Tag Archives: magie

Word een rekenwonder

In merkwaardig snel rekenen kan je al enkele trucjes leren om sommige vermenigvuldigingen eenvoudiger te maken. Maar aangezien deze hulpjes meestal op school aangeleerd worden zullen de meeste mensen deze trucjes wel kennen. Als je iemand echt wil verbazen kan je misschien het volgende eens proberen. Afbeelding Vraag iemand een rekenmachine te nemen, laten we deze persoon voor de eenvoud een naam geven, “Iris”. Vraag Iris een getal tussen 0 en 100 te kiezen (ze mag dit getal NIET tegen je zeggen), en deze met haar rekenmachine 3 keer met elkaar te vermenigvuldigen. Als zij je dan de uitkomst vertelt zal jij na enkele seconden kunnen vertellen welk getal Iris oorspronkelijk gekozen had. Als ze bijvoorbeeld 45 kiest zal zij dus 45 x 45 x 45 uitrekenen (Met andere woorden 45³). Haar rekenmachine zal tonen dat de uitkomst 91125 is. Nadat ze je de uitkomst vertelt, antwoord jij als rekenwonder: “Het getal dat je 3 keer met zichzelf hebt vermenigvuldigd was … 45!” Afbeelding Wat je dus eigenlijk doet is “uit je hoofd” de derdemachtswortel van het gegeven getal berekenen. Aangezien derdemachtswortels niet altijd heel gemakkelijk te berekenen zijn zal Iris verbaasd opkijken en onder de indruk zijn van je rekenkunst. HOE WERKT DE TRUC? Het eerste wat je eens kan proberen is alle cijfers van 0 – 9 tot de derde macht berekenen. dat wil dus zeggen:
(0 x 0 x 0 = 0)
1 x 1 x 1 = 1
2 x 2 x 2 = 8
3 x 3 x 3 = 27
4 x 4 x 4 = 64
5 x 5 x 5 = 125
6 x 6 x 6 = 216
7 x 7 x 7 = 343
8 x 8 x 8 = 512
9 x 9 x 9 = 729
(Deze 10, of toch de laatste 9, uitkomsten zullen we later nog gebruiken)
De laatste, vetgedrukte, cijfers zijn heel belangrijk! Dit zal je zal je namelijk al de helft van de oplossing geven! Als de oplossing van een derde macht eindigt op een 1. zal ook het originele getal eindigen op een 1! kijk maar naar enkele voorbeelden…
11 x 11 x 11 = 1331
21 x 21 x 21 = 9261
41 x 41 x 41 = 68921
91 x 91 x 91 = 753571

Hetzelfde geldt voor getallen die eindigen op een 4,5,6,9,0.
54 x 54 x 54 = 157464
15 x 15 x 15 = 3375
26 x 26 x 26 = 17576
39 x 39 x 39 = 59319
60 x 60 x 60 = 216000

Met andere woorden: Als een getal eindigt op een 1 (4,5,6,9,0)
dan zal de uitkomst van getal x getal x getal ook eindigen op een 1 (4,5,6,9,0) Afbeelding Voor een getal dat eindigt op een 2 zal de derdemacht eindigen op een 8
en waar een getal eindigt op een 8 zal de derde macht eindigen op een 2.
Voor een getal dat eindigt op een 3 zal de derdemacht eindigen op een 7
en waar een getal eindigt op een 7 zal de derde macht eindigen op een 3.

Bij deze getallen merk je dus dat ze niet op hetzelfde getal eindigen, dit is dus eigenlijk het eerste dat je moet onthouden als je de truc wil uitvoeren. 2 –> 8 en 8 –> 2  en ook  3 –> 7 en 7 –> 3.

Nu komt het (niet al te) moeilijke deel van de truc. We hebben nu wel een eenvoudige manier gevonden om het laatste cijfer te vinden van het te raden getal, maar wat is het eerste cijfer? Hiervoor moeten we 9 getallen onthouden. Dit vergt eventjes oefenen, maar negen getallen zou niet al te moeilijk mogen zijn. De getallen die je moet onthouden zijn deze die we boven uit hebben gerekend. 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,
Wat we nu doen is, we nemen de uitkomst en schrappen de drie laatste cijfers. Enkel wat overblijft is voor ons interessant. We kijken welk van onze 9 getallen het grootste is, dat toch kleiner is dan hetgeen dat overblijft….. Voorbeeldjes!

