschap en religie! Voor mij zijn het twee totaal verschillende dingen die op elk in hun eigen manier waar en juist zijn. Voor mij is wiskunde een meer voor de hand liggende waarheid dan religie, maar dat is slechts een persoonlijke indruk.)

Anderen hebben vóór mij ook al een poging gedaan om deze 2 onderwerpen te mixen. Wetenschappers waagden zich in het religieuze gebied, maar ook gelovigen maakten uitspraken over wiskundigen.Zo maakte bijvoorbeeld bisschop Sint Augustinus (354-430) de uitspraak:

Afbeelding

Een goede christen moet opletten voor wiskundigen, en al degenen die lege voorspellingen maken. Het gevaar bestaat dat de wiskundigen een verbond sloten met de duivel om de geest donkerder te maken en mensen te beperken tot een verbond met de hel.
— Sint Augustinus —

Het zijn zware woorden waarmee hij wiskundigen ervan beschuldigd een verbond te sluiten met de duivel. Dit is waarschijnlijk één van de meest bekende voorbeelden van ‘het bemoeien’ in deze richting. Vanuit het kamp van de wiskundigen is het beroemdste stukje bemoeienis ongetwijfeld het bewijs van Kurt Gödel (1906-1978) van Gods bestaan. En wat voor sommigen misschien verrassend is voor een wetenschapper, is het feit dat hij bewijst dat God wel degelijk bestaat.
Gödel wordt beschouwd als een van de belangrijkste wiskundigen van de 20ste-eeuw en was vooral bedreven in de logica (een tak van de wiskunde). Hij bewees het bestaan van God dan ook vanuit dit onderdeel van het vak. Het volledige bewijs ziet eruit als volgt:

Afbeelding

Het heeft vele symbolen die je misschien niet meteen iets zeggen zoals ⇔ (als en slechts als), ¬ (wat “niet” betekent) en ∧ (wat “en” betekent), maar het leert snel. Laten we zelf ook een logische vergelijking opschrijven met deze drie symbolen!
stel dat we ook het volgende afspreken: M = k(B) wil zeggen M is kind van B, M = z(B) wil zeggen M is zoon van B (hetzelfde geldt natuurlijk voor d(B) of dochter van B).
Hiermee kan je bijvoorbeeld de volgende logische uitdrukking maken “M is de zoon van B als en slechts als M een kind is van B en geen dochter is van B.”

[M=z(B)]  ⇔ [M=k(B)] ∧ ¬ [M=d(B)]

De belangrijkste symbolen in het bewijs van Gödel zijn waarschijnlijk ∃ (dit wil zeggen “er bestaat”) en G(x) (dit wil zeggen x is een God). De laatste regel van zijn bewijst leest dus: “Er bestaat een x zodat x is God”. En dus bewees Gödel (foto) dat God bestaat! Zijn bewijs kreeg natuurlijk kritiek langs alle kanten (zowel wetenschappelijk als reliugeus) en zal nooit beschouwd worden als “juist”.

Afbeelding

 

Zoals Sint Augustinus eerder al aannam gebruikt de duivel ook wiskunde om de mensen te misleiden. Zo zou hij bij het ontvangen van een nieuwe ziel in de hel, het volgende spel voorstellen: Het slachtoffer mag elke dag een spel spelen en bij winst naar de hemel stijgen, bij verlies volgt een oneindige eeuwigheid in de pijnlijke hel. De ziel mag slechts één keer meespelen maar mag kiezen de hoeveelste dag. Op dag 1 heeft de ziel een kans van 1/2 om te winnen. Op dag 2 is deze kans 2/3. op dag 3 is de kans al 3/4… en zo blijft de kans steeds stijgen. Het is dus ergens verstandig om niet meteen mee te spelen, maar om te wachten omdat je kansen op winst steeds maar stijgen. Na 1 jaar is je kans het spel, en daarmee een ticket naar de hemel, te winnen al 365/366 of ongeveer 99,73%… MAAR die 0.27% kans staat wel voor een eeuwigheid in de hel!!! Zou jij al meespelen? 
Je kan 1 dag wachten om meer kans te hebben op winst, of nu al spelen maar mogelijk een eeuwigheid verliezen, Dus misschien toch maar even wachten?… Zo kan je de dag erna natuurlijk ook redeneren en toch nóg maar een dagje wachten (wat is 24 uur tegenover een mogelijke eeuwigheid).
Daar zit nu juist het listige van de duivel zijn plan. Je moet oneindig lang wachten tot je 100% zeker bent om te winnen en niet oneindig lang in de hel zal moeten blijven….. Je snapt dat het mooi in elkaar zit.

