Tag Archives: meetkunde

3 driehoeksvragen

In de eerste en tweede graad van het middelbare onderwijs krijgen we naast getallenleer en algebra ook heel veel meetkunde te verwerken. Hierin krijgen we te maken met enorm veel begrippen. Rechten, punten, lijnstukken, evenwijdigheid, veelhoek, bissectrice, loodrechte,… enz. Voor sommige van deze is het zeer logisch en aanvaarbaar dat we ze moeten leren. Andere lijnen en punten lijken dan weer vergezocht en onnuttig.
Onlangs vroeg iemand me wat het nut is van zwaartelijnen, middelloodlijnen en deellijnen. Laten we voor elk van hen even een toepassing zoeken, beginnende met de middelloodlijnen.

“Een middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van dit lijnstuk gaat en loodrecht staat op dat lijnstuk.”
Als we in een driehoek voor elke zijde deze lijn construeren merken we dat deze elkaar in hetzelfde punt snijden. Dit punt blijkt een zeer speciale eigenschap te hebben. Als we namelijk de afstand |MB|, |MA| of |MC| meten merken we op dat deze allemaal gelijk zijn. Daarom kunnen we een cirkel tekenen met middelpunt M, zodat A, B en C op de omtrek van deze cirkel liggen…. WAT IS DAAR NU NUTTIG AAN?

middenloodlijn

Wel stel een radio-station wil uitzenden vanuit een bepaalde studio. De zender wil drie grote steden A, B en C kunnen bereiken en ze vraagt zich af van waaruit ze nu het best kunnen werken. Je zou kunnen zeggen dat ze hun station opzetten in 1 van de 3 steden, bijvoorbeeld A, en hun signaal dan maar heel sterk moeten maken zodat ook de andere bereikt worden. Maar voor een beter en sterker signaal is betere en dus duurdere apparatuur nodig. Om kosten laag te houden willen ze zo goedkoop mogelijk werken en dat is dus met de minimale benodigde signaalsterkte.
Als je op de landkaart de steden A, B en C verbindt (en zo een driehoek schetst) dan blijkt de beste plaats om uit te zenden punt M (het snijpunt van de middelloodlijnen) te zijn. De steden liggen namelijk allemaal even ver van punt M en als je dus 1 van deze kan bereiken, dan kan je ze allemaal voorzien van je muziek. Op deze manier is dat dus met de signaalsterkte die net genoeg en niets teveel is.

“De bissectrice of deellijn van een hoek is in de meetkunde de rechte die deze hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.”
Als we voor elke hoek van onze driehoek deze lijn construeren merken we wederom dat deze elkaar in 1 punt zullen snijden. En wederom blijkt dit een punt met een speciale eigenschap te zijn. Ook dit keer is het een middelpunt van een cirkel. Niet de de kleinste cirkel die net om de driehoek past (zoals we hierboven construeerde) maar net andersom, de grootste cirkel die net in de driehoek past… WAT IS DAAR DAN NUTTIG AAN?

Deellijn
Stel dat de driehoek een tuin voorstelt. De mensen die in deze tuin wonen willen zichzelf een zo groot mogelijk zwembad aankopen maar kunnen enkel tussen ronde exemplaren kiezen. De straal van het grootste zwembad dat zal passen in de tuin zal de straal van deze geconstrueerde cirkel zijn.
Of stel het volgende voorbeeld. De groendienst van Antwerpen wil een sprinkler installeren om zoveel mogelijk van (een driehoekig) grasperkje te besproeien en ze willen hem dan ook hard genoeg laten spuiten. Naast het grasveld loopt (langs de zijden van de driehoek) een voetpad. Omdat het niet de bedoeling is om de voorbijgangers ook water te geven mag de sproeier dus ook niet te hard ingesteld worden. Hoe hard moet de sproeier nu sproeien? En wat is het grootst mogelijk oppervlak dat water zal krijgen? De sproeier moet net zo hard sproeien zodat de waterdruppels maximaal een afstand gelijk aan de straal van de ingeschreven cirkel kunnen vliegen. De maximale oppervlakte zal die van de geconstrueerde cirkel zijn met als middelpunt het snijpunt van de deellijnen.

Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en de overliggende zijde snijdt in het midden van deze zijde.
Als we de drie zwaartelijnen tekenen dan …, inderdaad. Ze zullen een gemeenschappelijk snijpunt, namelijk het zwaartepunt, hebben. Ditmaal is het echter niet het middelpunt van een speciale cirkel… WAT IS DAAR DAN NUTTIG AAN?

zwaartelijn
Dit is wellicht het meest nuttige van alle 3 de snijpunten. Het word onnoemelijk veel gebruikt in zowel wiskunde, mechanica en fysica. Dit omdat het zwaartepunt noodzakelijk is bij berekeningen waar we krachten op een voorwerp gaan bekijken. Bijvoorbeeld ingenieurs die bruggen of buildings bouwen zullen hiermee veel in contact komen. Of als een fysicus wil weten hoeveel druk er op een zeepbel mag staan voor deze springt zal hier veel informatie aan hebben. (Natuurlijk gebruiken zij niet altijd zwaartepuntenvan een direhoek, maar die van een balk of bol. Het principe is echter dezelfde. In de middelbare school leer je dit concept kennen door middel van driehoeken omdat deze gemakkelijke figuren zijn.)

Stel dat je vader of moeder een schommel voor je wil bouwen in de tuin en het frame van de schommel bestaat uit 2 driehoeken die verbonden zijn met een staaf (zie schets).

schommel schetsWaarop dan zeker gelet moet worden is dat de schommel of trapeze ONDER het zwaartepunt van de driehoeken (rode stip) terecht komt. Als je dat niet doet, en je schommel is niet goed in de grond verankerd, zal deze van bij de 1ste keer dat je zwiert, omvallen! Dit omdat als je een te kort touw hebt waardoor je dus ‘boven’ het zwaartepunt zit,
de constructie te onstabiel wordt.
Het zwaartepunt kan je dus ook ook bekijken als een soort evenwichtspunt van je driehoek (of andere vlakke figuur). Als je een driehoek wil laten balanceren op een pen of bijvoorbeeld je vinger, zal je de driehoek dan ook precies op het zwaartepunt moet dragen.
triangle
Laat duidelijk zijn dat dit slechts enkele voorbeelden zijn. Vooral op de laatste begrippen zwaartelijnen en zwaartepunt kan je nog wel even doorgaan. Maar voor sommige toepassingen is meer achtergrond nodig die jullie ongetwijfeld in je verdere studies te zien zal krijgen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

gps

Advertisements

2 Comments

Filed under andere

meetkunde in … Hollywood

Ik heb het in dit artikel niet over films met wiskundige thema’s of wiskundigen als personages. Het gaat meer over hoe wiskunde mee aan de grond ligt van een van de grootste evoluties in de filmgeschiedenis, en hoe het een steeds belangrijkere factor speelt in deze industrie. Als we de lijsten met kaskrakers bekijken vinden we steeds meer animatiefilms terug (denk maar aan cars, wall-e, shrek,…). Deze films hadden allemaal veel minder indrukwekkend geweest indien de hoofdpersonage’s niet realistisch zouden overkomen. Het is hier waar de Wiskunde een belangrijke rol begint te spelen.

disney-pixar-compilation-image-1519560

Laten we even bij het begin beginnen. Iedereen meent te denken dat een cirkel geen hoeken heeft…. maar is dat wel zo? Voor een cirkel zoals we ze in de wiskunde beschrijven en gebruiken wel, maar hoe tekent bijvoorbeeld een computer een cirkel? Wel eigenlijk begint deze met een regelmatige veelhoek (een veelhoek met gelijke zijden én gelijke hoeken). Maar gebruikt de computer dan een 3-hoek, 4-hoek, 15-hoek… Wel dat hangt een beetje van de software af natuurlijk, maar hoe meer hoeken je gebruikt hoe meer je veelhoek op een cirkel begint te lijken:
polygons
Inderdaad, we kunnen met het blote oog nog zien dat de 12-hoek inderdaad nog geen cirkel is, maar je begrijpt het idee wel. Indien we een cirkel net naast een regelmatige 100-hoek zouden plaatsen zou het voor ons al veel moeilijker zijn om te onderscheiden welke van de 2 nu de echte cirkel is en de welke de veelhoek. Per definitie kan je eigenlijk zeggen dat de cirkel een regelmatige ∞-hoek (oneindig-hoek) is. Vele benaderingen van het getal π (zowat het belangrijkste wiskundige getal en onlosmakend verbonden met cirkels) zijn gebaseerd op die laatste definitie.