We krijgen uitkomst 17576:
Het 2de cijfer van het te raden getal zal een 6 zijn, want de uitkomst eindigt op een 6.
Om het 1ste cijfer te vinden schrappen we eerst de laatste 3 cijfers dus 17576 en houden dus getal 17 over. welk van onze 9 is nu het grootste getal dat toch kleiner is dan 17?… inderdaad het getal 8, want al de andere getallen zijn groter dan 17. Dit is het 2de getal dat we moesten onthouden en daarom is het eerste cijfer van het te raden getal een 2.
De oplossing is dus 26.

Stel ik krijg de uitkomst 405224:
Het 2de cijfer van het te raden getal zal een 4 zijn, want de uitkomst eindigt op een 4.
Voor het 1ste cijfer schrappen we de 3 laatste cijfers dus 405224 en we houden dus 405 over. Wat is het grootste van onze 9 getallen dat kleiner is dan 405? Het is 343, of dus het 7de getal dat we moesten onthouden en dus is het eerste cijfer een 7.
De oplossing is dus 74.

Stel de uitkomst is 54872.
Het 2de cijfer zal een 8 zijn, want de uitkomst eindigt op een 2.
Voor het eerste cijfer schrappen we de laatste 3 cijfers dus 54872 en we houden 54 over. Wat is et grootste van onze 9 getallen dat toch kleiner is dan 54? Het is 27, of dus het 3de getal dat we moesten onthouden, dus het eerste cijfer zal een 3 zijn.
De oplossing is dus 38.

Stel de uitkomst is 729.
Het 2de cijfer zal een 9 zijn, want de uitkomst eindigt op een 9.
Dan schrappen we de laatste drie cijfers: 729 en we houden… niets of dus 0 over? Wat nu? Je kan gewoon stellen dat het eerste cijfer dan een 0 is. De oplossing zal dus 09 of gewoonweg 9 zijn.

De reden waarom ik zoveel voorbeelden geef is omdat je dit zelf enkele malen moet proberen. Na een tiental van deze oefeningetjes zal je merken dat je steeds sneller de uitkomst zal vinden. Hoe vlugger je antwoord geeft, hoe meer onder de indruk de kandidaten zullen zijn. Even herhalen: Om het 2de cijfer te vinden kijken we naar het laatste cijfer van de uitkomst.
( 1 –> 1 )         ( 6 –> 6 )
( 2 –> 8 )         ( 7 –> 3 )
( 3 –> 7 )         ( 8 –> 2 )
( 4 –> 4 )         ( 9 –> 9 )
( 5 –> 5 )         ( 0 –> 0 )
Om het eerste cijfer te vinden, schrappen we eerst de laatste drie, en dan kijken we naar wat overblijft. We onthouden de getallen 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 en 729. We kijken welke van deze getallen de grootste is die kleiner is dan het overblijfsel. Als het het 1ste getal is, dan zal het eerste cijfer 1 zijn; Als dit het 2de getal is, dan zal het eerste cijfer een 2 zijn; Als dit het 3de getal is, dan zal het eerste cijfer een 3 zijn; Als dit het 4de getal is, dan zal het eerste cijfer een 4 zijn; ….. Afbeelding Het lijkt heel veel, maar geloof me, als je dit voor een tien of twintigtal getallen zelf even probeert, zal je al snel het systeem doorhebben. Het leuke aan deze truc is dat echt iedereen verrast zal zijn. Een derde macht berekenen is niet eenvoudig maar met deze truc kan jij het alvast voor de eerste 100 getallen! DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

