Eerlijke spelletjes en krasloten

In deze tekst bespreek ik hoe je kan nagaan of je een ‘eerlijk’ of ‘oneerlijk’ spel aan het spelen bent aan de hand van winstkansen. Ik zal dan nagaan welk krasspel van de nationale loterij het ‘eerlijkst’ is. eerlijke spelletjes We spreken van een eerlijk spel wanneer elke speler een gelijke kans heeft om te winnen, of wanneer de gemiddelde winst van beide spelers even groot is. Bijvoorbeeld 2 spelers Mats en Milan gooien een munt op. Bij kop wint Mats, anders wint Milan. Dit is een eerlijk spel omdat er een 50/50 kans is dat de munt land op “kop”. Gemiddeld wint Mats dus in 50% van de gevallen 1€, of dus 0,5€, Net als Milan. Wanneer een dobbelsteen geworpen wordt, spreken Lore en Lotte af om de winst als volgt te verdelen. Wanneer een 1 of een 2 word geworpen krijgt Lore 12 punten. Wanneer de dobbelsteen op 3,4,5 of 6 land zal Lotte 6 punten verdienen. De eerste die een score van 60 punten heeft wint het spel… Is dit eerlijk? JA: Lore zal in 2 op de 6 worpen winnen en 12 punten sprokkelen. Gemiddeld wint ze dus 2/6 x 12 = 4 punten per beurt. Lotte wint in 4 van de 6 worpen ‘slechts 6 punten. Maar gemiddeld heeft ook zij 4/6 x 6 = 4 punten per worp. Nog 1 voorbeeld: Stel je ziet voor je afgesloten 5 dozen staan waaruit je kan kiezen, en de geheime inhoud mag houden. Om het spel mee te spelen moet je 2€ betalen aan de uitdager. In twee dozen zit niets, als je deze kiest zal je dus 0€ winnen. in de overige dozen zit respectievelijk 1€, 4€ en 5€. Ook dit is een eerlijk spel voor je: jou gemiddelde winst is 2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€. Je moest natuurlijk 2€ betalen om mee te mogen doen. gemiddeld is je omzet dus 0€. Je kan deze berekening ook omdraaien voor de uitdager. deze moet gemiddeld 2/5 x 0€ + 1/5 x 1€ + 1/5 x 4€ + 1/5 x 5€ = 2€ uitbetalen, maar verdient natuurlijk jou inzet van 2€ en dus ook zijn gemiddelde winst per spel is 0€. zowel jij als de uitdager winnen 0€ en dus zijn de winsten gelijk wat het een eerlijk spel maakt. Krasloten Ik had het laatste voorbeeld ook anders kunnen uitleggen door de dozen te vervangen door krasloten. Laten we er één van de vele krasspelen van de nationale loterij bijhalen. Voor elk spel kan je online bekijken hoeveel loten er zijn die 0€ opleveren en achter hoeveel loten er wél een prijs verscholen zit. In volgende afbeelding zie je het lotenplan van het spel “Love Nature”. Dit is de verdeling van de winnende biljetten per gedrukte stapel van 625.000 krasloten.  Hier vind je de volledige info omtrent het spel. Je betaalt, net zoals het spel met de dozen, 2€ per deelname. Ook nu kunnen we uitrekenen wat je gemiddelde wint. 1/625.000 x 50.000€ + 6/625.000 x 2.500€ + 50/625.000 x 250€ + 7000/625.000 x 25€ + 19.750/625.000 x 10€ + 22.000/625.000 x 5€ + 100.000/625.000 x 2€ + 476.193/625.000 x 0€ = 1,216 €. Je betaalt dus 2€ voor een ticket en deze is gemiddeld 1,216 € waard. Je gemiddelde omzet is dus 1,216€ – 2€ =  – 0,784€ (of dus 0,784€ verlies). De gemiddelde winst van de loterij is dan 0,784€. Dit is dus geen eerlijk spelletje wat natuurlijk ook te verwachten is. Net zoals een casino heeft de loterij meer winstkans aangezien het voor hen belangrijk is om winst te kunnen maken als bedrijf. Merk op dat de kans dat je een winnend krasbiljet in handen hebt gelijk is aan 148.807/625.000 = 23,81% Dit wil zeggen dat je ongeveer in 1 op 4,2 spelletjes een prijs zal krabben. Maar de nationale loterij heeft wel meer krasloten… niet enkel tastbare maar ook virtuele krasspelen waarmee je online kan spelen. Na een vraag van een collega zette ik even op een rijtje welke de interessantste zijn om aan te schaffen. Op deze afbeelding zie je 2 grafiekjes. de rode (iets minder belangrijke) toont aan hoeveel kans je hebt om een winnend biljet in handen te hebben. Dit lijkt belangrijk maar bedenk je het volgende. Stel je voor dat ik het volgende spel met dozen voorstel: Ook nu betaal je 2€ per deelname. Inderdaad, welke doos je ook kiest, je zal 100% zeker zijn dat je een “winnend lot” gekozen hebt. Dit voorbeeld zal op de rode grafiek dus de maximale waarde voorstellen. Maar aangezien je slechts 1€ wint na er 2€ betaalt te hebben is dit toch een zeer oninteressant spel. Wat belangrijker is aan de afbeelding met de grafieken is de groene curve. Deze toont je hoeveel je ticket waard is per uitgegeven euro. Voor het spelletje “Love Nature” hadden we dit al berekend: we betaalden 2€ per lot en gemiddeld was deze er 1,216€ waard. Per uitgegeven euro is je ticket dus 0,608€ waard (de 0,392€ is winst voor de nationale loterij). Nu kan je de groene grafiek dus raadplegen wanneer je jezelf de vraag stelt: voor welk spel is een ticket het meeste waard per geïnvesteerde Euro? Hoe hoger deze groene curve ligt hoe beter. Om die reden is het spel “Share & Play” het interessantste. Elk lot van dit type is gemiddeld 0,729€ waard (hieraan heeft de nationale loterij ‘slechts’ 0,271€ winst). Het minst interessant spel was 21 waarbij elk biljet slechts 0,569€ waard was per uitgegeven euro. Dit krasspel is sinds kort niet meer te koop. In een volgende post vertel ik hoe je met een juiste tactiek, de waarde per ticket (theoretisch) een klein beetje kan verhogen waardoor de groene grafiek dus hoger komt te liggen.

DAAROM WISKUNDE

Giedts Tom