Afbeelding
Als laatste een handigheid waar wiskunde de religie een beetje kan helpen. We weten dat Kerstmis, Sinterklaas of Allerheiligen elk jaar weer op dezelfde datums vallen. Voor Pasen ligt dit ietsje anders. Het heeft te maken met verschillende factoren waardoor Pasen op 35 mogelijke data kan vallen (het kan dus meer dan een maand verschillen)! Om in de sfeer van het artikel te blijven zal ik me als wiskundige niet wagen aan een uitleg over deze factoren… dit is meer iets voor een religieuze om uit te leggen (zoals meneergodsdienst bijvoorbeeld). Wat ik wel kan meegeven is een formule waarmee je zelf kan berekenen wanneer Pasen valt. We moeten dus weten welke dag “d”, en welke maand “m ” we  Pasen zullen vieren terwijl we enkele het jaar “y” weten:

Afbeelding

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under andere

een doos, enkele kogels en veeltermen…

Wiskundigen zijn volgens vele, mensen die het graag moeilijk en lastig maken terwijl er eigenlijk zelfs geen probleem is… Maar hoe vaker je aan wiskunde doet, hoe meer je zal merken dat wiskundigen juist lui zijn en het zichzelf zo makkelijk mogelijk trachten te maken. Dit doen we door moeilijke problemen die lastig op te lossen zijn, op te delen in kleinere meer handelbare taken. Een perfect voorbeeld hiervan zijn de veeltermen.
Laten we eerst enkele veel gebruikte “eenvoudigere toepassingen” zien.
200195865-001
Een belangrijke parameter van een veelterm is zijn graad, ofwel, welke is de hoogst macht van de onbekende…
x² + 3x – 5 is een veelterm van 2de graad want x wordt maximaal tot de tweede macht verhoffen. Zo is x³-5x een veelterm van derde graad, x15+x7-4x6 + π heeft graad 15, enz…
De meesten zullen al wel in contact gekomen zijn met 2de graads vergelijkingen dus laten we daar een veelvoorkomend applicatie van bekijken.

De functie die we gebruiken in verband met afstand, snelheid en acceleratie (versnelling) is een tweede graads vergelijking. In deze (zie onderstaande functie) veelterm van graad 2 is t de onbekende. X0 is het beginpunt, v0 is de beginsnelheid en a is de versnelling. Met deze handige functie kunnen we in fysica en mechanica een enorm stuk ver geraken. Beginnende met eenvoudige oefeningen zoals als een trein Antwerpen (= X0) voorbijrijdt  tegen 100km/h (= v0) en hij versnelt gemiddeld met 1km/h² (= a0), hoever is deze dan na een half uur (= t), of na 2 uur…?
Het lijkt een banale toepassing maar sla de krant maar eens open en je staat verstelt hoeveel klachten de NMBS ontvangt wegens treinen die te laat zijn!
speed
Boeiender kan je het maken wanneer je weet dat ook versnelling en snelheid van bijvoorbeeld kogels hiermee berekend worden, waardoor we dan weer de afstand van schutter tot slachtoffer kunnen vinden en zo de dader kunnen opsporen. Maar dit geldt ook voor raketten, en dat mag je zelfs zeer ruim interpreteren tot en met maanraketten en dergelijke. Inderdaad, vandaag leer jij op school wat astronauten op de maan helpt brengen.
imagesCAB74OY7
Een veelterm van graad 3 komt van pas als we in drie dimensies gaan werken (merk op dat vorige toepassingen zich in 2 dimensies afspelen en dus een veelterm van graad 2 hebben). Neem bijvoorbeeld het eenvoudige voorbeeld van een doos die je wil maken. Je weet dat de doos 2 cm hoger moet zijn dan ze breed is, en nog eens 2 centimeter meer in de diepte. Het volume van je doos moet 48 worden… hoe breed is je doos? … wel het volume is breedte x hoogte x diepte. Stel dat B de breedte is dan hebben we: B x (B+2) x (B+4) = B³ + 6B² + 4B = 48   Voila een veelterm van graad 3. We hadden een vrij makkelijke vraag (gegeven het volume wat is de lengte) en toch komen we al snel aan een veelterm van graad 3.  Ook dit probleem kan je weer uitbreiden, denk maar aan gelijk welk probleem waar volumes in voorkomen: wegpompen van water, opslaan van grote hoeveelheden in opslagplaatsen, vullen van brandstoftanks (ja, ook die van raketten),…
IMG_9172_JPG
Waarom wiskundige zo graag met deze veeltermen werken is omdat ze enkel de basisoperaties omvatten, plus maal en machten. Maar natuurlijk zullen we problemen tegenkomen met moeilijkere bewerkingen zoals sinussen, cosinussen, logaritmen, of gekke dingen zoals eX (Wie komt deze functies tegen??? Ontzettend veel mensen eigenlijk, wegenbouwers, landmeters, economen, ontwerpers van allerlei zoals monumenten tot zelfs rollercoasters……..)