Maar zoals gezegd was dat slechts het begin, in 2 dimensies. Maar de nieuwe generatie tekenfilms brengt ons alles in 3D.
In 2D voegden we hoeken en zijden toe om de figuur tot een vloeiende cirkel te maken, kunnen we dit principe toepassen op 3D figuren? Ja, en wel op verschillende manieren. Deze methoden worden ook wel “oppervlakte onderverdelingen” genoemd (je zal meteen weten waarom).  Laten we even volgende voorbeeld nemen waar een kubus ‘ronder en ronder’ gemaakt wordt tot het een bal is:
catmullclarck

Natuurlijk is dit slechts één voorbeeld van een 3D figuur. Wanneer we complexere figuren bekijken passen we echter steeds hetzelfde systeem toe. Eerst beginnen we met een afgevlakte figuur, die we vrij makkelijk kunnen maken met reeds bestaande computerprogramma’s. Deze afgevlakte figuur is alles behalve realistisch dus we zullen ze moeten afronden… Wel we verdelen van de afgevlakte figuur elke zijde in kleinere deeltjes (In het 2D voorbeeld met de cirkel voegden we zijden (1D) toe aan de veelhoek, in dit 3D voorbeeld voegen we veelhoeken (2D) toe aan de kubus). Het is door deze stap dat we de methodes ook wel “oppervlakte onderverdeling” noemen, omdat we de oppervlakten van de zijdes onderverdelen in kleinere veelhoeken. Die deeltjes kunnen we dan een klein beetje draaien ten opzichte van elkaar waardoor de figuur meer afgerond lijkt. Als we dan met die figuur de stap herhalen lijkt de figuur nog beter afgerond,….. Na vele stappen zal de figuur realistischer lijken, zoals te zien in volgende voorbeeld:

duck
Hier zie je ook nog een mooi voorbeeld, het verschil in de figuren is dat we 60/600/6000 of 60000 driehoeken gebruiken: compose

Er zijn verschillende manieren om dit concept toe te passen. Ze verschillen vooral in de manier waarop we de zijden onderverdelen in kleinere deeltjes. Het ene systeem deelt bijvoorbeeld alle zijden op in driehoeken, de andere in vierhoeken,… Ook de manier waarop de nieuwe deeltjes een beetje gedraaid worden verschilt tussen verschillende systemen. De belangrijkste 3 systemen zijn Catmill-Clarck-systeem,  Doo-Sabin-systeem en de methode van Loop.

Ook in computerspellen merken we deze evolutie natuurlijk!!!
wolf

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom

Leave a comment

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskundige carrière, wiskundigen

kaatsen en nierstenen

Een gebied waarvan je misschien niet meteen verwacht waar wiskunde gebruikt kan worden is de medische wereld. Hoe kunnen we in godsnaam wiskunde gebruiken om mensen te genezen of gezond te maken? De toepassing waar ik het nu over zal hebben begint allemaal met eenvoudige meetkunde.

We weten allemaal dat licht of geluid afkaatst op een muur of spiegel. Waar een afgekaatste lichtstraal naartoe gaat kunnen we makkelijk vinden dankzij meetkunde en het bestuderen van hoeken. In volgende afbeelding staat eenvoudig weergegeven hoe het reflecteren, op een platte spiegel, werkt.
Afbeelding
Links zie je het licht op de spiegel inslaan. Dit gebeurt onder hoek A. Als het licht weer wegkaatst merken we dat dit onder exact dezelfde hoek gebeurt! In de tekening zijn hoek A en hoek B dus gelijk.
Natuurlijk is het niet altijd even eenvoudig te weten waarnaartoe het licht, geluid, of misschien zelfs laserstraal zal kaatsen. In ons voorbeeld gebruikten we namelijk een platte spiegel. Als de spiegel meer bol of hol staat zal het iets moeilijker zijn de richting te achterhalen…
Om één speciaal geval te bekijken nemen we bijvoorbeeld deze cirkelvormige spiegel. De blauwe pijl is een laserstraal, en we vragen ons af in welke richting deze straal zal spiegelen. Afbeelding
Wel om dit op te lossen proberen we als wiskundigen het probleem te herleiden naar iets wat we al weten (want als wiskundige maken we het ons graag zo makkelijk mogelijk). We proberen het probleem dus te herleiden naar het geval van een platte spiegel, want daarvan weten we dat de hoek van inkomend en wegbotsend licht gelijk is. Dit doen we als volgt:
1. we trekken een lijn van het middelpunt naar het punt waar de laserstraal de ronde spiegel raakt.
2. we tekenen de rechte die haaks (met een rechte hoek) op de vorige lijn staat.
Afbeelding

