Tag Archives: afgeleide

WIE IS HET???

Om in de geest van gezelschapsspelletjes te blijven, spelen zullen we er nog maar eens een oude bekende tussen gooien. Het spel “Wie is het?” is al 35 jaar oud en werd bedacht in Groot-Brittannië door Milton Bradley (van de spelletjes van MB). Zoals het met de meeste tijdloze spelletjes het geval is, heeft ook dit exemplaar een eenvoudige recept.
Het spel wordt gespeeld met 2 spelers. Elke deelnemer trekt 1 van de 24 mogelijke personages (eigenlijk kies je maar uit 23 personages want het is onmogelijk dezelfde persoon te trekken). Dan speelt elke speler om de beurt. Je kan tijdens deze beurt 2 dingen doen. Ofwel stel je een ja-nee vraag aan je tegenstander, om zo zijn personage te weten te komen. Ofwel raad je naar het personage (Je kan dus niet eerst een vraag stellen en het personage gokken tijdens dezelfde beurt). De eerste die juist gokt is de winnaar.
Afbeelding
Bestaat er nu een tactiek om snel en efficiënt het personage van je tegenstander te kiezen? Of rust het spel op puur toeval, en moet je geluk hebben dat je de juiste vragen stelt…? Wel zoals ik het spel bekeken heb, is een klein beetje geluk wel handig, maar door de juiste vragen te stellen kan je wel sneller de mogelijke kandidaten filteren. Het zou geen verrassing mogen zijn als ik zeg dat ik dit ook wiskundig aan kan tonen…
Afbeelding
Zoals gezegd kan je niet zomaar vragen wat je wil. De vraag “welke kleur haar heeft je personage?” kan niet gesteld worden. Enkel JA-NEE vragen zijn toegestaan. Je moet de haarkleur dus te weten komen door “heeft je personage zwart haar?”, “heeft je personage wit haar?”, “heeft je personage blond haar?”…
Vraag je nu best eerst naar het geslacht van je tegenstander’s karakter, of haarkleur, kleur ogen, bril of niet, heeft de persoon een hoed,… Laten we even 2 vragen met elkaar vergelijken (we gaan er even van uit dat wij personage 17 hebben en dat dit dus al zeker niet het personage van je tegenstander is):

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je personage een vrouw Er vallen 18 mensen af Er vallen 5 mensen af
2.) Heeft je personage een smalle mond? Er vallen 11 mensen af Er vallen 12 mensen af

Welke van de 2 was nu de beste vraag? Je kan stellen dat als de tegenstander een vrouw heeft dat dan de eerste vraag de beste was, want er vallen nu maar liefst 18 mensen af? Als hij echter een man heeft als onbekende figuur, was vraag 2 misschien beter?…

Het is hier dat wiskunde een helpende hand kan zijn.
Stel dat we het spel even omzetten naar datgene waar we graag mee werken… getallen. Vraag een vrijwilliger om aan een getal van 1 tot en met 100 te denken. Ook nu mag je enkel ja/nee vragen stellen om zijn getal te raden. We een soortgelijk voorbeeld opstellen:

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je getal een veelvoud van 10? Er vallen 90 getallen af Er vallen 10 getallen af
2.) Is je getal een veelvoud van 4? Er vallen 75 getallen af Er vallen 25 getallen af

Wederom kan je een conclusie proberen te trekken van welke vraag de beste is. Maar we kunnen ook gewoon wiskunde gebruiken, op die manier zijn we zeker! Het antwoord op vraag 1 zal 10% van de gevallen “NEE” zijn, en 90% “JA”. Er is dus 10% kans dat er 90 getallen afvallen en 90% kans dat er slechts 10 wegvallen.

Gemiddeld vallen er dus 0.10 x 90 + 0.90 x 10 = 18 getallen weg.
Hetzelfde verhaal voor vraag 2 levert ons dat er gemiddeld 0.75 x 25 + 0.25 x 75 = 37.5 getallen wegvallen.
De algemene formule zal er altijd als volgt uitzien:
Afbeeldingof herschreven
AfbeeldingDit is dus de formule die je zal vertellen hoeveel getallen er gemiddeld zullen afvallen indien er bij een JA-antwoord a getallen wegvallen. (Je kan de formule narekenen met a=90 en a=75 zoals hierboven uitgeschreven staat). Om na te gaan heoveel we maximaal zullen kunnen schrappen, moeten we van deze functie de afgeleide nemen en gelijkstellen aan 0. (Iets dat we allemaal in de 3de graad secundair leerden, maar sommigen misschien al vergaten).
AfbeeldingWe bekomen 50 als resultaat. Met andere woorden we moeten een vraag stellen waarmee er bij een JA-antwoord 50 getallen wegvallen. Mogelijke vragen die je kan stellen zijn dan “Zit je getal tussen 1 en 50?” of “Is je getal even?”,…
Als je even doorredeneert is dit eigenlijk een logische tactiek. Wat het antwoord ook is, de helft zal wegvallen, terwijl je bij de andere vragen steeds ofwel een grote of een kleine groep kon schrappen. Bij die vragen moest je dus steeds geluk hebben. Meestal zal echter de kleine groep wegvallen omdat het gekozen getal meer kans heeft om in de grote groep te zitten.

VRAAG

ANTWOORD IS JA

ANTWOORD IS NEE

1.) Is je personage een vrouw Er vallen 18 mensen af Er vallen 5 mensen af
2.) Heeft je personage een smalle mond? Er vallen 11 mensen af Er vallen 12 mensen af

Dit kunnen we nu terug meenemen naar de voorbeeldvraag van ons originele spel “Wie is het?”. Er zijn maar 5 vrouwen die de tegenstander kan getrokken hebben en dus is er een veel grotere kans dat deze een man heeft, en dus een veel grotere kans dat je na deze vraag slechts 5 personen kan schrappen. Terwijl je voor de tweede vraag voor 50% zeker minstens 11 personen zal kunnen schrappen.