Advertisements

Leave a comment

Filed under andere

merkwaardig snel rekenen

In de wiskunde gebeuren wel meer merkwaardige dingen (daar probeer ik je toch van te overtuigen met deze blog). Ook zijn er enkele vormen van vermenigvuldiging die we merkwaardig noemen. Niet omdat deze verrassende en merkwaardige uitkomsten opleveren, maar omdat ze eenvoudiger op te lossen zijn dan ze op het eerste zicht lijken. We kunnen ze namelijk sneller oplossen door ze op een eenvoudigere manier neer te schrijven, bijvoorbeeld:
(a+b).(a-b)= a.a + a.b – a.b – b.b = a.a + a.b – a.b – b.b = a² – b²
of kortweg:   (a+b).(a-b) = a² – b²
Misschien lijkt dit op het eerste zicht niet meteen een vereenvoudiging, maar naarmate je meer (hoofd)rekent zal je merken dat a² – b² dikwijls sneller uit te werken is dan  (a+b).(a-b) .
Aangezien bovenste voorbeeld misschien niet overtuigend genoeg is zal ik nog enkele andere merkwaardige producten neerschrijven:

a³ + 3a².b + 3a.b² + b³                          = (a+b)³
(a² + ab + b²).(a+b)                              = a³ + b³
a² + b² + c² +2.a.b + 2.b.c + 2.a.c        = (a + b + c)²
…..
Je ziet al meteen dat sommige producten in een veel makkelijkere vorm te schrijven zijn. Elke wiskundige kent deze producten bijna uit het hoofd. Niet door ze vanbuiten te leren, maar gewoon omdat we ze zoveel gebruiken, aangezien het zaken eenvoudiger maakt (ja wiskundigen hebben het graag gemakkelijk).
Afbeelding
Maar naast deze manier van herschrijven, gebruiken we nog honderden andere trucjes om het ons gemakkelijk te maken. Vermenigvuldigen met 9 bijvoorbeeld.
150 x 9 = ???  Sommigen kunnen heel sterk zijn in de vermenigvuldigingstafel van 9 en lossen deze opdracht perfect uit het hoofd. Ik doe dit echter op de volgende manier:
150 x 9 = (150 x 10) – 150 = 1350
Ik vermenigvuldig het getal dus met 10 in plaats van 9, en trek daarna nog een keer het getal af. De reden waarom ik dit op deze manier doe is omdat de tafels van 10 veel makkelijker zijn dan de tafels van 9 (voor de tafel van 10 moet ik enkel achteraan een 0 bijschrijven en ik ben klaar).
En ja hoor dit werkt niet alleen met 150 x 9 maar met alle getallen die ik maar met 9 wil vermenigvuldigen.
Afbeelding
Nog een trucje. Stel dat er iemand me vraagt of 156483 een veelvoud is van 3… Dan kan ik binnen de 5 seconden het antwoord geven! Hoe ik dat doe? heel simpel.
Ik tel al de cijfers van het gevraagde getal op: (de vraag was 156483 dus) 1+5+6+4+8+3 = 27 en ik controleer of de uitkomst een veelvoud is van 3. In mijn geval is de uitkomst 27 = 9×3 een veelvoud van 3 dus mijn antwoord op de vraag is “JA”.
Je ziet dat ik de vraag dus weeral heb vereenvoudigt. Van “is 156483 een veelvoud van 3” naar “is 27 een veelvoud van 3”. En ja hoor ook dit trucje werkt voor al de getallen waarvan je wil controleren of ze een veelvoud van 3 zijn. (Hetzelfde trucje kan je gebruiken om te testen of een getal een veelvoud van 9 is! Probeer maar eens.).

Het fijne van al deze trucjes en vereenvoudigingen is dat je, eens je ze allemaal onder de knie hebt, enorm snel kan (hoofd)rekenen. Als je rondkijkt op het internet zul je merken dat er ook trucjes zijn om deelbaarheid door 7 te testen, of vermenigvuldigen met 11 te vereenvoudigen. Zelfs kwadrateren kan héél snel gaan voor getallen met sommige eigenschappen…
Afbeelding
Altijd leuk om je ouders of leraar verstomd te doen kijken als je ze verrast met zulk rekentrucje…
Of als het allemaal een beetje te moeilijk word natuurlijk.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

1 Comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, Universitaire wiskunde voor dummies