De rechte die we in de tweede stap construeerde is nu eigenlijk onze platte spiegel! Vanaf nu is het probleem dus eigenlijk opgelost want we weten dat de hoek waaronder de straal weg botst gelijk is aan de hoek waarin de straal aankomt. Afbeelding

Voila, we hebben een speciaal geval van afkaatsen gezien. Maar waar gebruiken we dit nu in medische omstandigheden???………

De cirkel was één speciaal geval, maar de figuur die we zullen nodig hebben in de medische toepassing is de ellips. Een ellips is eigenlijk een beetje een plat geduwde cirkel. Een ander verschil is dat de cirkel 1 middelpunt heeft, en de ellips 2 brandpunten (deze bepalen een beetje de vorm van de ellips. Merk trouwens op dat de cirkel eigenlijk een speciaal geval is van de ellips, waar de 2 brandpunten samenvallen en het middelpunt vormen!).

ellips
Nu komt het opmerkelijke! Stel dat de ellips een grote spiegel is, en we schieten een laser af vanuit het brandpunt A, dan kaatst deze ALTIJD af naar het brandpunt B! Met andere woorden, we hoeven niet eens te mikken. Gelijk welke richting we de laser schieten, hij zal altijd afketsen en het punt B raken. Dit zorgt ervoor dat we 100% doelgericht kunnen schieten.
ellips2
Deze toepassing wordt gebruik voor het verbrijzelen van nierstenen. Dit is een aandoening die mensen kunnen krijgen en moet soms op speciale manieren worden verwijdert. Deze nierstenen worden namelijk met een soort ‘laser’ verbrijzeld. Om geen andere vitale delen te raken met de laser is het dus belangrijk om perfect te kunnen richten! Net iets wat we juist geleerd hebben dankzij ellipsen 🙂

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

1 Comment

Filed under andere, Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundige carrière

Pythagoras vs. Fermat

Afbeelding
Ik denk dat ik de eerste persoon niet meer hoef voor te stellen… Deze wiskundige (572 – 500 v.Chr.) ontdekte de bekende verhouding tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Naast deze ontdekking kan er nog ontzettend veel over de man verteld worden. Zo leidde hij zelfs een sekte waar geloofd werd in zielsverhuizing, ze gaven verschillende getallen een speciale symboliek (4 was recht, 5 is huwelijk, 10 is perfectie,…)… Oh ja, misschien een van de vreemdste regels, ze mochten ook geen bonen eten van Pythagoras…
De geleerde stelde getallen boven alles en dacht dat heel het universum met gehele getallen te beschrijven was. Hij zou gek geworden zijn van het feit dat √2, zoals andere irrationale getallen, niet te schrijven is als een breuk van gehele getallen.

Maar zoals gezegd kennen we hem allemaal van zijn alom bekende stelling:
Afbeelding