Wel daar komt de gemakzucht van een wiskundigen naar boven. We vervangen deze moeilijkere functies gewoon in diegene waar we graag en makkelijk mee kunnen werken… de simpele veeltermen. Het addertje onder het gras is wel dat deze veeltermen een oneindig hoge graad hebben… (Je moet ze natuurlijk niet oneindig lang opschrijven, je stop gewoon tot je tevreden bent met de nauwkeurigheid. Een beetje zoals bij het getal π, daar blijf je ook niet steeds alle getallen na de komma opschrijven!) Bijvoorbeeld:

Sin (x) = x – (1/6) x³ + (1/120) x5 – (1/5040) x7 + …
Cos (x) = 1 – (1/2) x² + (1/24) x4 – (1/720) x8 + …
ex =  1 + x + (1/2) x² + (1/6) x³ + (1/24) x4 +…

Hoe je dit vervangt zal je leren (of misschien ken je dit reeds) wanneer je leert over Taylor reeksen. Op het eerste zicht lijkt het een beetje willekeurig en moeilijk maar eigenlijk is het slechts 1 regel die je leert hoe je een functie in zulk oneindige veelterm te veranderen.
Velen griezelen bij woorden zoals sinus en logaritmen en voor hen is het dus een troost dat je deze moeilijke functies kan vereenvoudigen in die eenvoudige veeltermen waar je al snel eenvoudig mee kan rekenen omdat deze slechts bestaan uit basisbewerkingen (+, x en machten).

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Leave a comment

Filed under Info voor leerkrachten en scholen, Toepassingen voor elke dag, Wiskunde vs. Misdaad, wiskundige carrière

PIMP je dobbelsteen

Onafscheidelijk van bijna alle gezelschapsspelen is de dobbelsteen. Ze bestaan in alle maten en kleuren, maar de bekendste is zonder twijfel de standaard zeszijdige, kubusvormige,  21 oogige dobbelsteen.

dice
Het is trouwens geen toeval dat deze de vorm van een kubus heeft. Dit geeft namelijk als voordeel dat alle kanten, hoeken en ribben overal dezelfde zijn, waardoor elke waarde (of kleur voor sommige dobbelstenen) evenveel kans heeft om geworpen te worden. Een grafiek opstellen voor zulke kansen is dus ook zeer saai (grafiek 1).
Werpen met 2 eerlijke kubusvormige dobbelstenen geeft meteen een andere grafiek (grafiek 2). Hier zie je meteen dat wanneer je met 2 twee dobbelstenen werpt, meestal een 7 zal bekomen. Merk ook op dat de grafiek mooi symmetrisch is (wat in dit geval een gevolg is van het gebruiken van identieke teerlingen).
dicekans
Je kan je afvragen of je deze grafiek 2, ook kan bekomen door andere 6-zijdige dobbelstenen te gebruiken. Bijvoorbeeld, dobbelsteen A heeft als waarden 1,3,3,4,5,8 en dobbelsteen B heeft 2,2,2,4,5 en 6 als mogelijke worpen…  Wel het zal je niet verwonderen dat de mogelijke uitkomsten, indien je met beide stenen werpt, en de waarden optelt, iets chaotischer verdeeld zijn (grafiek 3).
graf3
Ook de wiskunde Sicherman onderzocht deze grafieken en heeft een speciale combinatie ontdekt. Als je stenen met de combinaties  1,2,2,3,3,4 en 1,3,4,5,6,8 maakt bekom je ook grafiek 2. Hij bewees ook dat zijn combinatie (en de triviale originele dobbelstenen) de enige zijn die deze grafiek geven. Voor dit bewijs gebruikte de man cyclometrische veeltermen en irreducibele veeltermen. Wat priemgetallen zijn voor gewone getallen zijn irreducibele veeltermen voor de gewone veeltermen… Cyclotome veeltermen zijn net iets moeilijker uit te leggen maar zeker zo interessant.
Je kan dus je dobbelstenen aanpassen door de 2 die Sicherman ‘ontdekte’ en een perfect eerlijk spel spelen.

