Een hot-topic op dit moment is het wetsvoorstel betreffende de dubbele achternaam die we voor onze kinderen kunnen kiezen (de mogelijkheden zijn de naam van de moeder, de vader, moeder-vader of vader-moeder). Vooral het woordje “kiezen” hierin is belangrijk want velen hebben het foute idee dat dit een verplichting wordt. Nochtans kan je evengoed voor het traditionele gaan en de achternaam van de vader laten doorlopen in de volgende generatie.
Een argument dat sommigen naar voor schuiven tegen het wetsvoorstel, is dat het aantal combinaties van mogelijke namen snel zal stijgen voor komende generaties. Volgens hen zal dit de keuze van de door te geven naam bemoeilijken met discussies en familievetes als gevolg.
Maar hoeveel van deze combinaties zijn er eigenlijk? Kunnen we hier een wiskundige formule voor ontwerpen?
Wel eigenlijk is dit niet zo moeilijk. Laten we eerst even 1 generatie bekijken, of met andere woorden, welke achternamen zouden onze kinderen kunnen krijgen?
!!! We beginnen dus bij het standpunt dat vandaag iedereen nog een enkele achternaam heeft !!!
Laat ons die voor de makkelijkheid even gewoon A, B, C, … noemen. Een kleine stamboom ziet er dan als volgt uit.
Je kan zien dat mijn zoon of dochter dus 4 mogelijke achternamen zal kunnen krijgen. Hoe zit het als we een generatie verder kijken?
De keuze word al meteen verviervoudigd tot 16 mogelijkheden! Als we weer een generatie opschuiven en naar mijn achterkleinkinderen gaan kijken zullen ze al een keuze hebben tussen 64 namen, weer een viervoud groter dus.
Je hebt allicht door dat dit patroon zich verder zal blijven zetten en de keuze in namen dus steeds een macht van vier zal zijn.
MAAR dan houd je geen rekening met het feit dat enkele van je voorouders een achternaam gemeen zouden kunnen hebben… Neem nu de familienaam Peeters, wat de meest voorkomende achternaam in België is. Maar liefst 33.000 landgenoten dragen deze achternaam. Het is dus mogelijk dat zowel je oma aan vaders kant én je oma aan moeders kant beide mevrouw Peeters zullen heten. Dit heeft echter wel een invloed op de telling want in dit geval ziet je stamboom en de keuze van namen er als volgt uit:
In dit geval heeft het kind ‘slechts’ keuze tussen 9 familienamen… niet 16 zoals in het vorige geval, en het is al zeker geen macht van 4.
De algemene formule vinden ligt dus ietsje moelijker. Laten we een tweede poging ondernemen.
Eerst merk je op dat je elke naam van je voorouder kan krijgen als je ouders en voorouders kiezen om slechts een enkele naam door te geven en het nieuwe systeem dus links te laten liggen. In stamboom 2 waren er 4 voorouders: A, B, C en D en je ziet dat het kind deze 4 namen kan doorkrijgen. In stamboom 3 zaten er slechts 3 namen (A, B en C) in de mix en het kind kan dus A, B of C heten met zijn achternaam, 3 mogelijkheden dus.
Het aantal ENKELE namen dat je kan krijgen = het aantal namen dat in de ‘begingeneratie’ zit.
Wat is nu het aantal mogelijkheden als je voorouders wel kiezen om dubbele achternamen te beginnen gebruiken?
Hiervoor moet je gaan kijken welke onderlinge combinaties er mogelijk zijn. Voor de makkelijkheid veronderstellen we even dat A-B gelijk is aan de naam B-A zodat we even enkel naar de ‘koppels’ kijken en de volgorde van de namen negeren. In onderstaande tabel zie je hoe het aantal koppels evolueert:
Als je goed kijkt kan je opmerken met hoeveel het aantal koppels stijgt telkens er een persoon bij komt. Inderdaad, het aantal stijgt met respectievelijk +1, +2, +3, +4, … koppels.
0
0 + 1 = 1
1 + 2 = 3
3 + 3 = 6
6 + 4 = 10
10 + 5 = 15
…
Deze reeks 1,3,6,10,15,… noemen we de driehoeksgetallen. Deze naam word duidelijk als je de getallen op de volgende manier grafisch voorstelt:
We kunnen dus zeggen dat het aantal koppels te maken met N personen gelijk is aan Δ(N-1) . Hierij bedoelen we het (N-1)de driehoeksgetal. LET OP, we moeten dit aantal nog wel verdubbelen als we onderscheid maken tussen het koppel A-B en B-A, of met andere woorden als de volgorde wel van belang is (en bij ons namen-probleem speelt die volgorde dus wel degelijk een rol).
Het aantal DUBBELE namen dat je kan krijgen = Δ(N-1) x 2 met N het aantal namen dat in de ‘begingeneratie’ zit.
Als laatste moeten we nog opmerken dat we bij het tellen van de verschillende koppels enkel diegene telde van de vorm A-B waarbij A ≠ B. Maar zoals aangehaald bij stamboom 3 kan het ook zijn dat er namen gedeeld worden waar door je zoals in de figuur kan zien ook achternaam B-B kan erven. We moeten met andere woorden nog een laatste term bijvoegen bij onze formule, namelijk term D. Hierbij zeggen we dat D het aantal namen is dat dubbel voorkomt bij de ‘begingeneratie’.
Zo, nu hoeven we enkel het aantal keuzes van ENKELE namen op te tellen met het aantal mogelijkheden om een DUBBELE naam te kiezen. Het totale aanbod zal dus N + [Δ(N-1) x 2] + D zijn waarbij N het aantal namen is dat in de begingeneratie zit, en D het aantal namen dat in deze beginsituatie dubbel voorkomt.
DAAROM WISKUNDE
Giedts Tom
waaromwiskunde 