We proberen wiskunde en wiskundige modellen te gebruiken om ons het leven makkelijker te maken. Door sneller berekeningen uit te voeren, om misdadigers te vatten, om betere beslissingen te maken… Maar dan moeten we de wiskunde hierachter natuurlijk wel JUIST uitvoeren! Als we wiskunde willen gebruiken om beslissingen te nemen moet we natuurlijk zeker zijn dat onze berekeningen kloppen, anders maken we alsnog de verkeerde keuze…
Laat me dit aantonen met 3 voorbeelden uit de wereld van kansrekenen…
Voorbeeld 1:
Stel we gaan op reis met het vliegtuig en we willen zo weinig mogelijk risico nemen… We horen namelijk almaar meer berichten van bomaanslagen op allerlei voertuigen: bussen, treinen, en ook vliegtuigen! Toegegeven, de kans is enorm klein (laat ons even zeggen 1 op 100.000) dat er een zelfmoordterrorist met een bom, net op jou vliegtuig stapt.
Als je niet goed thuis bent in wiskunde en kansrekenen, zou je kunnen beredeneren dat je zelf ook beter een bom meeneemt op het vliegtuig… Want als de kans dat er 1 persoon met een bom op het vliegtuig aanwezig is gelijk is aan 1/100.000 dan is de kans dat er 2 mensen met een bom tegelijk aanwezig zijn gelijk aan 1/100.000 x 1/100.000 = 1/10.000.000.000 !!!
Voorbeeld 2:
Stel je weet dat een koppel met 2 kinderen minstens 1 jongen heeft. Wat is nu de kans dat dit paar 2 jongens heeft? Wel met 2 kinderen hebben we 4 mogelijke combinaties:
Jongen Jongen
Jongen, Meisje
Meisje, Jongen
(Meisje, Meisje) de laatste combinatie valt weg, want we weten dat er al 1 jongen is.
De kans dat er 2 jongens zijn is dus 1/3.
Stel nu net hetzelfde probleem maar we weten nu dat 1 van de kinderen Mats heet (een jongensnaam, dus we weten weer dat er 1 jongen bij is) wat is nu de kans dat het koppel 2 jongens heeft? Weer zijn er 4 mogelijkheden:
Mats, Jongen
Jongen, Mats
Meisje, Mats
Mats, Meisje
Nu zien we echter dat er bij 2 van de 4 (of dus 1 op 2) gezinssituaties 2 jongens zijn…
Dus toen we wisten dat er 1 jongen was, was de kans op 2 jongens gelijk aan 1/3. Als we weten hoe deze jongen heet is de kans plots 1/2 ???
Probleem 3:
Stel we hebben de keuze voor 2 enveloppen met elk een som geld in. We weten niet hoeveel er in beide zit, het enige wat we weten is dat in 1 envelop het dubbele bedrag zit van wat we in de andere envelop zullen vinden. We kiezen bijvoorbeeld enveloppe A en vinden 100 euro, in envelop B zit dus ofwel de helft, 50€, ofwel het dubbele, 200€. Is het nu aangewezen om van enveloppe te veranderen??? Laat het ons even uitrekenen, als we veranderen hebben we 1/2 kans dat we 100€ inwisselen in 50€ (en dus 50€ verliezen), en 1/2 kans dat we 100€ inwisselen voor 200€ (en dus 100€ winnen).
als we veranderen van keuze winnen we dus statistisch gezien: (1/2) x (-50) + (1/2) x 200 = 75 !!! Met andere woorden we moeten altijd van enveloppe wisselen…
NOGMAALS, al de bovenstaande berekeningen hebben een subtiele fout in hun beredenering. Daarom zijn de antwoorden dan ook zo vreemd. Intuïtief lijken ze misschien eerst te kloppen, maar pas na het nader bekijken van de wiskunde ontdekken we de kleine foutjes en kunnen we onze beslissing nog corrigeren…
DAAROM WISKUNDE
Giedts T.
waaromwiskunde 