Je kan je nu ook afvragen of je 1 grote dobbelsteen kan maken die de 2 kleine 6 zijdige stenen vervangt. Deze grote dobbelsteen zal dan 6×6 = 36 zijden moeten hebben. Maar welke waarden zullen nu op deze steen moeten staan? In grafiek 2 zagen we al hoe de verdeling van mogelijke worpen ruit zien, hieronder zien we dit nog eens in detail :
tabem
Je zal dus 1 zijde hebben met waarde 2, 2 zijden met waarde 3,… 2 zijden met waarde 11 en 1 met waarde 12. Als we heel de tabel afgaan hebben we dus 36 zijden in totaal. KLAAR….

Het enige probleem dat we nu nog hebben is het feit dat onze 36-zijdige figuur nog eerlijk moet zijn, en dus gelijke zijden moet hebben. Hier wringt het schoentje. Deze figuur bestaat namelijk niet! Er zijn slechts 5 van deze regelmatige veelvlakken (er bestaan dus ook slechts 5 “eerlijke” dobbelstenen.
Voor de geïnteresseerden, de benamingen van deze stenen zijn (in volgorde van de afbeelding): tetrahedron, hexahedron (kubus),  octahedron, icosahedron en dodecahedron.plat

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur

Lang zal hij leven: WIN FOR LIFE

Naast Euromillions hét pareltje van de Nationale Loterij. Het concept is heel simpel. Je wint niet meteen één grote pot, maar een vast, maandelijks bedrag. 500, 1000, 2000 of zelfs 3000 euro per maand! Afhankelijk van met welk biljet je meespeelt.
wfl

Er zijn 4 verschillende spelformules, de ene al duurder dan de andere, maar met een mooiere beloning voor het winnende lot. Het biljet van 1€ kan je maandelijks 500€ opleveren, het biljet van 3€ geeft je een kans om maandelijks 2000 euro binnen te rijven.  Als je 5€ uitgeeft kan je 3000 euro per maand winnen. (Vorige drie formules hebben telkens 1 hoofdprijs per 1.000.000 tickets. Het biljet van 10€ levert 1000, 2000 of 3000 euro op (hier zijn er per 1.000.000 tickets dus 3 hoofdprijzen).

Naast deze maandelijkse uitbetaling kan je ook nog met elk ticket, kleinere (éénmalige) prijzen winnen.
De volledige winstuitdeling van een 3€ biljet ziet er bijvoorbeeld als volgt uit.3 euro

Net zoals ik met andere Lotto spelen deed (Waarom gebruikt Euromillions sterretjes? en Wanneer moet ik meespelen om te winnen?), kan je ook hier weer de berekening gaan maken van “Wat is nu de beste keuze?”, koop je een ticket van 1, 3, 5 of 10€ als beste investering? (Niet dat meespelen op de lotto als ‘goede’ investering kan gezien worden, maar je snapt het concept). Wat er anders ligt bij deze berekening is het feit dat het niet een eenmalig, maar een maandelijkse prijs is. Winnaars die langer leven zullen dus meer winnen dan eenzelfde winnaar die slechts enkele maanden zijn prijs kan opstrijken. Maar heeft dit nu echt invloed op welk ticket je koopt?

wfl

Hier zie je een grafiek (klik op afbeelding om te vergroten) van hoeveel een ticket waard is indien je x aantal jaar de prijs opstrijkt. Je merkt al meteen dat het wel degelijk uitmaakt hoelang je nog te leven hebt, en dus hoelang je nog winsten ontvangt. Laten we even enkele voorbeelden bekijken:

Ik ben van het mannelijke geslacht, dat maakt dat ik (volgens statistieken) zo een 78 jaar zal worden. Nu ben ik 26 en zal dus, indien ik win, nog 54 jaar van mijn leven geld ontvang van de Lotto. Nu hoef ik dus enkel op de grafiek te kijken welke van de 4 grafieken het hoogste na 54 jaar (of dus op waarde 54 op de x-as). Mijn beste investering is dus een biljet van 10€.
De oudste Belgische vrouw werd 110. Als zij dus vanaf haar 18 zou hebben meegespeeld (en won) zou ze 92 jaar lang winsten ontvangen hebben. op x coördinaat 92 ligt de rode rechte het hoogst. Zij zal dus het beste af zijn geweest met het biljet van 3 euro.
En jij ? Welk ticket ligt het beste voor jou. Als je een lager budget hebt en maximum 5 euro wil uitgeven kan je dezelfde oefening doen door te kijken welke de hoogste grafiek, en de paarse van 10€ negeren.

oudgeld

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

limieten

2 Comments

Filed under Toepassingen voor elke dag