Nadat Pythagoras ze zelf bewees, is ze nog door honderden andere bewezen op verschillende manieren… Deze stelling is de basis van ALLE meetkunde! Duizenden wiskundige bewijzen maken gebruik van de eigenschap, en de ervan toepassingen zijn ontelbaar. Denk maar aan alles wat met meetkunde te maken heeft… Atlassen, GPS, oppervlakte berekenen, driehoeksmeetkunde, … Een belangrijk, niet zo verrassend, gevolg van de stelling is dat de rechte die 2 punten verbindt, steeds te kortste weg is tussen die 2 punten… In ons voorbeeld is dus de kortste weg tussen de groene en rode ster, de rechte c. We maken altijd een omweg als we eerst via de blauwe ster zouden wandelen (tenzij de blauwe ster op de rechte c ligt natuurlijk). Als onze snelheid overal dezelfde is dan is de kortste weg trouwens ook de snelste…
Afbeelding
Maar daar komt Fermat (1601-1665) op de proppen! Hij was een Franse rechter die zich in zijn vrije tijd bezighield met het oplossen van wiskundige puzzels. Fermat is misschien iets minder bekend dan Pythagoras, maar toch is er een enorm belangrijk probleem naar hem vernoemd. Dit probleem had de naam “de laatste stelling van Fermat”. Het draagt deze naam omdat het de laatste stelling was die Fermat bestudeerde, waar moderne wiskundige geen antwoord op vonden. Maar zo’n 15 jaar geleden is het aloude probleem dan eindelijk opgelost… (Het probleem was 300 jaar onopgelost!!!). De fransman beweerde in één van zijn notitie’s het probleem te hebben opgelost, maar hij heeft wellicht een fout gemaakt. Experts beweren dat de wiskunde van die tijd niet ver genoeg zou gestaan hebben om zulk resultaat te bekomen.
De stelling gaat ongeveer als volgt (let vooral op de overeenkomst met de stelling van Pythagoras): “kan je voor gelijk welke waarde van n, drie getallen x, y en z invullen, zodat de volgende formule klopt?” Afbeelding
Wel we merkten al snel dat dit klopt als n = 1. dit komt dan gewoon overeen met optelling zoals we in de lessen zien. Ook als n = 2 kunnen we getallen vinden die de formule doen kloppen, want dan is ze eigenlijk dezelfde als de stelling van Pythagoras… maar wat nu als n groter is dan 2?
Wel het is dus bewezen dat als n > 2, de formule nooit kan kloppen. Gelijk welke waarden je invult op de plaatsen van x, y en z… de formule zal nooit uitkomen…

Zo zie je hoe Fermat alles een beetje moeilijker maakt dan Pythagoras. Hij past zijn stelling een beetje aan en plots wordt het bewijs aartsmoeilijk… (300 jaar zoekwerk, en een bewijs van meer dan 100 pagina’s !!!). Maar ook wil hij de eigenschap van de kortste weg een beetje moeilijker maken… Stel bijvoorbeeld dat je zo snel mogelijk op een punt moet geraken, maar dat je eerst door zand en daarna door water moet om je bestemming te bereiken. Onze snelheid is op zand niet dezelfde als die van in het water, en de berekening van de kortste weg word dus ingewikkelder…
Afbeelding Wat is nu de snelste weg om van de groene ster in het zand, naar de rode ster in het water te komen? Is de kortste weg (A) dan ook nog gelijk aan de snelste? Moeten we zo snel mogelijk te water en dan zwemmen (B), of eerst zo ver mogelijk lopen en dan pas zwemmen (C). Of is het misschien iets tussenbeide (D).
Ook hierover brak Fermat zijn hoofd, ook dit keer beweerde hij het probleem te hebben opgelost… Maar dit keer beweerde hij dit terecht. Zijn oplossing noemt daarom ook nog steeds “het principe van Fermat”. De snelste manier zal manier (D) zijn. Je moet enkel berekenen waar het punt ligt waar je van land naar water overgaat, (deze berekeningen zijn niet zo moeilijk en leer je zeker nog in het middelbaar) en klaar is kees.
Interessant is dat honden dit principe blijkbaar ook kennen. Als je een bal gooit in een vijver of meer, dan zal de hond deze ook zo snel als hij kan terughalen. Ook hij gebruikt daarom het principe van de snelste weg volgens optie (D)… Honden voelen daarbij blijkbaar vanzelf aan waar hij van land in het water moet springen om zo snel mogelijk aan de bal te geraken!
Afbeelding

Ook mieren gebruiken dit concept en weten blijkbaar (zonder dat ze berekeningen hoeven te doen) waar ze van de ene ondergrond naar de andere (vb. van gras naar modder) moeten om zo snel mogelijk bij hun voedsel te komen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts T.

4 Comments

Filed under Toepassingen voor elke dag, wiskunde in de natuur, wiskundigen