Dit is de tactiek die we dus zullen gebruiken: STEEDS DE MOGELIJKE KANDIDATEN TRACHTEN TE HALVEREN!
Ik heb dit idee doorgenomen en heb voor 15 mogelijke vragen gekeken hoe ik de groep telkens het beste kan halveren. Sommige criteria leken helemaal niet nuttig te zijn, en soms kon ik niet perfect halveren, maar probeerde ik een halvering te benaderen.
Dit heb ik dan in volgend schema gegoten:
AfbeeldingJe begint met de vraag of het personage een brede mond heeft. Zoja, volg je “v” en vraag je of hij een bril heeft. Zoniet, volg je “x” en vraag je of de persoon dikke lippen heeft… zo volg je het schema. Kom je op een ovaal met 1, dan wil dit zeggen dat je iedereen op 1 persoon na hebt weggeschrapt, dit is je tegenstander zijn mannetje! Kom je op een kader met 2 dan moet je gokken, indien je fout raadt zal je bij de volgende beurt winnen, anders ben je nu al gewonnen!

Uiteindelijk wil dit zeggen dat je, als je alle verschillende spelletjes speelt (hiermee bedoel ik alle combinaties van getrokken personages), je met gemiddeld 5.27355 vragen de juiste persoon zal vinden. Wie kan beter?

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Als je het spel echt nog sneller wil winnen kan je de groep steeds halveren door vragen te stellen als “zit je personage tussen personen 1-12?”. Zoja, vraag je “Zit je personage tussen personen 1-6?”. Zodat je dus inderdaad telkens halveert. dit zou zoals de wiskunde bewees de puurste en snelste methode zijn. Maar het idee van “wie is het” is dat je vragen om uiterlijke kenmerken gaan. Als je het op deze pure manier speelt heeft het niets meer met de eigenlijke personages te maken maar met hun nummer, waardoor je het spel dus niet meer echt speelt zoals het bedoelt is. Maar voor de volledigheid, op deze manier zal het spel na gemiddeld 5.17391 vragen afgelopen zijn. Merk op dat mijn versie hier niet ver van afwijkt!

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag

Even afgeleid

Integreren en afleiden zijn zowat de belangrijkste bewerkingen die we uitvoeren op functies. Enerzijds gebruiken we afgeleide en geïntegreerde functies om meer informatie te krijgen over de eigenschappen van een functie, en de vorm van zijn grafiek. Maar we gebruiken ze vooral als we de functies gebruiken in toepassingen in de fysica, mechanica, elektriciteit,… funct

Ook deze toepassingen in verschillende wetenschapsvakken zijn weer zeer uiteenlopend maar de belangrijkste is hoogstwaarschijnlijk optimalisatie problemen. Met andere woorden het zoeken naar maximale (of minimale) oplossingen voor verschillende problemen. Laten we enkele voorbeelden bekijken. Hoe gebruiken we juist een afgeleide om dit probleem op te lossen?
Wel, stel we hebben een functie f(x), voor welke waarde is deze functie dan maximaal (of minimaal). Het blijken net die waarden te zijn waarvoor, indien ingevuld in de afgeleide f'(x), we een 0 uitkomen. Of f'(x) = 0 dan is x een maximum van f(x) (en omgekeerd).

Aangezien de wiskunde in zowat alle gebieden in het leven toe te passen zijn, kunnen we misschien ‘sport’ gebruiken als leidraad.

speer

Een speerwerper moet zijn object zo ver mogelijk proberen werpen, en werpt in een boogvorm, meer bepaald een hyperbool (die kennen we nog van “Parabolen wiskunde vs. moord“). Maar onder welke hoek gooit deze nu het best? 20°, 30°, … 90° ? Wel al zeker niet het laatste want dan zou hij rechtop werpen, maar het zal toch ergens tussen 0° en 90° zijn.  Als de hoek groot is gooit hij hoger, de speer blijft wel langer in de lucht maar de horizontale beweging is niet zo groot. Als de hoek te klein is gooit hij wel ver, maar zal de speer niet hoog raken en snel landen….en dus ook niet veel afstand maken.
De functie f(x) waar we in geïnteresseerd zijn is f(x) = V0 . sin (2x) / 9,81 (Hoe we deze formule bekomen is niet zo heel ingewikkeld maar ik verwijs je graag door naar je mechanica/fysica leraar).  De afgeleide wordt dan  f’(x) = V0 . cos (2x) / 4.905. We willen weten voor welke x deze nu wordt dus we stellen gelijk aan nul en rekenen dan uit was x is.
0= V0 . cos (2x) / 4,905
0 . 4,905 / V0 = 0 = cos (2x)
Bgcos (0) = 90° =  2x
90°/2 = x
We vinden dus dat x = 45°. We weten dus dat de afgeleide functie 0 wordt voor x = 45. We weten dus dat de functie f(x) maximaal zal worden voor deze waarde. De speerwerper zal dus op exact 45° werpen om een maximale afstand te behalen.
bochten
Formule 1 teams gebruiken deze afgeleiden ook continu. Bij elke bocht op elk circuit moeten de ingenieurs de keuze maken van hoe een formule 1 piloot een bocht insnijdt. Op de ene manier zal hij met snelheid uit de bocht komen maar voordien moeten remmen, een andere keuze laat hem met snelheid inrijden, maar dan moet hij voor de volgende bocht weer harder op de remmen… ook hier gebruiken we dus weer deze technieken.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

September 1, 2013 · 9:49 am